杜 杰，吳 振(沈陽航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽 110136)

機(jī)械與材料工程

熱環(huán)境下復(fù)合材料層合梁自由振動分析

杜 杰，吳 振
(沈陽航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽 110136)

溫度升高導(dǎo)致彈性常數(shù)下降?；赗eddy理論，研究熱環(huán)境下材料常數(shù)變化對復(fù)合材料層合梁振動特性影響。基于哈密頓原理，推導(dǎo)了Reddy層合梁的動力平衡方程，得到了層合梁的固有頻率，分析了長細(xì)比對固有頻率的影響，對比了熱環(huán)境下Reddy梁及Euler梁的固有頻率。數(shù)值結(jié)果表明隨溫度升高，彈性常數(shù)下降，Reddy梁對應(yīng)的固有頻率相應(yīng)降低，而Euler梁的固有頻率無明顯變化。

熱環(huán)境；材料常數(shù)；Reddy理論；層合梁；自由振動

由于復(fù)合材料具有高比強(qiáng)度、高比剛度、低密度及良好的抗疲勞特性，復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)已普遍應(yīng)用于航空航天工程中。航空航天工程中的復(fù)合材料通常處于變化溫度環(huán)境，研究其動力特性須考慮到溫度對材料彈性常數(shù)影響。

基于一階剪切變形理論，Kahya等[1]使用五節(jié)點單元分析了功能梯度梁的屈曲及振動特性。Sahu等基于一階剪切變形理論[2]分析了濕熱對編織纖維層合板振動特性的影響。Thai等[3]指出一階理論適用于中厚度梁自由振動分析，然而分析厚梁自由振動問題精度較低。Reddy[4-5]發(fā)展了三階理論并建立了各向同性梁的振動方程，此理論不需要使用剪切修正系數(shù)且未知變量個數(shù)與一階剪切變形理論的未知變量個數(shù)相同。Jin等[6]基于Reddy理論分析了粘彈性夾層梁的阻尼及振動特性。Giunta等[7]分別基于經(jīng)典理論、一階理論及高階理論分析了層合梁的振動特性。Nguyen等[8]基于增強(qiáng)型高階理論分析了功能梯度夾層板的彎曲、振動及屈曲特性。Ebrahimi等[9]在濕熱環(huán)境下基于非局部應(yīng)變梯度理論分析了粘彈性功能梯度納米梁的振動特性。Singh等[10]基于C0型高階鋸齒理論，使用九節(jié)點單元分析了熱機(jī)載荷作用下復(fù)合材料層合/夾層板的屈曲及振動特性。李映輝等[11-12]在濕熱環(huán)境下分別分析了熱變形及彈性常數(shù)的變化對復(fù)合材料薄壁梁及旋轉(zhuǎn)梁振動特性影響。Verette等[13]分析了溫度對碳/環(huán)氧材料彈性常數(shù)的影響。然而，前期工作基于Reddy理論研究復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)動力問題并沒有考慮不同溫度下彈性常數(shù)的改變對振動頻率的影響。本文對不同溫度下Reddy層合簡支梁的自由振動進(jìn)行分析，結(jié)果表明隨著溫度升高材料的彈性常數(shù)下降，Reddy梁固有頻率會隨之降低。隨著頻率階數(shù)升高，頻率降低會更為明顯,然而Euler梁固有頻率無明顯變化。

1 理論公式

1.1 幾何方程

本文模型采用Reddy層合梁理論，其位移場為

u(x,t)=u0(x,t)+φ1u1(x,t)+φ2u3(x,t)

(1)

其中，u1(x,t)=-Ψ(x,t)，u3(x,t)=?w/?x，φ1=z-cz3，φ2=-cz3。式中Ψ為梁繞Y軸截面的轉(zhuǎn)角。其中c=4μ/3h2，當(dāng)μ=1時，該理論即為Reddy梁理論，當(dāng)μ=0時則退化為僅考慮一階剪切變形的Timoshenko梁理論，并且當(dāng)Ψ=-?w/?x時，該理論繼續(xù)退化為Euler-Bernoulli梁理論。

該理論的應(yīng)變表達(dá)式為

(2)

(3)

1.2 本構(gòu)方程

(4)

Q11=cos4φC11+sin4φC22+2cos2φsin2φ(C12+2C55)

(5)

Q44=cos2φC44+sin2φC55+2cos2φsin2φ(C12+2C55)

(6)

其中，φ為鋪設(shè)角。

1.3 動力平衡方程和邊界條件

本文基于哈密頓原理推導(dǎo)了Reddy簡支層合梁的動力平衡方程，該原理可表述為

(7)

其中U為應(yīng)變能，W為外力做的功，K為動能。其中，W的一階變分為

(8)

f和q分別為沿梁X軸和Y軸的體力。

U的一階變分為

(9)

