楊甲山

(1.梧州學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院， 廣西 梧州 543002; 2.梧州學(xué)院 復(fù)雜系統(tǒng)仿真與智能計(jì)算實(shí)驗(yàn)室， 廣西 梧州 543002)

具阻尼項(xiàng)的二階Emden-Fowler型泛函差分方程的振動(dòng)準(zhǔn)則

楊甲山1，2*

(1.梧州學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院， 廣西 梧州 543002; 2.梧州學(xué)院 復(fù)雜系統(tǒng)仿真與智能計(jì)算實(shí)驗(yàn)室， 廣西 梧州 543002)

研究了二階變時(shí)滯Emden-Fowler型阻尼差分方程Δ[Anφ(Δyn)]+Bnφ(Δyn)+Qnf(Φ(xσn))=0(n≥n0)的振動(dòng)性，其中yn=xn+Png(xτn)，φ(u)=|u|λ-1u，Φ(u)=|u|β-1u(這里λ>0，β>0為實(shí)常數(shù)). 利用廣義的黎卡提變換，結(jié)合其它數(shù)學(xué)分析方法， 獲得了該類方程的一系列新的振動(dòng)準(zhǔn)則，并給出了若干例子說明本文所得結(jié)果的有效性．

振動(dòng)性; 中立型差分方程; 黎卡提變換; 阻尼項(xiàng)

隨著差分系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論在計(jì)算機(jī)科學(xué)、自動(dòng)控制理論、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物數(shù)學(xué)(特別是生物種群動(dòng)力學(xué))、物理學(xué)(特別是核物理)等自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的廣泛應(yīng)用，其有關(guān)理論的研究顯得越來越重要，特別是差分方程的定性理論之一的振動(dòng)性研究更是受到學(xué)者們高度關(guān)注[1-19].但值得注意的是，在這些研究中，對具有阻尼項(xiàng)的Emden-Fowler型差分方程研究卻很少[7-9].本文考慮如下一類具有非線性中立項(xiàng)的二階Emden-Fowler型阻尼泛函差分方程

Δ[Anφ(Δyn)]+Bnφ(Δyn)+Qnf(Φ(xσn))=0，

n≥n0，

(1)

的振動(dòng)性，其中yn=xn+Png(xτn)，n0≥0為整數(shù);φ(u)=|u|λ-1u，Φ(u)=|u|β-1u(這里λ>0，β>0為實(shí)常數(shù));而{An}，{Pn}，{Bn}，{Qn}，{τn}，{σn}均為實(shí)數(shù)序列;函數(shù)f(u)，g(u)∈C(R，R)且滿足uf(u)>0(u≠0)，ug(u)>0(u≠0)．

關(guān)于方程(1)的解及其振動(dòng)性定義，英文的可參見[1-2]，中文的可參見[6，10].本文只討論泛函差分方程(1)的非平凡解.記

(2)

并約定zn0=1. 假設(shè):

(H3) 當(dāng)u≠0時(shí)，f(u)/u≥L，g(u)/u≤η，其中L>0， 0<η≤1均為常數(shù)．

(H4)0≤Pn<1，Qn>0，且An>Bn≥0．

文獻(xiàn)[4]研究了方程(1)的特殊情形

Δ(pn|Δzn|λ-1Δzn)+qnf(xn-σ)=0

的振動(dòng)性，這里zn=xn+pnxn-τ.但我們可以看到，若沒有假設(shè)λ≥1，其結(jié)果是不成立的．

文獻(xiàn)[5-6]分別研究了泛函差分方程

和

Δ(pn(Δ(xn+φ(n，xτn))γ))+qnfβ(xgn)=0

文獻(xiàn)[10-11]研究了差分方程

Δ[rn|Δzn|α-1Δzn]+qnf(xn-σ)=0

本文利用Riccati變換和均法，并借助大量不等式，獲得了方程(1)振動(dòng)的一系列新的充分條件，擴(kuò)充了α，β的范圍，推廣、改進(jìn)且統(tǒng)一了文獻(xiàn)[4-13，15]中的一些結(jié)果，還糾正了文[6]中定理4的證明中的錯(cuò)誤.考慮這種情形：

