孫曉坤， 張 妍

(1.大連理工大學(xué) 城市學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧 大連 116600； 2.遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

基于連續(xù)函數(shù)為自變量的Bernstein多項(xiàng)式的推廣及其曲線曲面應(yīng)用

孫曉坤1， 張 妍2

(1.大連理工大學(xué) 城市學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧 大連 116600； 2.遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

用一般的連續(xù)函數(shù)h(x)替換經(jīng)典Bernstein基的參變量x,對經(jīng)典Bernstein多項(xiàng)式進(jìn)行了推廣.通過實(shí)例說明，這樣得到的Bernstein多項(xiàng)式雖然不一定具有原Bernstein多項(xiàng)式的收斂性，但給出了推廣的Bernstein多項(xiàng)式具有收斂性的條件.特別地，當(dāng)h(x)是折線函數(shù)時(shí),推廣的Bernstein多項(xiàng)式也可能不具有可導(dǎo)性、保凸性、凸包等性質(zhì).而這種推廣的Bernstein多項(xiàng)式的優(yōu)勢在于，可以通過調(diào)整折線函數(shù)的參數(shù)值,產(chǎn)生不同于經(jīng)典形狀的曲線和曲面,對自由曲線、曲面的設(shè)計(jì)具有一定的價(jià)值.

Bernstein多項(xiàng)式；折線函數(shù)；可導(dǎo)性；保凸性；凸包性質(zhì)；自由曲線和曲面

為證明Weierstrass定理,數(shù)學(xué)家Bernstein構(gòu)造了一種特殊的多項(xiàng)式[2]:

(1)

式(1)稱為f(x)的n次Bernstein多項(xiàng)式,其中，f(x)在閉區(qū)間[0,1]上有定義,

(2)

稱為Bernstein基函數(shù).

在Weierstrass定理基礎(chǔ)上，Bernstein利用式(1)構(gòu)造性地證明了定理1.

函數(shù)的Bernstein多項(xiàng)式簡便、精練,容易構(gòu)造,且當(dāng)f(x)具有界性、單調(diào)不減、凸性等性質(zhì)時(shí)，Bn(f;x)同樣具有上述性質(zhì)，并且還具有可導(dǎo)性、凸包性質(zhì)等特點(diǎn)[3-4].這使得Bernstein多項(xiàng)式的推廣和應(yīng)用問題成為數(shù)值逼近理論的重要研究方面,為自由曲線、曲面設(shè)計(jì)提供了重要的數(shù)學(xué)工具[5].

在研究過程中,人們發(fā)現(xiàn)如果舍棄了經(jīng)典Bernstein多項(xiàng)式的諸如可導(dǎo)性、凸性等優(yōu)越性質(zhì)，可以得到更廣泛的推廣和應(yīng)用.本文就是對Bernstein多項(xiàng)式進(jìn)行這樣一種推廣及應(yīng)用：首先,以[0,1]上的一類連續(xù)函數(shù)h(x)取代經(jīng)典Bernstein基函數(shù)和多項(xiàng)式中的x,得到推廣的Bernstein基函數(shù)與多項(xiàng)式,并討論其性質(zhì);其次,討論h(x)是折線函數(shù)時(shí),推廣的Bernstein多項(xiàng)式的可導(dǎo)性、凸包、凸性等性質(zhì);最后,應(yīng)用這種推廣的Bernstein多項(xiàng)式去生成自由曲線與曲面的形狀.

1 推廣的Bernstein多項(xiàng)式的性質(zhì)

考察式(2)中的Bernstein基函數(shù),其中，參變量x可視為函數(shù)h(x)≡x.那么,當(dāng)h(x)≠x時(shí),f(x)的Bernstein多項(xiàng)式Bn(f;h;x)是否仍收斂于f(x)？其次,Bn(f;h;x)的性質(zhì)與h(x)有什么關(guān)系？再次,這類Bernstein多項(xiàng)式有何應(yīng)用？

在此,要求[0,1]上的函數(shù)h(x)滿足h(0)=0,h(1)=1.

1.1 推廣的Bernstein多項(xiàng)式的收斂性問題

以h(x)替代式(2)中的x得到推廣的基函數(shù),記為

(3)

這種基函數(shù)相當(dāng)于對Bv,n(x)作代換x=h(t)(t∈[0,1])得到(仍記參變量為x),因此，Bv,n(h;x)自然保有Bv,n(x)大部分的優(yōu)越性,如非負(fù)性、規(guī)范性、對稱性等[4].

同理,對式(1)作代換x=h(t)(t∈[0,1]),定義

現(xiàn)拋棄這種變換方法,直接定義Bn(f;h;x)為

(4)

其中，h(x)是[0,1]上的連續(xù)函數(shù).

這里以f1(x)=x和f2(x)=x2為例,討論對應(yīng)的Bn(f;h;x)的收斂性.

由于

因此

可見當(dāng)h(x)≠x時(shí),對于任意的f(x)∈C[0,1],{Bn(f;h;x)}不一定收斂于f(x).并且有如下一般性結(jié)論：

命題1設(shè)f(x)∈C[0,1],Bn(f;h;x)如式(4)所定義,則Bn(f;h;x)收斂于f(x)的充分必要條件是h(x)≡x.

命題2如果f(x)∈C[0,1]是以1,h(x),h2(x),…為基底的函數(shù),則Bn(f;h;x)收斂于f(x).

