季葉飛，羅建男

基于響應(yīng)矩陣法的地下水系統(tǒng)開采方案

季葉飛1，羅建男2

（1.水利部松遼水利委員會，吉林長春130021；2.吉林大學(xué)環(huán)境與資源學(xué)院，吉林長春130021）

文中選擇響應(yīng)矩陣法作為模擬優(yōu)化模型的耦合集成方法，將其應(yīng)用于地下水系統(tǒng)開采方案優(yōu)選中。首先針對具體問題建立了地下水流數(shù)值模擬模型，并用GMS中的MODFLOW模塊進行求解，在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用響應(yīng)矩陣法表示開采量與地下水位之間的關(guān)系，最后以開采費用最小為目標函數(shù)，考慮用戶的用水需求以及周邊的生態(tài)環(huán)境要求，建立優(yōu)化模型并進行求解，得到了最優(yōu)的開采方案及對應(yīng)的最優(yōu)開采費用。

地下水系統(tǒng)；模擬優(yōu)化；響應(yīng)矩陣

1 概況

由于地下水資源具有分布廣泛，便于就地開采使用，水質(zhì)普遍較優(yōu)，動態(tài)比較穩(wěn)定，供水量受氣候變化影響較小等優(yōu)點，使得地下水在總供水量中所占的比重不斷提高，尤其是在干旱半干旱的北方地區(qū)，地下水是主要的供水水源。近年來，由于地下水的過量開采，引起了水資源枯竭、地面沉降、海水入侵等一系列環(huán)境地質(zhì)問題。因此，合理地開發(fā)利用地下水資源，使有限的地下水資源發(fā)揮最佳的社會、經(jīng)濟效益，實現(xiàn)資源、環(huán)境、經(jīng)濟和社會的可持續(xù)發(fā)展變得尤為重要。地下水系統(tǒng)優(yōu)化管理模型即為解決該問題的有效方法。

地下水系統(tǒng)的優(yōu)化管理是以地下水本身固有的物理規(guī)律為基礎(chǔ)，充分分析并描述地下水系統(tǒng)所面臨的決策環(huán)境，通過地下水系統(tǒng)的人為可控輸入策略的優(yōu)化調(diào)控，使地下水系統(tǒng)的狀態(tài)行為和功能效果按照所確定的目標達到最優(yōu)的運籌過程。從地下水系統(tǒng)優(yōu)化管理模型的構(gòu)建上看，有3個組成部分：描述地下水系統(tǒng)輸入與輸出之間的響應(yīng)關(guān)系的預(yù)測模型，描述地下水系統(tǒng)及其所面臨的決策環(huán)境的優(yōu)化模型，以及預(yù)測模型與優(yōu)化模型的耦合集成技術(shù)。

最常用的模擬模型與優(yōu)化模型的耦合集成技術(shù)為嵌入法及響應(yīng)矩陣法。嵌入法是將地下水偏微分方程對空間和時間進行離散，形成一組線性代數(shù)方程，將這組方程式嵌入到優(yōu)化模型中作為管理模型中的約束條件。這種耦合方法的優(yōu)點是輸出的信息多，缺點是當決策變量和約束方程多時，容易產(chǎn)生維數(shù)災(zāi)難，因此它僅適用于小規(guī)模的地下水管理問題。

響應(yīng)矩陣法最早見于20世紀50年代末期石油工程的文獻中，在建立尋求石油產(chǎn)量最大的線性規(guī)劃管理模型中，采用響應(yīng)矩陣表示油氣田的壓力隨開采量的線性變化。響應(yīng)矩陣法首先利用模擬模型計算出響應(yīng)矩陣，然后利用響應(yīng)矩陣所表示的約束條件計算管理模型，適用于大區(qū)域、多階段的非穩(wěn)定流地下水管理問題，在處理水文地質(zhì)條件復(fù)雜、規(guī)模巨大的問題時，更能顯示出優(yōu)越性。

