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        基于響應(yīng)矩陣法的地下水系統(tǒng)開采方案

        2017-12-20 06:23:18季葉飛羅建男
        東北水利水電 2017年12期
        關(guān)鍵詞:約束條件時(shí)段流場

        季葉飛,羅建男

        基于響應(yīng)矩陣法的地下水系統(tǒng)開采方案

        季葉飛1,羅建男2

        (1.水利部松遼水利委員會(huì),吉林長春130021;2.吉林大學(xué)環(huán)境與資源學(xué)院,吉林長春130021)

        文中選擇響應(yīng)矩陣法作為模擬優(yōu)化模型的耦合集成方法,將其應(yīng)用于地下水系統(tǒng)開采方案優(yōu)選中。首先針對(duì)具體問題建立了地下水流數(shù)值模擬模型,并用GMS中的MODFLOW模塊進(jìn)行求解,在此基礎(chǔ)上,應(yīng)用響應(yīng)矩陣法表示開采量與地下水位之間的關(guān)系,最后以開采費(fèi)用最小為目標(biāo)函數(shù),考慮用戶的用水需求以及周邊的生態(tài)環(huán)境要求,建立優(yōu)化模型并進(jìn)行求解,得到了最優(yōu)的開采方案及對(duì)應(yīng)的最優(yōu)開采費(fèi)用。

        地下水系統(tǒng);模擬優(yōu)化;響應(yīng)矩陣

        1 概況

        由于地下水資源具有分布廣泛,便于就地開采使用,水質(zhì)普遍較優(yōu),動(dòng)態(tài)比較穩(wěn)定,供水量受氣候變化影響較小等優(yōu)點(diǎn),使得地下水在總供水量中所占的比重不斷提高,尤其是在干旱半干旱的北方地區(qū),地下水是主要的供水水源。近年來,由于地下水的過量開采,引起了水資源枯竭、地面沉降、海水入侵等一系列環(huán)境地質(zhì)問題。因此,合理地開發(fā)利用地下水資源,使有限的地下水資源發(fā)揮最佳的社會(huì)、經(jīng)濟(jì)效益,實(shí)現(xiàn)資源、環(huán)境、經(jīng)濟(jì)和社會(huì)的可持續(xù)發(fā)展變得尤為重要。地下水系統(tǒng)優(yōu)化管理模型即為解決該問題的有效方法。

        地下水系統(tǒng)的優(yōu)化管理是以地下水本身固有的物理規(guī)律為基礎(chǔ),充分分析并描述地下水系統(tǒng)所面臨的決策環(huán)境,通過地下水系統(tǒng)的人為可控輸入策略的優(yōu)化調(diào)控,使地下水系統(tǒng)的狀態(tài)行為和功能效果按照所確定的目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的運(yùn)籌過程。從地下水系統(tǒng)優(yōu)化管理模型的構(gòu)建上看,有3個(gè)組成部分:描述地下水系統(tǒng)輸入與輸出之間的響應(yīng)關(guān)系的預(yù)測模型,描述地下水系統(tǒng)及其所面臨的決策環(huán)境的優(yōu)化模型,以及預(yù)測模型與優(yōu)化模型的耦合集成技術(shù)。

        最常用的模擬模型與優(yōu)化模型的耦合集成技術(shù)為嵌入法及響應(yīng)矩陣法。嵌入法是將地下水偏微分方程對(duì)空間和時(shí)間進(jìn)行離散,形成一組線性代數(shù)方程,將這組方程式嵌入到優(yōu)化模型中作為管理模型中的約束條件。這種耦合方法的優(yōu)點(diǎn)是輸出的信息多,缺點(diǎn)是當(dāng)決策變量和約束方程多時(shí),容易產(chǎn)生維數(shù)災(zāi)難,因此它僅適用于小規(guī)模的地下水管理問題。

        響應(yīng)矩陣法最早見于20世紀(jì)50年代末期石油工程的文獻(xiàn)中,在建立尋求石油產(chǎn)量最大的線性規(guī)劃管理模型中,采用響應(yīng)矩陣表示油氣田的壓力隨開采量的線性變化。響應(yīng)矩陣法首先利用模擬模型計(jì)算出響應(yīng)矩陣,然后利用響應(yīng)矩陣所表示的約束條件計(jì)算管理模型,適用于大區(qū)域、多階段的非穩(wěn)定流地下水管理問題,在處理水文地質(zhì)條件復(fù)雜、規(guī)模巨大的問題時(shí),更能顯示出優(yōu)越性。

        2 響應(yīng)矩陣法

        2.1 基本思想

        響應(yīng)矩陣法以線性系統(tǒng)的疊加原理為基礎(chǔ),運(yùn)用地下水系統(tǒng)的模擬模型導(dǎo)出反映地下水系統(tǒng)特征的單位脈沖函數(shù)(系統(tǒng)的輸出對(duì)系統(tǒng)的輸入的響應(yīng)關(guān)系),并形成其函數(shù)值的集合——響應(yīng)矩陣。然后將它作為水均衡約束條件,結(jié)合地下水管理的其他約束條件及目標(biāo)函數(shù)一起,構(gòu)成地下水系統(tǒng)優(yōu)化管理模型。