1.2 h(x)為折線函數(shù)時(shí)Bernstein多項(xiàng)式的性質(zhì)

多項(xiàng)式Bn(f;h;x)保有Bn(f;x)的部分性質(zhì),如有界性:若f(x)有界,則Bn(f;h;x)有界;單調(diào)性:若f(x)和h(x)在[0,1]上單調(diào),則Bn(f;h;x)也單調(diào);但當(dāng)h(x)表示不同類型的函數(shù)時(shí),Bn(f;h;x)的可導(dǎo)性、凸包性質(zhì)、凸性等性質(zhì)需單獨(dú)討論.下面重點(diǎn)研究h(x)為[0,1]上折線函數(shù)時(shí)的情形.

(5)

對式(5)求一階導(dǎo)數(shù),得

圖1 Bn(f;h;x)不具凸包性質(zhì)Fig.1 Bn(f;h;x) without convex hull property

圖2 Bn(f;h;x)不具凸性Fig.2 Bn(f;h;x) without convexity

因此,如果h(x)為折線函數(shù),Bn(f;h;x)可能會(huì)失去經(jīng)典Bernstein多項(xiàng)式的諸如可導(dǎo)性、凸包性、凸性等性質(zhì),但同時(shí)可以創(chuàng)造出更多的自由曲線和曲面的形狀,為Bernstein多項(xiàng)式帶來更多的應(yīng)用.

2 h(x)為折線函數(shù)時(shí)，Bernstein多項(xiàng)式的曲線曲面應(yīng)用問題

這里選定f(x)=-x2+x+1,x∈[0,1](見圖3).此時(shí),經(jīng)典Bernstein多項(xiàng)式B3(f;x)和B3(f;h;x)分別為

圖3 生成函數(shù)f(x)=-x2+x+1Fig.3 Generate function f(x)=-x2+x+1

2.1 參數(shù)t在(0,)內(nèi)取值的情形

其圖形和經(jīng)典Bernstein基的參變量x(y=h(x)=x)的圖形見圖4.

圖4 折線函數(shù)和y=xFig.4 Polygonal function (x) and y=x

∑1=B3(f;h;x)×B3(f;h;y),

∑2=B3(f;x)×B3(f;y),

圖5 t1=時(shí)的B3(f;h;x)和B3(f;x)Fig.5 Figures of B3(f;h;x) and B3(f;x) as t1=

曲面Σ1表現(xiàn)出4個(gè)小曲面的銜接過渡,比曲面Σ2的形狀要復(fù)雜得多.

圖6 t1=時(shí)的曲面Σ1和Σ2的對比Fig.6 Contrast of surface Σ1 and surface Σ2 as t1=

圖7 t1=和t2=時(shí)的B3(f;h;x)Fig.7 Figures of B3(f;h;x) as t1= and t2=

2.2 參數(shù)t在(,1)內(nèi)取值的情形

討論方式同t1,生成的曲線B3(f;h;x)見圖9,對應(yīng)的曲面見圖10.圖9顯示t3時(shí)曲線改變的方向與t1時(shí)相反,這一結(jié)果直接影響了曲面Σ1=B3(f;h;x)×B3(f;h;y)的狀態(tài).

圖8 折線函數(shù)和y=xFig.8 Polygonal function (x) and y=x

圖9 t3=時(shí)的B3(f;h;x)和B3(f;x)Fig.9 Figures of B3(f;h;x) and B3(f;x) as t3=

圖10 t3=時(shí)的曲面Σ1和Σ2Fig.10 Surface Σ1 and Σ2 as t3=

圖11 t3=和t4=時(shí)的B3(f;h;x)Fig.11 Figures of B3(f;h;x) as t3= and t4=

致謝 本文的撰寫得到了遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院王晶昕教授的悉心指導(dǎo).王教授嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和對研究的精辟見解,使作者受益良多,對作者今后的工作、學(xué)習(xí)和研究都將產(chǎn)生巨大的影響，在此表示衷心的感謝！

[1] 王仁宏.數(shù)值逼近[M].北京：高等教育出版社,1999:1-5.

[2] BERNSTEIN S.Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calculdes probabilities[J].Comm Soc Math Khardov,1912,13:1-2.

[3] LORENTZ G G.Bernstein polynomials[M].Toronto:Math Expo Univ of Toronto Press,1953:5-29.

[4] 施法中.計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理B樣條[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社,1994：124.

[5] 王晶昕，王圓圓.Bézier曲線的單側(cè)降階通近[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,32(1):1-3.

GeneralizationofBernsteinpolynomialswithindependentvariableiscontinuousfunctionandapplicationsoffreecurvesandsurfaces

SUNXiaokun1，ZHANGYan2

(1.City Institute， Dalian University of Technology， Dalian 116600, China；2.School of Mathematics， Liaoning Normal University， Dalian 116029, China)

This paper generalizes Bernstein polynomials replacexin classical Bernstein Bases with continuous functionh(x)，however this generalized Bernstein polynomials doesn’t always converge to generating functionf.Especially，ifh(x) is a polygonal function，generalized Bernstein polynomials do not always have differentiability，convexity preserving property and convex hull property，etc.And then，we study curves and surfaces of this generalized Bernstein polynomials by adjusting parameter ofh(x)，etc.

Bernstein polynomials;polygonal function;differentiability;convexity preserving property;convex hull property;free curves and surfaces

O241.5

A

2017-07-20

孫曉坤(1978- )，女，遼寧大連人，大連理工大學(xué)副教授．

1000-1735(2017)04-0456-06

10.11679/lsxblk2017040456