蘇 敏，雷騰飛，黃麗麗，付海燕，曹 鳳

(齊魯理工學(xué)院 電氣信息工程學(xué)院，山東 濟(jì)南，250200 )

一類非線性機(jī)電換能器混沌系統(tǒng)的最優(yōu)控制

蘇 敏，雷騰飛，黃麗麗，付海燕，曹 鳳

(齊魯理工學(xué)院 電氣信息工程學(xué)院，山東 濟(jì)南，250200 )

針對一類自激非線性機(jī)電換能器混沌系統(tǒng)，首先，采用分岔圖、Lyapunov指數(shù)譜圖與復(fù)雜度分析了系統(tǒng)的混沌基本動(dòng)力學(xué)行為；其次，基于的最優(yōu)控制理論，找出了系統(tǒng)的HJB微分方程，可隨意跟蹤目標(biāo)函數(shù)；最后，通過MATLAB軟件對最優(yōu)控制器進(jìn)行了相關(guān)的仿真，仿真結(jié)果表明設(shè)計(jì)的最優(yōu)控制器比傳統(tǒng)的控制器具有更強(qiáng)的快速響應(yīng)能力且在工程中易實(shí)現(xiàn)。

機(jī)電換能器；混沌；Lyapunov指數(shù); 最優(yōu)控制

半個(gè)多世紀(jì)以前， Lorenz 首先提出了第一個(gè)混沌模型——Lornez系統(tǒng)，自此，較多的科學(xué)工作者對混沌以及相關(guān)領(lǐng)域開始給予了關(guān)注并進(jìn)行了初步研究探索[1-2]。在非線性電路、力學(xué)、化學(xué)與生物等領(lǐng)域，人們都發(fā)現(xiàn)了復(fù)雜的混沌特性，尤其是在機(jī)電耦合系統(tǒng)更為突出，因多數(shù)系統(tǒng)通過Vanderpol振子與Duffing振子耦合而成的。近年來，在機(jī)電耦合與電機(jī)方面驅(qū)動(dòng)成果豐碩，文獻(xiàn)[3]對永磁同步電機(jī)混沌系統(tǒng)的相關(guān)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了分析并采用電路實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)相圖；文獻(xiàn)[4，5]對分別對永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)與永磁同步電機(jī)系統(tǒng)采用反步控制策略進(jìn)行了控制；文獻(xiàn)[6]對一類具有分?jǐn)?shù)階永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)進(jìn)行了自適應(yīng)控制的研究，最后采用電路將其實(shí)現(xiàn)；文獻(xiàn)[7]對一類同步磁阻電機(jī)混沌系統(tǒng)采用自適應(yīng)滑?？刂茖⑵涑晒?shí)現(xiàn)控制。文獻(xiàn)[8]討論了具有串補(bǔ)電容的單機(jī)無窮大電力系統(tǒng)的余維3動(dòng)態(tài)分叉。文獻(xiàn)[9，10]考慮了具有自動(dòng)頻率跟蹤功能的電磁振動(dòng)給料機(jī)的機(jī)電耦合系統(tǒng)的余維2動(dòng)態(tài)分叉。文獻(xiàn)[11]給出了振動(dòng)篩系統(tǒng)的兩類余維3分岔與非常規(guī)混沌演化等。隨著人們對機(jī)電耦合混沌系統(tǒng)的建模、分析、控制與同步的深入研究，大量的復(fù)雜非線性現(xiàn)象及系統(tǒng)的內(nèi)在混沌動(dòng)力學(xué)行為被揭示，同時(shí)基于不同策略的混沌控制與同步方法在實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用中得到廣泛驗(yàn)證。文獻(xiàn)[12]推導(dǎo)了一種平面內(nèi)三連桿的自由浮動(dòng)剛?cè)狁詈先哂喽瓤臻g機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型，并給出了魯棒Proportional-Derivtive(PD)補(bǔ)償控制、延遲反饋控制和模態(tài)力最優(yōu)控制策略。文獻(xiàn)[13,14]對此類機(jī)電耦合Vanderpol-Duffing系統(tǒng)，分別采用自適應(yīng)反步控制及無源化控制策略，將其系統(tǒng)穩(wěn)定控制。