K的一階變分為

(10)

將式 (8)、(9)、(10)帶入式 (7)即得Reddy梁的動力平衡方程

(11)

(12)

(13)

滿足邊界條件的位移試函數(shù)為

(14)

其中u0n、u1n、wn為傅里葉系數(shù)，n為頻率的階數(shù)。

將式(11)、(12)、(13)帶入式(14)中可得

(15)

其中

2 算例

2.1 Reddy梁理論有效性驗證

表1 梁無量綱化頻率比較

將本文結(jié)果與精確解(Exact)[14]，整體-局部高階理論有限元計算結(jié)果(HGLT)[15]及一階理論計算結(jié)果(FSDT)[14]進(jìn)行比較。表1表明，本文結(jié)果與精確解及整體-局部高階理論有限元計算結(jié)果符合良好，然而，一階理論精度較低。

2.2 考慮溫度變化的Reddy梁振動分析

為分析溫度升高導(dǎo)致的彈性常數(shù)下降對層合梁振動頻率的影響，以簡支梁為例，分別基于Reddy梁理論及Euler梁理論，分析不同溫度下梁的前4階固有頻率，并討論長細(xì)比在溫度變化時對梁固有頻率的影響。

層合梁彈性常數(shù)隨溫度的變化[11]如表2所示。

其中，G12=G13;G23=0.5G12;v12=0.3;ρ=1 600 kg/m3。

2.2.1 不同溫度下層合梁的固有頻率

表2 不同溫度下的彈性常數(shù)

表3 不同溫度下梁的前4階頻率

表3表明溫度升高時，Reddy梁各階頻率均會下降。圖1表明溫度升高時，高階振動比低階振動的頻率下降更快，即彈性常數(shù)下降對高階振動影響更大，然而，基于Euler理論，溫度變化對頻率的影響并不明顯。

圖1 不同階數(shù)下頻率下降的程度

2.2.2 長細(xì)比在溫度升高時對梁固有頻率的影響

表4表明Reddy梁頻率隨長細(xì)比增加而增加,隨溫度升高而降低。圖2表明基于Reddy理論，當(dāng)長細(xì)比較小時，溫度升高引起的彈性常數(shù)下降對頻率影響較大；隨著長細(xì)比增加，彈性常數(shù)的下降對頻率影響逐漸減弱，然而，基于Euler理論，溫度變化對頻率的影響并不明顯。

表4 不同長細(xì)比的梁在不同溫度下的固有頻率

圖2 長細(xì)比對頻率下降程度的影響

3 結(jié)論

本文通過哈密頓原理，建立了Reddy梁的動力平衡方程，得出了不同溫度下Reddy梁的固有頻率并與Euler梁的固有頻率進(jìn)行了比較。隨著溫度升高，材料彈性常數(shù)下降。數(shù)值結(jié)果表明：

(1)彈性常數(shù)下降會導(dǎo)致Reddy梁固有頻率降低，同時，隨著模態(tài)階數(shù)增加，其影響會更為明顯。然而，溫度升高導(dǎo)致的彈性常數(shù)下降對Euler梁固有頻率無明顯影響。

(2)長細(xì)比越大，Reddy梁與Euler梁的固有頻率就越接近，即溫度引起的材料彈性常數(shù)改變對Reddy梁固有頻率的影響在長細(xì)比較小時會更為明顯，當(dāng)長細(xì)比接近40時，彈性常數(shù)的改變對固有頻率影響并不明顯。

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Freevibrationanalysisoflaminatedcompositebeamunderthermalenvironment

DU Jie,WU Zhen
(Faculty of Aerospace Engineering,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

The increase of temperature causes the decrease of material constants.Based on the Reddy's theory,the influences of material constants under thermal environment on vibration characteristics of a laminated composite beam were investigated.The equations of motion were deduced using Hamilton′s principle to obtain natural frequency of the beam and to analyze the effects of length-thickness ratios.The natural frequency of Reddy beam was compared with that of Euler beam under the thermal environment.Numerical results show that elastic constant decrease and natural frequencies obtained from the Reddy′s model also obviously decrease with the increase of temperature,while the natural frequencies calculated from Euler's theory slightly decrease.

thermal environment;material constants;Reddy′s theory;laminated composite beam;free vibration

2017-09-26

國家自然科學(xué)基金(項目編號：11402152)

杜 杰(1990-)，男，山西晉中人，碩士研究生，主要研究方向：層合梁熱振動，E-mail：1165923722@qq.com;吳 振(1977-)，男，黑龍江佳木斯人，教授，博士，主要研究方向：復(fù)合材料力學(xué)研究，E-mail：wuzhenhk@163.com。

2095-1248(2017)06-0055-05

O326

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2017.06.009

吳萍 英文審校：趙歡)