        通常由偏微分方程及其定解條件構(gòu)成的地下水系統(tǒng)模擬模型是一個(gè)非線性系統(tǒng),不滿足疊加原理,無法直接應(yīng)用響應(yīng)矩陣法。但可以從中分離出一個(gè)屬于線性系統(tǒng)的子模型。即將地下水系統(tǒng)模擬模型拆分成:一個(gè)僅由人工可控輸入作用而產(chǎn)生的降深S和人工流場;一個(gè)僅由初始條件、邊界條件和不可控輸入影響下形成的自然水位H和自然流場。在地下水資源管理中,人工流場模型主要用于求水位響應(yīng)系數(shù)矩陣。人工流場和自然流場的疊加H-S=h即為自然-人工流場中的水位。

        2.2 單位脈沖響應(yīng)函數(shù)

        對(duì)于一個(gè)線性的時(shí)不變系統(tǒng),當(dāng)給系統(tǒng)輸入一個(gè)單位量的瞬時(shí)脈沖時(shí),系統(tǒng)所產(chǎn)生的輸出響應(yīng)為單位脈沖響應(yīng)。對(duì)于線性的地下水系統(tǒng),把抽水作為輸入,地下水位作為輸出,則離散后的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為:β(i,j,n-k+1) ,表示第j個(gè)結(jié)點(diǎn)在第k個(gè)時(shí)段以單位流量抽水,在第i點(diǎn)第n時(shí)段末所產(chǎn)生的降深。當(dāng)在第j個(gè)結(jié)點(diǎn)上以Q(jk)在k=1,2,…,n時(shí)段連續(xù)抽水,則在第i個(gè)結(jié)點(diǎn)n時(shí)段末產(chǎn)生的累積降深為:

        若同時(shí)有m個(gè)抽水井抽水,則產(chǎn)生的累積降深響應(yīng)為:

        3 應(yīng)用

        3.1 實(shí)例簡介

        為了驗(yàn)證響應(yīng)矩陣法在地下水系統(tǒng)優(yōu)化開采中的應(yīng)用,將其應(yīng)用于一個(gè)假想例子中。

        研究區(qū)為方形潛水含水層,長寬均為10 km。研究區(qū)西部是一個(gè)湖泊,平均水位為30 m;北部、南部及東部均為流線。各區(qū)滲透系數(shù)為K1=22.5 m/d,K2=25 m/d,K3=20 m/d;各區(qū)給水度均為0.3。參數(shù)分區(qū)及河流、排水溝和泉群的位置見圖1,泉流量為1 000 m3/d。地下水接受大氣降水入滲補(bǔ)給,補(bǔ)給強(qiáng)度為N=0.26 mm/d。

        湖水水質(zhì)惡劣,為防止地下水受湖水污染,要求距湖邊1 km和2 km處的地下水位分別不低于31.5 m和32.5m。規(guī)劃在結(jié)點(diǎn)11~20抽水,以供應(yīng)結(jié)點(diǎn)15的用戶,其總需水量第一年為5×106m3/a,第二年為5.5×106m3/a,單位輸水費(fèi)用為1.0萬元/106m3,并隨抽水點(diǎn)至用戶的距離增加而增加,增長率為1.0萬元/(106m3·km)。求在滿足上述水位和需水量要求的條件下,使輸水費(fèi)用最小的開采方案。

        圖1 研究區(qū)示意圖

        3.2 地下水流數(shù)值模擬模型

        3.2.1 水文地質(zhì)概念模型

        研究區(qū)目標(biāo)層為非均質(zhì)各向同性的潛水含水層。地下水在含水層系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)為二維非穩(wěn)定流,研究區(qū)內(nèi)含水層系統(tǒng)的西部邊界為一類邊界,北部、南部及東部均為隔水邊界。研究區(qū)的上邊界為潛水面,是位置不斷變化的水量交換邊界,接受降水入滲補(bǔ)給;研究區(qū)的下邊界為隔水邊界。研究區(qū)內(nèi)目前無開采,區(qū)內(nèi)有河流入滲補(bǔ)給及排水溝和泉的排泄。假設(shè)研究區(qū)地下水位埋深較大,不考慮蒸發(fā)作用。

        3.2.2 地下水流數(shù)學(xué)模型

        根據(jù)水文地質(zhì)概念模型建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,包括偏微分方程以及定解條件。式中:D為地下水系統(tǒng)的模擬滲流區(qū)域;t為時(shí)間,d;T 為導(dǎo)水系數(shù),㎡/d;η為給水度;Γ1為一類邊界;Γ2為二類邊界;W 為源匯項(xiàng),m/d;h為地下水位,m。