文中針對一類非線性換能系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，利用分岔圖、Lyapunov指譜以及分岔空間等基本的動(dòng)力學(xué)分析方法，研究了參數(shù)對系統(tǒng)的影響，對系統(tǒng)進(jìn)行了定性的闡述；同時(shí)根據(jù)最優(yōu)控制原理，設(shè)計(jì)出了非線性換能系統(tǒng)的控制器，；最后采用MATLAB軟件對設(shè)計(jì)的有限時(shí)間控制策略以及k值進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果表明了控制器的快速性和可控性，對機(jī)電以及電機(jī)耦合系統(tǒng)的同步控制研究均提供了重要的價(jià)值。

1 混沌系統(tǒng)

非線性自激勵(lì)機(jī)電換能器如圖1所示，從圖中可以看出系統(tǒng)由電力和機(jī)械兩部分構(gòu)成.其中電類部分由電容(C)、電感(L)和非線性電阻(RNL)組成。

圖1 自激勵(lì)機(jī)電換能器Fig.1 Nonlinear electromechanical transducer

經(jīng)過實(shí)踐尺度變換,換能器系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型為[13]：

(1)

其中x,y分別表示電容電荷和質(zhì)量為m的桿的位移.若p=q=0,則系統(tǒng)(1)即為經(jīng)典的Vanderpol振子和自治的Duffing方程,所以該系統(tǒng)具有自激勵(lì)性能。

為了研究方便，重新改寫機(jī)電換能器混沌系統(tǒng)(1)為

(2)

(a)x1-x2相圖 (b)x1-x3相圖

(c)x2-x3相圖 (d)x1-x4相圖圖2 系統(tǒng)(2)混沌吸引子Fig.2 Chaotic attractor of system(2)

2 參數(shù)換能系統(tǒng)的影響

對于非線性換能系統(tǒng)，文中通過常用的分岔圖、Lyapunov指數(shù)譜(LE譜)以及復(fù)雜度SE/C0對參數(shù)ω1對系統(tǒng)的影響予以分析。

改變參數(shù)ω1，其他參數(shù)不變，參數(shù)ω1∈[0,2]，系統(tǒng)隨ω1變化的分岔圖與LE譜圖如圖3所示，最大Lyapunov指數(shù)如圖3(c) 所示，從圖中易觀察出，ω1∈[0,0.72)系統(tǒng)處于周期狀態(tài)如圖3(a)系統(tǒng)分岔圖，對應(yīng)此區(qū)間最大Lyapunov指數(shù)小于0。如圖3(c)，ω1∈[0.72,0.82)∪[1,1.2]∪[1.7,2]系統(tǒng)處于混沌態(tài)，此區(qū)間最大Lyapunov指數(shù)大于0。由此可見分岔圖與LE譜圖具有一致,同時(shí)，也可以看出該系統(tǒng)混沌區(qū)域較小，為了進(jìn)一步驗(yàn)證系統(tǒng)的混沌態(tài)與周期態(tài)，文中給出了系統(tǒng)不同參數(shù)值下的相圖，如圖4所示。

(a)分岔圖 (b)LE譜

(c)最大Lyapunov指數(shù)圖3 系統(tǒng)隨a變化的分岔圖與LE譜Fig.3 Bifurcation diagram for the system with a varying and Lyapunov exponent spectrum

(a)ω1=0.6 (b)ω1=0.7

(c)ω1=0.72 (d)ω1=0.82

(e)ω1=2圖4 ω1變化時(shí)系統(tǒng)(2)的相圖Fig.4 Phase diagram for system(2)with ω1 varying

