夏 林，周 可，張海波

(1．安徽信息工程學院 計算機與軟件工程系，安徽 蕪湖，241000；2．安徽師范大學 經(jīng)濟管理學院，安徽 蕪湖，241000；3．安徽師范大學 數(shù)學與計算機科學學院，安徽 蕪湖，241000)

對稱隨機變量的若干性質的探究

夏 林1，周 可2，張海波3

(1．安徽信息工程學院 計算機與軟件工程系，安徽 蕪湖，241000；2．安徽師范大學 經(jīng)濟管理學院，安徽 蕪湖，241000；3．安徽師范大學 數(shù)學與計算機科學學院，安徽 蕪湖，241000)

基于已知的對稱隨機變量的相關性質和定義進行新的探究，給出了對稱隨機變量與概率、期望、邊際分布函數(shù)等有關的若干新性質。

對稱隨機變量；概率；期望；邊際分布函數(shù)

隨機變量的引進對概率論的研究產(chǎn)生了巨大的影響，我們不再孤立地研究一個問題而是用聯(lián)系的觀點來看待問題。對稱隨機變量是隨機變量中一類重要的變量，對稱隨機變量相關性質的研究對解決概率論中相關問題具有重要的研究意義。John等人(1972)提出了一種逼近的方法來獲得對稱隨機變量，為對稱隨機變量性質的研究打下基礎[1]；于浩等人(1989)建立了獨立隨機變量收斂性定理，提出了收斂條件，改進和推廣了目前的收斂結果[2]；汪明瑾(1995)提出了對稱隨機變量的平均不等式，建立了對稱隨機變量的算術平均，幾何平均期望不等式,將康托洛維奇不等式作為推論導出[3]；楊善朝(2000)研究由隨機變量和的M_Z_B型不等式導出Rosenthal型不等式的條件,并證明了M_Z_B型不等式,獲得了多種類型隨機變量序列的Rosenthal型不等式[4]；祝東進(2004)對隨機變量的幾乎確界進行了研究，討論在適當?shù)臈l件下得到隨機變量幾乎確界的一些性質,并對對稱、可逆、倒對稱隨機變量的幾乎確界性質作了進一步的討論[5]；陳光曙(2005)討論了對稱隨機變量、逆對稱隨機變量、倒對稱隨機變量的概率結構,并得到了他們之間的關系[6]；趙婷等人(2010) 在一定的矩限制條件下,得到了一個隨機變量序列的Hajek-Renyi型不等式,并應用此不等式證明隨機變量序列部分和的幾乎處處收斂性,同時給出隨機變量序列部分和的推廣性質和收斂速度[7]；張水利等人(2011)利用Háyek-Rényi型最大值不等式研究了對稱隨機變量序列，并在一定條件下,得到了對稱隨機變量序列的強大數(shù)定律[8]；朱玉龍等人(2015)討論了多維對稱隨機變量,闡明其分量仍是對稱隨機變量,并進一步給出多維對稱隨機變量分布函數(shù)的一個充分必要條件[9]；朱玉龍等人(2017)闡明了連續(xù)型對稱隨機變量概率密度的偶函數(shù)特點[10]；張永波等人(2017)提出檢測對稱變量的算法，為對稱變量的檢驗提供了有效的途徑[11]；然而關于對稱隨機變量性質的相關研究很少有人關注，這篇文章主要研究了對稱隨機變量與概率、期望以及邊際分布函數(shù)等有關的若干性質，為以后對稱隨機變量的相關問題的研究提供了理論基礎。在給出主要的理論結果之前我們先給出相關的準備知識：

定義1：設X是隨機變量，如果對于任意的x有P(X≤-x)=P(X>x)，則稱隨機變量X具有對稱分布。

定義2：如果n維隨機變量(b1x1,b2x2,…,bnxn)，其中bi=±1，i=1,2,…,n的分布函數(shù)均為F(y1,y2,…,yn)=P(x1≤y1,x2≤y2,…,xn≤yn)，則稱(x1,x2,…,xn)為n維對稱隨機變量。

引理2[13]：若隨機變量X關于Y是對稱的，則與下面的任意一個條件等價：

(1)X-Y與Y-X有相同的特征函數(shù)；

(2)X-Y的特征函數(shù)是實值函數(shù)。

1 主要理論結果

可得P(Xn=0)=1與P(Xn=0)<1矛盾，從而假設不成立，于是結論得證。

證明：構造集合{j:|Tj|≥a,j≤n}，當此集合是空集時，令參數(shù)b=n，當此集合不是空集時令b=min{j:|Tj|≥a,j≤n} ，則有

(1)

又由于{xn,n≥1}是對稱的隨機變量，從而(1)可以化簡如下：

性質4：設(x1,x2,…,xn)是n維對稱隨機變量

N={1,2,…,n},Ak={a1,a2,…,ak}?N,a1≤a2…≤an，

則(TAk,TBn-k)是二維對稱隨機變量。

所以(TAk,TBn-k)是二維隨機變量。

性質5：設(x1,x2,…,xn)是n維對稱隨機變量，分布函數(shù)為F(y1,y2,…,yn)=P(x1≤y1,x2≤y2,…,xn≤yn)，則(x1,x2,…,xn-2)的邊際分布函數(shù)為