2 響應(yīng)矩陣法

2.1 基本思想

響應(yīng)矩陣法以線性系統(tǒng)的疊加原理為基礎(chǔ)，運用地下水系統(tǒng)的模擬模型導(dǎo)出反映地下水系統(tǒng)特征的單位脈沖函數(shù)（系統(tǒng)的輸出對系統(tǒng)的輸入的響應(yīng)關(guān)系），并形成其函數(shù)值的集合——響應(yīng)矩陣。然后將它作為水均衡約束條件，結(jié)合地下水管理的其他約束條件及目標函數(shù)一起，構(gòu)成地下水系統(tǒng)優(yōu)化管理模型。

通常由偏微分方程及其定解條件構(gòu)成的地下水系統(tǒng)模擬模型是一個非線性系統(tǒng)，不滿足疊加原理，無法直接應(yīng)用響應(yīng)矩陣法。但可以從中分離出一個屬于線性系統(tǒng)的子模型。即將地下水系統(tǒng)模擬模型拆分成：一個僅由人工可控輸入作用而產(chǎn)生的降深S和人工流場；一個僅由初始條件、邊界條件和不可控輸入影響下形成的自然水位H和自然流場。在地下水資源管理中，人工流場模型主要用于求水位響應(yīng)系數(shù)矩陣。人工流場和自然流場的疊加H-S=h即為自然-人工流場中的水位。

2.2 單位脈沖響應(yīng)函數(shù)

對于一個線性的時不變系統(tǒng)，當給系統(tǒng)輸入一個單位量的瞬時脈沖時，系統(tǒng)所產(chǎn)生的輸出響應(yīng)為單位脈沖響應(yīng)。對于線性的地下水系統(tǒng)，把抽水作為輸入，地下水位作為輸出，則離散后的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為：β(i，j，n-k+1) ，表示第j個結(jié)點在第k個時段以單位流量抽水，在第i點第n時段末所產(chǎn)生的降深。當在第j個結(jié)點上以Q（jk）在k=1，2，…，n時段連續(xù)抽水，則在第i個結(jié)點n時段末產(chǎn)生的累積降深為：

若同時有m個抽水井抽水，則產(chǎn)生的累積降深響應(yīng)為：

3 應(yīng)用

3.1 實例簡介

為了驗證響應(yīng)矩陣法在地下水系統(tǒng)優(yōu)化開采中的應(yīng)用，將其應(yīng)用于一個假想例子中。

研究區(qū)為方形潛水含水層，長寬均為10 km。研究區(qū)西部是一個湖泊，平均水位為30 m；北部、南部及東部均為流線。各區(qū)滲透系數(shù)為K1=22.5 m/d，K2=25 m/d，K3=20 m/d；各區(qū)給水度均為0.3。參數(shù)分區(qū)及河流、排水溝和泉群的位置見圖1，泉流量為1 000 m3/d。地下水接受大氣降水入滲補給，補給強度為N=0.26 mm/d。

湖水水質(zhì)惡劣，為防止地下水受湖水污染，要求距湖邊1 km和2 km處的地下水位分別不低于31.5 m和32.5m。規(guī)劃在結(jié)點11～20抽水，以供應(yīng)結(jié)點15的用戶，其總需水量第一年為5×106m3/a，第二年為5.5×106m3/a，單位輸水費用為1.0萬元/106m3，并隨抽水點至用戶的距離增加而增加，增長率為1.0萬元/（106m3·km）。求在滿足上述水位和需水量要求的條件下，使輸水費用最小的開采方案。

圖1 研究區(qū)示意圖

3.2 地下水流數(shù)值模擬模型

3.2.1 水文地質(zhì)概念模型

研究區(qū)目標層為非均質(zhì)各向同性的潛水含水層。地下水在含水層系統(tǒng)中的運動為二維非穩(wěn)定流，研究區(qū)內(nèi)含水層系統(tǒng)的西部邊界為一類邊界，北部、南部及東部均為隔水邊界。研究區(qū)的上邊界為潛水面，是位置不斷變化的水量交換邊界，接受降水入滲補給；研究區(qū)的下邊界為隔水邊界。研究區(qū)內(nèi)目前無開采，區(qū)內(nèi)有河流入滲補給及排水溝和泉的排泄。假設(shè)研究區(qū)地下水位埋深較大，不考慮蒸發(fā)作用。