(C)

并引入下列二重序列，后面不再說明.稱二重序列{Hn，s:n≥s≥n0}屬于集合Ω，記為Hn，s∈Ω，如果

(i) 當(dāng)n≥n0時(shí)Hn，n=0; 當(dāng)n>s≥n0時(shí)Hn，s>0;

引理1設(shè)(H1)～(H4)及條件(C)成立，并設(shè)序列{xn}是系統(tǒng)(1)的一個(gè)最終正解，則有

yn>0，Δyn>0，ΔAn|Δyn|λ-1Δyn<0.

(3)

證明因?yàn)樾蛄衶xn}是系統(tǒng)(1)的最終正解，故可設(shè)當(dāng)n≥N≥n0時(shí)，xn>0，xτn>0，xσn>0，于是yn>0.由方程(1)，并考慮到(H3)，則有

Δ[Anφ(Δyn)]+Bnφ(Δyn)≤-LQn(xσn)β<0.

(4)

利用(2)式，得

Δzn=zn+1-zn=

注意到上式及(4)式，于是就有

Δ[znAnφ(Δyn)]=

zn+1·Δ[Anφ(Δyn)]+Δzn·[An|φ(Δyn)]=

zn+1Δ[Anφ(Δyn)]+Bnφ(Δyn)<0，

(5)

這就是說znAnφ(Δyn)=zn(An|Δyn|λ-1Δyn)是單調(diào)減少的，且Δyn最終定號.由此可斷言:Δyn>0，n≥N．

若不然，則?n1≥N，使得Δyn1<0，因此

zn(An|Δyn|λ-1Δyn)≤

zn1(An1|Δyn1|λ-1Δyn1)=-M，n≥n1，

上式中的常數(shù)M=-zn1(An1|Δyn1|λ-1Δyn1)=zn1[An1|Δyn1|λ-1(-Δyn1)]>0.于是

由(4)式不難推出ΔAn|Δyn|λ-1Δyn<0，n≥N.證畢．

引理2[17]設(shè)X，Y為非負(fù)實(shí)數(shù)，則當(dāng)r>1時(shí)rXYr-1-Xr≤(r-1)Yr，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)X=Y．

1 方程(1)的振動(dòng)準(zhǔn)則

定理1設(shè)(H1)～(H4)及條件(C)成立，且存在一正的序列{ρn}使得當(dāng)λ≥β≥1時(shí)

(6)

其中M>0為某常數(shù)，則方程(1)是振動(dòng)的．

證明反設(shè)方程(1)存在一個(gè)非振動(dòng)解{xn}，即xn>0，xτn>0，xσn>0，n≥N≥n0. 由于yn≥xn， 注意到條件(H1)及(3)式， 由序列{yn}的定義， 有

yn≤xn+ηPnxτn≤xn+ηPnyτn≤xn+ηPnyn，

即

xn≥[1-ηPn]yn.

(7)

定義變換

(8)

則wn>0(n≥N). 由引理1知Aσn(Δyσn)λ≥An(Δyn)λ≥An+1(Δyn+1)λ，所以

(9)

由于β≥1，利用不等式(見[13]的引理2)xβ-yβ≥21-β(x-y)β，x≥y≥0，得

Δ(yσn)β=(yσn+1)β-(yσn)β≥

21-β(yσn+1-yσn)β=21-β(Δyσn)β>0.

(10)

于是分別利用(4)， (10)和(7)式， 并注意到y(tǒng)σn≤yσn+1， 由(8)式進(jìn)一步可得

Δwn≤-LρnQn(1-ηPσn)β+

(11)

由(11)式，并利用完全平方技巧，得

Δwn≤-LρnQn(1-ηPσn)β-

-LρnQn(1-ηPσn)β+

兩邊從n1到n求和，得

wn1-wn+1≤wn1，

這與(6)式矛盾! 證畢.