3 最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)原理

對于非線性系統(tǒng)而言：

(3)

x=(x1,x2…xn)T為狀態(tài)變量，u(x,t)為控制器[11]，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)從任意點(diǎn)到任意確定點(diǎn)x*的目標(biāo)函數(shù)為：

(4)

q(x)是連續(xù)可導(dǎo)且是正定的函數(shù)。根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，最優(yōu)控制則歸結(jié)為HJB微分方程[12];

(5)

4 系統(tǒng)的最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)

(6)

取前饋系統(tǒng)為：

(7)

則系統(tǒng)(6)變成:

(8)

為了達(dá)到控制點(diǎn)，確定反饋控制器u(u1,u2,u3,u4)，定義目標(biāo)函數(shù)：

(9)

(10)

+

(11)

(12)

其中si,ri(1,2,3,4)為正整數(shù)。

將(12)代入(11)得：

5 系統(tǒng)控制器的仿真與分析

為了研究上面所述控制策略的有效性，為了便于進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，取與文獻(xiàn)[14]相同參數(shù)值，令ε2=0.00987，ε1=2.466，ω1=ω2=1，c=0，p=3.518，q=0.808，取k1=k2=1,k3=5,，s1=1,s2=s4=1,s3=5，l1=3,l2=1.02,l3=11,l4=6.932,當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行到10s，加入最優(yōu)控制器，系統(tǒng)可以迅速跟跟蹤到制定目標(biāo)，仿真結(jié)果如圖5所示，從圖中可以看系統(tǒng)響應(yīng)以及抗干擾性較強(qiáng)。

(a)狀態(tài)變量x1的受控時(shí)序圖 (b)狀態(tài)變量x2的受控時(shí)序圖

(c)狀態(tài)變量x4的受控時(shí)序圖 (d)狀態(tài)變量x4的受控時(shí)序圖圖5 受控系統(tǒng)的狀態(tài)Fig.5 State of the controlled system

6 結(jié)論

文中針對一類自激非線性機(jī)電換能器混沌系統(tǒng)，運(yùn)用基本動(dòng)力學(xué)分析工具分叉圖與Lyaunov指數(shù)譜等進(jìn)行了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的分析，并給出系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的區(qū)域。同時(shí)利用最優(yōu)控制理論即尋找HJB微分方程，文中給出了具體尋找的步驟，最后采用Matlab軟件，驗(yàn)證了文中控制器的的可行性與有效性。從仿真結(jié)果看，系統(tǒng)具有良好的時(shí)間響應(yīng)。

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OptimumControlforANonlinearElectromechanicalTransducerChaoticSystem

SU Min,LEI Tengfei,HUANG Lili,FU Haiyan，CAO Feng

(Sclool of Electrical and Information Engineering，Qilu Institute of Technology,Jinan 250200,China)

electromechanical transducer；chaos ；Lyapunov exponent.； optimum control

1672-7010(2017)06-0054-08

TP273;TM346;TN702；TM132

A

2017-09-30

山東省自然科學(xué)基金(ZR2017PA008)；齊魯理工學(xué)院科技計(jì)劃項(xiàng)目(07qlk009)

蘇敏(1983-)，女，遼寧沈陽人，副教授，碩士，主要從事傳感器檢測與混沌檢測技術(shù)研究；雷騰飛(1988-)，男，山東肥城人，碩士，講師，主要從事混沌系統(tǒng)分析與控制等研究

Received：In this paper,a class of self-excited nonlinear electromechanical transducer chaotic system was proposed.Firstly,the chaotic basic dynamics behavior of the system was analyzed by using bifurcation diagram,Lyapunov exponent spectrum and complexity.Secondly,based on the optimal control theory,the HJB differential equation of the system was found,and the target function could be tracked at random.Finally,the optimal controller was simulated by MATLAB software,the simulation results show that the optimal controller has more rapid response ability than the traditional controller and is easy to implement in the project.