3.2.2 地下水流數(shù)學(xué)模型

根據(jù)水文地質(zhì)概念模型建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，包括偏微分方程以及定解條件。式中：D為地下水系統(tǒng)的模擬滲流區(qū)域；t為時間，d；T 為導(dǎo)水系數(shù)，㎡/d；η為給水度；Γ1為一類邊界；Γ2為二類邊界；W 為源匯項，m/d；h為地下水位，m。

3.2.3 數(shù)學(xué)模型的求解

選用美國Brigham Young大學(xué)的環(huán)境模型研究實驗室和美國軍隊排水工程試驗工作站開發(fā)的三維地下水數(shù)值模擬系統(tǒng)GMS（Groundwater Modeling System）軟件中的MODFLOW模塊進行求解。其求解方法是在模擬計算區(qū)域內(nèi)采用矩形剖分和線性插值，應(yīng)用有限差分法將上述數(shù)學(xué)模型離散為有限差分方程組，然后求解。

在空間上將滲流區(qū)剖分成10行10列，共100個矩形單元，每個單元為1 km×1 km。在時間上將模型分為2個時段，每個時段為365 d。

3.3 地下水資源優(yōu)化管理模型

3.3.1 響應(yīng)函數(shù)的確定

3.2.2 中所建立的數(shù)學(xué)模型是一個非線性模型。為了建立非線性系統(tǒng)地下水資源管理模型，將上面建立的水流模型分解為天然流場模型和人工流場模型：

天然流場模型

式中：H為天然水位，m；ε為不可控輸入變量（降水蒸發(fā)等）。

人工流場模型（線性系統(tǒng)）：

式中：P為可控輸入變量（抽水量）；S為降深，m。

由這2個模型所描述的流場疊加，即為由（3）所描述的自然—人工流場，其中h=H-S。

在不考慮人工開采的情況下，運行建立的模擬模型，得到不同時刻各水位控制點的自然水位H。

單位脈沖響應(yīng)函數(shù)主要取決于地下水系統(tǒng)本身的特征，在求算單位脈沖響應(yīng)函數(shù)時，抽水的單位流量一般以能使整個地下水系統(tǒng)內(nèi)的各水位控制點處都有明顯的響應(yīng)值，且又不至于在系統(tǒng)邊界處產(chǎn)生較大的影響為依據(jù)。據(jù)此原則，經(jīng)過反復(fù)試算，此次脈沖量為10×105m3/d。

3.3.2 優(yōu)化管理模型的建立及求解

目標函數(shù)：研究區(qū)地下水管理的目標是輸水費用最低，即：

式中：Qkj為 j點在k時刻的抽水量，m3/d；cj為抽水費用，元/m3。

約束條件：

1）水位約束

式中：hni為i點在n時段末的水位，m。

對于線性含水層系統(tǒng)，水位降深和抽水量之間的關(guān)系，可以通過響應(yīng)矩陣線性來表示，則含水層由各類人工抽水引起的降深可表示為：

因此，各水位控制點的水位可表示為：

式中：Hni表示第n時段末i點的天然水位，m。

根據(jù)式（8）及式（9），可將水位約束表示如下：

2）需水量約束

3）非負約束

式（6）（10）（11）（12）即構(gòu)成了該問題的優(yōu)化管理模型。該模型是一個有20個決策變量，62個約束條件的線性規(guī)劃問題。用excel里面的規(guī)劃求解對此模型進行求解。最優(yōu)開采量見表1。

表1 兩個管理時段不同結(jié)點的最優(yōu)開采量m3/d

將決策變量的最優(yōu)解帶入到目標函數(shù)中得到最小的開采費用為621.64元/d，即22.69萬元/a。

4 結(jié)論

響應(yīng)矩陣法是一種有效的模擬優(yōu)化模型的耦合集成方法，以其計算方便的特點廣泛應(yīng)用于地下水資源管理中?；陧憫?yīng)矩陣法的優(yōu)化管理模型，求解得到不同時段各個節(jié)點的最優(yōu)的開采方案，以及最優(yōu)的開采費用（22.69萬元/a），有效地解決了地下水資源開采方案優(yōu)選問題，能夠在節(jié)點水位滿足約束條件下得到開采費用最小的修復(fù)方案，可以為地下水可持續(xù)開發(fā)利用提供依據(jù)。

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P641.8 < class="emphasis_bold"> ［文獻標識碼］A

A

1002—0624（2017）12—0033—03

2017-04-20