定理2設(shè)(H1)～(H4)及條件(C)成立，且ΔAn≥0，如果存在一正的序列{ρn}使得當(dāng)λ≥β時(shí)

(12)

其中α>0為某常數(shù)，則方程(1)是振動(dòng)的．

證明反設(shè)方程(1)存在一個(gè)非振動(dòng)解{xn}，即xn>0，xτn>0，xσn>0，n≥N≥n0.定義序列wn同(8)式，則當(dāng)n≥N時(shí)，wn>0．

當(dāng)β≥1時(shí)，利用不等式(見[14]的定理41)xβ-yβ≥βyβ-1(x-y)，x≥y≥0，得

Δ(yσn)β=(yσn+1)β-(yσn)β≥

β(yσn)β-1(yσn+1-yσn)=β(yσn)β-1Δyσn.

(13)

于是， 分別利用(4)， (13)，(9)和(7)式，并注意到y(tǒng)σn≤yσn+1，由(8)式得

(14)

當(dāng)0<β<1時(shí)，利用不等式(見[14]的定理41)xβ-yβ≥βxβ-1(x-y)，x≥y>0，得

Δ(yσn)β=(yσn+1)β-(yσn)β≥

β(yσn+1)β-1(yσn+1-yσn)=β(yσn+1)β-1Δyσn>0.

(15)

同樣，由于(9)式及yσn≤yσn+1，并分別利用(4)，(15)和(7)式，由(8)式得

即(14)式仍然成立.由引理1知，當(dāng)n≥N時(shí)，

0>ΔAn|Δyn|λ-1Δyn=ΔAn(Δyn)λ=
ΔAn·(Δyn+1)λ+AnΔ(Δyn)λ，

注意到ΔAn≥0，所以Δ(Δyn)λ<0，即{(Δyn)λ}是非增的序列.因此，?n≥N，有(Δyn)λ≤(ΔyN)λ，即Δyn≤ΔyN.于是，yn≤yN+(n-N)ΔyN≤yN+nΔyN.故存在合適的正常數(shù)α，使得yn≤αn.由此可得，當(dāng)n≥N時(shí)yσn+1≤ασn+1≤α(n+1)，進(jìn)而

(yσn+1)(λ-β)/λ≤[α(n+1)](λ-β)/λ，n≥N.

因此(14)式即為

(16)

在引理2中，令

則由不等式rXYr-1-Xr≤(r-1)Yr可得

將上式代入(16)式，得

上式整理后，兩邊從N到n求和， 得

這與(12)式矛盾! 證畢.

定理3設(shè)(H1)～(H4)及條件(C)成立，β≥λ≥1，且存在正的序列{ρn}及二重序列Hn，s∈Ω，使得

(17)

在上面的式子中M>0為某常數(shù)，則方程(1)是振動(dòng)的．

證明反設(shè)方程(1)存在一個(gè)非振動(dòng)解{xn}，即xn>0，xτn>0，xσn>0，n≥N≥n0.定義序列wn同(8)式.類似地，由定理1的證明知(11)式成立，即

上式兩邊同乘以Hn，s， 然后從n1(n1≥N)到n-1(n>n1)求和，得

對上式右邊第一項(xiàng)分部求和，然后利用完全平方技巧，得

因此

由上式進(jìn)一步可得

這與(17)式矛盾! 證畢．

注1當(dāng)λ=β時(shí)，由定理1和定理3分別可得文[8]中的定理1和定理2．

定理4設(shè)(H1)～(H4)及條件(C)成立，且ΔAn≥0，λ≥β，如果存在正的序列{ρn}及二重序列Hn，s∈Ω，使得

∞，

(18)

式中,α>0為某常數(shù)，則方程(1)是振動(dòng)的．

證明反設(shè)方程(1)存在一個(gè)非振動(dòng)解{xn}，即xn>0，xτn>0，xσn>0，n≥N≥n0.定義序列wn同(8)式.類似地，由定理2的證明知(16)式總是成立，即

于是由上式可得

在引理2中，令

則由不等式rXYr-1-Xr≤(r-1)Yr可得

于是

即

wn1，

由上式即得

于是就有

∞，

這就與(18)式產(chǎn)生了矛盾! 定理證畢.