        3.2.3 數(shù)學(xué)模型的求解

        選用美國Brigham Young大學(xué)的環(huán)境模型研究實(shí)驗(yàn)室和美國軍隊(duì)排水工程試驗(yàn)工作站開發(fā)的三維地下水?dāng)?shù)值模擬系統(tǒng)GMS(Groundwater Modeling System)軟件中的MODFLOW模塊進(jìn)行求解。其求解方法是在模擬計(jì)算區(qū)域內(nèi)采用矩形剖分和線性插值,應(yīng)用有限差分法將上述數(shù)學(xué)模型離散為有限差分方程組,然后求解。

        在空間上將滲流區(qū)剖分成10行10列,共100個(gè)矩形單元,每個(gè)單元為1 km×1 km。在時(shí)間上將模型分為2個(gè)時(shí)段,每個(gè)時(shí)段為365 d。

        3.3 地下水資源優(yōu)化管理模型

        3.3.1 響應(yīng)函數(shù)的確定

        3.2.2 中所建立的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)非線性模型。為了建立非線性系統(tǒng)地下水資源管理模型,將上面建立的水流模型分解為天然流場模型和人工流場模型:

        天然流場模型

        式中:H為天然水位,m;ε為不可控輸入變量(降水蒸發(fā)等)。

        人工流場模型(線性系統(tǒng)):

        式中:P為可控輸入變量(抽水量);S為降深,m。

        由這2個(gè)模型所描述的流場疊加,即為由(3)所描述的自然—人工流場,其中h=H-S。

        在不考慮人工開采的情況下,運(yùn)行建立的模擬模型,得到不同時(shí)刻各水位控制點(diǎn)的自然水位H。

        單位脈沖響應(yīng)函數(shù)主要取決于地下水系統(tǒng)本身的特征,在求算單位脈沖響應(yīng)函數(shù)時(shí),抽水的單位流量一般以能使整個(gè)地下水系統(tǒng)內(nèi)的各水位控制點(diǎn)處都有明顯的響應(yīng)值,且又不至于在系統(tǒng)邊界處產(chǎn)生較大的影響為依據(jù)。據(jù)此原則,經(jīng)過反復(fù)試算,此次脈沖量為10×105m3/d。

        3.3.2 優(yōu)化管理模型的建立及求解

        目標(biāo)函數(shù):研究區(qū)地下水管理的目標(biāo)是輸水費(fèi)用最低,即:

        式中:Qkj為 j點(diǎn)在k時(shí)刻的抽水量,m3/d;cj為抽水費(fèi)用,元/m3。

        約束條件:

        1)水位約束

        式中:hni為i點(diǎn)在n時(shí)段末的水位,m。

        對(duì)于線性含水層系統(tǒng),水位降深和抽水量之間的關(guān)系,可以通過響應(yīng)矩陣線性來表示,則含水層由各類人工抽水引起的降深可表示為:

        因此,各水位控制點(diǎn)的水位可表示為:

        式中:Hni表示第n時(shí)段末i點(diǎn)的天然水位,m。

        根據(jù)式(8)及式(9),可將水位約束表示如下:

        2)需水量約束

        3)非負(fù)約束

        式(6)(10)(11)(12)即構(gòu)成了該問題的優(yōu)化管理模型。該模型是一個(gè)有20個(gè)決策變量,62個(gè)約束條件的線性規(guī)劃問題。用excel里面的規(guī)劃求解對(duì)此模型進(jìn)行求解。最優(yōu)開采量見表1。

        表1 兩個(gè)管理時(shí)段不同結(jié)點(diǎn)的最優(yōu)開采量m3/d

        將決策變量的最優(yōu)解帶入到目標(biāo)函數(shù)中得到最小的開采費(fèi)用為621.64元/d,即22.69萬元/a。

        4 結(jié)論

        響應(yīng)矩陣法是一種有效的模擬優(yōu)化模型的耦合集成方法,以其計(jì)算方便的特點(diǎn)廣泛應(yīng)用于地下水資源管理中。基于響應(yīng)矩陣法的優(yōu)化管理模型,求解得到不同時(shí)段各個(gè)節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)的開采方案,以及最優(yōu)的開采費(fèi)用(22.69萬元/a),有效地解決了地下水資源開采方案優(yōu)選問題,能夠在節(jié)點(diǎn)水位滿足約束條件下得到開采費(fèi)用最小的修復(fù)方案,可以為地下水可持續(xù)開發(fā)利用提供依據(jù)。

        [1]張曉燁,董增川.地下水模擬模型與優(yōu)化模型耦合技術(shù)研究進(jìn)展[J].南水北調(diào)與水利科技.2012,10(2):142-149.

        [2]盧文喜.地下水系統(tǒng)的模擬預(yù)測和優(yōu)化管理[M].北京:科學(xué)出版社,1999.

        [3]李文淵.用響應(yīng)矩陣法解地下水管理模型[J].武漢水利電力學(xué)院學(xué)報(bào).1991,24(6):587-596.

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        [5]辛欣.吉林西部地下水的模擬預(yù)報(bào)及管理模型探討[D].長春:吉林大學(xué),2008.

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        P641.8 < class="emphasis_bold"> [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

        A

        1002—0624(2017)12—0033—03

        2017-04-20

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