陳強(qiáng)　惠永永

摘要：對(duì)于形如an=（an+b）·qn（其中a，b，q為常數(shù)）的數(shù)列求和問(wèn)題，學(xué)生一般采用錯(cuò)位相消法.但是學(xué)生在應(yīng)用這種方法求和時(shí)常常容易在計(jì)算時(shí)犯錯(cuò)誤.在這里，我們主要是探討這類(lèi)數(shù)列求和問(wèn)題的新思路，以期簡(jiǎn)化學(xué)生的計(jì)算量和提高學(xué)生的思維能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；求和；方法

問(wèn)題：設(shè)an=n·2n，求an的前n項(xiàng)和Sn.

解：這是典型的一道錯(cuò)位相消的題目，我們從另外的角度來(lái)討論怎么求和.

設(shè)bn=（An+B）·2n，令bn+1-bn=（An+2A+B）·2n=an，比較系數(shù)可得方程

An=n，2A+B=0，解方程可得A=1，B=-2，即bn=（n-2）·2n.

Sn=a1+a2+…+an=（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn+1-bn）=bn+1-b1，

則Sn=（n-1）·2n+1+2.

注1：這個(gè)方法我們定義為待定系數(shù)法，就是構(gòu)造新數(shù)列{bn}使得所求的數(shù)列{an}可以裂開(kāi)為{bn}的兩項(xiàng)之差即bn+1-bn=an，從而得到Sn=bn+1-b1.

注2：形如an=（an+b）·qn（q≠1）的數(shù)列求和問(wèn)題用“待定系數(shù)法”時(shí)構(gòu)造的數(shù)列{bn}跟an的形式是一樣的bn=（An+B）·qn（q≠1）.同理對(duì)于形如an=（aknk+ak-1nk-1+…+a1n+a0）·qn的數(shù)列求和問(wèn)題，我們同樣構(gòu)造數(shù)列bn=（Aknk+Ak-1nk-1+…+A1n+A0）·qn.

推廣：設(shè)an=（an+b）·qn（q≠1），求an的前n項(xiàng)和Sn.

解：設(shè)bn=（An+B）·qn，bn+1=[A（n+1）+B]·qn+1，由bn+1-bn=an可得

（Aqn-An+Aq+Bq-B）·qn=（an+b）·qn，比較等式兩邊系數(shù)可得

Aq-A=a，Aq+Bq-B=b，解得A=aq-1，B=q（b-a）-b（q-1）2.

即bn=aq-1n+q（b-a）-b（q-1）2·qn，因此我們可以得到

Sn=a1+a2+…+an=（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn+1-bn）=bn+1-b1，故

Sn=aq-1（n+1）+q（b-a）-b（q-1）2·qn+1-aq-1+q（b-a）-b（q-1）2·q.

這樣這一類(lèi)問(wèn)題我們都可以解決了，而且只是解個(gè)方程而已，避開(kāi)了復(fù)雜的計(jì)算.

例1（2014·安徽高考）數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*.

（1） 證明：數(shù)列ann是等差數(shù)列；

（2） 設(shè)bn=3n·an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

解：（1）證明：∵nan+1=（n+1）an+n（n+1），∴an+1n+1=ann+1，即an+1n+1-ann=1；

∴數(shù)列ann是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.

（2）由（1）知ann=1+（n-1）·1=n，∴an=n2，則bn=3n·an=n·3n；

下面我們用新方法來(lái)求這個(gè)數(shù)列的和，設(shè)cn=（An+B）·3n，cn+1=[A（n+1）+B]·3n+1，

令bn=cn+1-cn，bn=n·3n，cn+1-cn=（2An+3A+2B）·3n比較系數(shù)可得方程

2A=13A+2B=0，解之得A=12B=-34.故cn=n2-34·3n，則

Sn=b1+b2+…+bn=（c2-c1）+（c3-c2）+…+（cn+1-cn），即Sn=cn+1-c1，而

cn+1=n2-14·3n+1，c1=-34，∴Sn=2n-14·3n+1+34.

例2（2015·湖北高考）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q.已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100.

（1） 求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

（2） 當(dāng)d>1時(shí)，記cn=anbn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

解：（1）由題意有10a1+45d=100a1d=2，解得a1=1d=2或a1=9d=29.

故an=2n-1bn=2n-1或an=19（2n+79）bn=9·（29）n-1.

（2）由d>1，知an=2n-1，bn=2n-1，故cn=（2n-1）·12n-1=（4n-2）·12n，

設(shè)rn=（An+B）·12n，由rn+1-rn=cn可得方程組

-A2=4A-B2=-2，解得A=-8B=-4，故rn=（-8n-4）·12n，則

Sn=c1+c2+…+cn=（r2-r1）+（r3-r2）+…+（rn+1-rn），即Tn=rn+1-r1，而

rn+1=（-8n-12）·12n+1=-2n+32n-1，r1=-6，∴Tn=6-2n+32n-1.

例3已知數(shù)列，an=n2·2n（n∈N*）.

（1）求an+1與an的遞推關(guān)系式；

（2）求an的前n項(xiàng)和Sn.

解：（1）an+1-an=（n+1）2·2n+1-n2·2n=an+（4n+2）·2n，

即an+1-2an=（4n+2）·2n.

（2）an+1-2an=（4n+2）·2nan-2an-1=[4（n-1）+2]·2n-1a2-2a1=（4×1+2）·21，疊加得，

an+1-a1-Sn=（4n+2）·2n+[4（n-1）+2]·2n-1+…+（4×1+2）·21，

右邊的求和正好是我們熟悉的錯(cuò)位相消求和，這樣的話用錯(cuò)位相消可以得到

Sn=（n2-2n+3）·2n+1-6.

下面我們用“待定系數(shù)法”來(lái)求Sn，

令bn=（An2+Bn+C）·2n，bn+1=[A（n+1）2+B（n+1）+C]·2n+1，

bn+1-bn=[An2+（4A+B）n+2A+2B+C]·2n=an，比較系數(shù)可得方程

A=14A+B=02A+2B+C=0解方程得A=1B=-4C=6，即bn=（n2-4n+6）·2n，

故Sn=（n2-2n+3）·2n+1-6.endprint