注2在[6]中，作者通過下面的不等式(見[6]的P322第16行)

(Δ2zn)γ=(Δzn+1-Δzn)γ≤

(Δzn+1)γ-(Δzn)γ<0，

此處,γ>1是兩正奇數(shù)之比，即Δ2zn<0得到了與定理4類似的定理([6]中的定理4).但上述不等式是錯(cuò)的，它成立的條件是Δzn+1≥Δzn(見[6]中的(2.8)式)，這就與Δ2zn<0產(chǎn)生了矛盾.所以，我們的定理4不僅糾正了這個(gè)錯(cuò)誤，而且定理2及定理4還進(jìn)一步拓廣了γ的范圍．

推論1設(shè)(H1)～(H4)及條件(C)成立，且β≥λ≥1，如果

(19)

其中,M>0為某常數(shù)，則方程(1)是振動(dòng)的．

推論2設(shè)(H1)～(H4)及條件(C)成立，且ΔAn≥0，λ≥β，如果

(20)

其中,α>0為某常數(shù)，則方程(1)是振動(dòng)的．

再令Hn，s=(n-s)ω，ω≥1，n≥s≥n0，類似地，可得

推論3設(shè)(H1)～(H4)及條件(C)成立，且β≥λ≥1，如果存在正的序列{ρn}，使得

(21)

其中,M>0為某常數(shù)，則方程(1)是振動(dòng)的．

推論4設(shè)(H1)～(H4)及條件(C)成立，且ΔAn≥0，λ≥β，如果存在正的序列{ρn}，使得

(22)

其中,α>0為某常數(shù)，則方程(1)是振動(dòng)的．

注4當(dāng)β=λ時(shí)，由定理3還可得到文[9]中的定理1.進(jìn)一步，若方程(1)中的β=λ≥1是2個(gè)正奇數(shù)之商，且g(u)=u，τn=n-τ，Bn≡0，f(u)=u，σn=n-σ，則方程(1)簡化為

在這種情形下，推論3就是文[15]中的定理3.1. 因此，本文定理改進(jìn)且推廣了文[15]中的幾個(gè)定理．

2 例子

例1考慮下列Emden-Fowler型時(shí)滯差分方程:

(23)

所以條件(H1)～(H4)及(C)顯然是滿足的.又因?yàn)棣n≥0，且

所以，由推論2知方程(23)是振動(dòng)的．

例2考慮具非線性中立項(xiàng)的二階Emden-Fowler型阻尼泛函差分方程:

(24)

5=L(u≠0)，

∞，

顯然，條件(H1)～(H4)及(C)全部滿足.為了計(jì)算簡單，現(xiàn)在定理1中取ρn≡1，則

(n→∞)，

所以，由定理1知方程(24)是振動(dòng)的．

注5顯然，文獻(xiàn)[4-13，15-19]等中的定理都不適用于方程(23)和(24)，因此本文所得到的結(jié)果是新的．

[1] AGARWAL R P. Difference Equations and Inequalities， Theory， Methods and Applications[M]. 2nd Ed. New York:Marcel Dekker， 2000．

[2] AGARWAL R P， BOHNER M， GRACE S R， et al. Discrete Oscillation Theory[M]. New York :Hindawi Publishing Ororation，2005．

[3] SAKER S H， CHENG S S. Kamenev type oscillation criteria for nonlinear difference equations[J]. Czechoslovak Mathematical Journal， 2004，54: 955-967．

[4] LUO J W. Oscillation criteria for second-order quasilinear neutral difference equations[J]. Comput Math Appl， 2002，43:1549-1557．