Fx1,x2,…,xn-2(y1,y2,…,yn-2)=F(y1,y2,…,yn)+F(y1,y2,…,-yn-1-0)+F(y1,y2,…,-yn-0)

證明：因為隨機變量(b1x1,b2x2,…,bn-1xn-1)，其中bi=±1，i=1,2,…,n-1，的分布函數(shù)為

所以(x1,x2,…,xn-1)是對稱隨機變量。(x1,x2,…,xn-1)的分布函數(shù)，

Fx1,x2,…,xn-1(y1,y2,…,yn-1)=F(y1,y2,…,yn-1,+)=

P(x1≤y1,x2≤y2,…,xn-1≤yn-1,xn≤yn)+P(x1≤y1,x2≤y2,…,xn-1≤yn-1,xn>yn)=

P(x1≤y1,x2≤y2,…,xn-1≤yn-1,xn≤yn)+P(x1≤y1,x2≤y2,…,xn-1≤yn-1,xn<-yn)=

F(y1,y2,…,yn)+F(y1,y2,…,yn-1，-yn-0)

因為(x1,x2,…,xn-1)是對稱隨機變量，同理可得，(x1,x2,…,xn-2)是對稱隨機變量，且

從而結論得證。

2 應用舉例

例1：設隨機變量X關于0是對稱的，服從均勻分布U[0,1]，則EX=0。

例2[14]：n維標準正態(tài)隨機變量X～N(0,I)的分布函數(shù)可表示為

于是(x1,x2,…,xn-2)的邊際分布函數(shù)為

其中a=(a1,a2,…,an)T=QnT(y1,y2,…,-yn-0)，b=(b1,b2,…,bn-1)T=Qn-1T(y1,y2,…,-yn-1-0)

[1]JOHN S Ramberg; BRUCE W Schmeiser.An approximate method for generating symmetric random variables[J].Communications of the ACM，1974：17(2)：78-82.

[2]于浩．獨立隨機變量的完全收斂性[J]．應用概率統(tǒng)計，1989，(2):105-116．

[3]汪明瑾.對稱隨機變量的平均不等式[J].江西師范大學學報(自然科學版),1995,19(4)：301-303.

[4]楊善朝．隨機變量部分和的矩不等式[J].中國科學(A輯),2000,30(3):218-222．

[5]祝東進.關于隨機變量“幾乎確界”的注記[J].安徽師范大學學報(自然科學版),2004,24(4)：307-313.

[6]陳光曙.對稱隨機變量的概率結構[J].佳木斯大學學報(自然科學版),2005,23(2):236-239.

[7]趙婷,胡舒合,李曉琴,等.一類隨機變量的概率不等式及幾乎處處收斂性[J].安徽大學學報(自然科學版)，2010，34(1)：7-10.

[8]張水利,屈聰.對稱隨機變量序列的強大數(shù)定律[J].平頂山學院學報,2011,26(2)：13-14.

[9]朱玉龍,譚林.多維對稱隨機變量分布函數(shù)的充要條件[J].數(shù)學的實踐與認識,2015,45(20)：289-294.

[10]朱玉龍,王婷,譚林.基于對稱隨機變量構造的反例[J].數(shù)學的實踐與認識,2017,47(11)：282-285.

[11]張永波,厲曉華.含無關項布爾函數(shù)的對稱變量檢測算法[J].浙江大學學報(理學版)，2017,44(02):186-190.

[12]嚴士鍵,概率論基礎(第二版)[M].北京：科學出版社，2014.

[13]汪嘉岡,現(xiàn)代概率論基礎[M].上海：復旦大學出版社，2005.

[14]周圣武，張艷，韓苗，等.多元正態(tài)分布函數(shù)的表示[J].大學數(shù)學， 2011,27(4)：142-145.

ExplorationofSomePropertiesofSymmetricRandomVariables

XIA Lin1,ZHOU Ke2,ZHANG Haibo3

(1.School of Computer Science and Software Engineering,Anhui Institute of Information Technology,Wuhu 241000,China;2.School of Economics and Management,Anhui Normal University,Wuhu 241000,China;3.School of Mathematics and Computer Science,Anhui Normal University,Wuhu 241000,China)

symmetrical random variables; probability; expectations; marginal distribution function.

1672-7010(2017)06-0015-04

O212.1

A

2017-08-24

安徽師范大學科研創(chuàng)新與實踐項目(2016yks044，2016yks046)

夏林(1992-)，男，安徽巢湖人，碩士，從事高維統(tǒng)計推斷研究；E-mail：1491357861@qq.com

Received：Based on the known properties and the definition of symmetrical random variables to make a new exploration,we found some new properties involving probability,expectation and marginal distribution function on symmetrical random variable.