文 /吳勝奎

相似中的數(shù)學(xué)思想

文 /吳勝奎

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓.數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)，是學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的工具.現(xiàn)把相似中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想歸納總結(jié)如下.

一、化歸與轉(zhuǎn)化思想

例 1如圖1，已知直線PT與⊙O相切于點(diǎn)T，直線PO與⊙O相交于A，B兩點(diǎn)．求證：PT2=PA·PB.

圖1

證明：連接OT，AT.

∵PT是⊙O的切線，∴PT⊥OT，

∴∠PTO=90°，∴∠PTA+∠OTA=90°，

∵AB是直徑，

∴∠ATB=90°，∴∠TAB+∠B=90°，

∵OT=OA，∴∠OAT=∠OTA，∴∠PTA=∠B，

在△PTA和△PBT中，

∵∠P=∠P，∠PTA=∠B，∴△PTA∽△PBT，

溫馨小提示：把證明線段成比例轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)三角形相似.這是處理比例線段最常見(jiàn)的方法.

二、分類討論思想

例 2 在△ABC中，AB=6，AC=5，點(diǎn)D在邊AB上，且AD=2，點(diǎn)E在邊AC上，當(dāng)AE= 時(shí)，以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

溫馨小提示：分類要注意：一是正確選擇分類標(biāo)準(zhǔn)；二是分類要科學(xué)，既不重復(fù)又不遺漏.

三、方程和函數(shù)思想

例3一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如圖2，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．

（1）求證：△AEF∽△ABC；

（2）求這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)；

（3）如果把它加工成矩形零件，如圖3，問(wèn)這個(gè)矩形的最大面積是多少？

圖2

圖3

解：（1）∵四邊形EGHF為矩形，∴BC∥EF，

∴△AEF∽△ABC.

（2）設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為xmm，則KD=EF=x，AK=80-x，

∵△AEF∽△ABC，

答：正方形零件的邊長(zhǎng)為48mm．

（3）如圖3，設(shè)EF=x，EG=y，∵△AEF∽△ABC，

當(dāng)x=60時(shí)，此時(shí)矩形的面積最大，最大面積為2400mm2．

溫馨小提示：利用相似三角形的知識(shí)，構(gòu)造出方程或函數(shù)，通過(guò)解方程或利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

王二喜