[5] CHENG G F. Kamenev-type oscillation criteria for delay difference equations[J]. Acta Mathematica Scientia， 2007，27(3): 574-580．

[6] 程金發(fā). 二階泛函差分方程的振動(dòng)性判別準(zhǔn)則[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，49(2):317-326．

[7] 田亞州， 范 敏， 孟凡偉. 二階非線性時(shí)滯差分方程解的振動(dòng)性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識， 2011，41(24):188-193．

[8] 楊甲山， 黃 勁. 一類具阻尼項(xiàng)的二階差分方程的振蕩性[J].昆明理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，40(4): 131-138．

[9] 楊甲山， 張曉建. 具阻尼項(xiàng)的二階擬線性泛函差分方程的振蕩性判別準(zhǔn)則[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)， 2015,42(3): 276-281．

[10] 王冬梅， 徐志庭. 二階擬線性中立型差分方程的振動(dòng)性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 2011，34(3):537-553．

[11] WANG D M， XU Z T. Oscillation of second-order quasilinear neutral delay difference equations[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica(English Series)， 2011，27(1):93-104．

[12] 楊甲山. 具正負(fù)系數(shù)和多變時(shí)滯的高階泛函差分方程的振動(dòng)性定理[J].昆明理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2014，39(6):130-135．

[13] JIANG J C. Oscillation criteria for second-order quasilinear neutral delay difference equations[J]. Appl Math Comput，2002，125:287-293．

[14] HARDY G H， LITTLEWOOD J E， POLYA G. Inequalities[M]. 2nd Ed. Cambridge :Cambridge University Press， 1952．

[15] ZHANG B G，SAKER S H. Kamenev-type oscillation criteria for nonlinear neutral delay difference equations[J].Indian J Pure Appl Math， 2003，34(11):1571-1584．

[16] ZHANG B S. Oscillatory behavior of solutions of general third order mixed neutral difference equations[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica(English Series)，2015，31(2):467-474．

[17] AGARWAL R P， BOHNER M， LI W T. Nonoscillation and Oscillation: Theory for Functional Differential Equations[M]. New York: Marcel Dekker， 2004．

[18] 楊甲山. 具正負(fù)系數(shù)的二階非線性變時(shí)滯差分方程的振動(dòng)性定理[J].中央民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2016，25(3): 26-31．

[19] 楊甲山. 一類具正負(fù)系數(shù)的二階阻尼差分方程的振動(dòng)定理[J].邵陽學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2012,9(2):6-10．

Oscillationcriteriaforsecond-orderEmden-Fowlerfunctionaldifferenceequationswithdamping

YANG Jiashan1，2

(1.School of Information and Electronic Engineering， Wuzhou University， Wuzhou 543002, China; 2.Laboratory of Complex System Simulation and Intelligent Computing， Wuzhou University，Wuzhou 543002, China)

This paper is concerned with oscillations of second-order variable delay Emden-Fowler damped difference equations of the form Δ[Anφ(Δyn)]+Bnφ(Δyn)+Qnf(Φ(xσn))=0(n≥n0)，whereyn=xn+Png(xτn)，φ(u)=|u|λ-1u，Φ(u)=|u|β-1u(λ>0，β>0 are constants).By using the generalized Riccati transformation， averaging technique and mathematical analytic methods， some new oscillation criteria for the equations are proposed. Finally， some illustrating examples have also been provided to show the importance of these results．

oscillation; neutral difference equation; Riccati transformation; damping term

2016-11-08.

國家青年科學(xué)基金項(xiàng)目(61503171)；廣西省教育廳科研項(xiàng)目(2013YB223) ;碩士學(xué)位授予單位立項(xiàng)建設(shè)項(xiàng)目(桂學(xué)位[2013]4號);梧州學(xué)院校級科研重大項(xiàng)目(2014A003).

*E-mail: syxyyjs@qq.com.

10.19603/j.cnki.1000-1190.2017.06.001

1000-1190(2017)06-0723-08

O175.7

A