趙鵬蛟，李建國

（北方自動(dòng)控制技術(shù)研究所，太原 030006）

基于排隊(duì)論的防空兵力部署優(yōu)化模型*

趙鵬蛟，李建國

（北方自動(dòng)控制技術(shù)研究所，太原 030006）

兵力部署優(yōu)化問題是防空指控系統(tǒng)的重要研究內(nèi)容之一。針對(duì)多型防空武器多層多區(qū)段混合部署問題，對(duì)異型空襲武器和防空武器基于作戰(zhàn)效能標(biāo)準(zhǔn)化處理，基于排隊(duì)論給出空襲武器的突防概率計(jì)算模型，將防空武器系統(tǒng)綜合防御效能作為優(yōu)化目標(biāo)，建立多型防空武器扇形部署優(yōu)化模型。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了優(yōu)化模型的有效性和合理性，可為科學(xué)制定兵力部署方案提供參考。

兵力部署，優(yōu)化，排隊(duì)論，要地防空

0 引言

防空兵力部署是防空指控系統(tǒng)的一項(xiàng)重要研究內(nèi)容，兵力部署優(yōu)化是指在防空兵力滿足一定約束條件下，構(gòu)建合理優(yōu)化的部署方案，使得防空武器系統(tǒng)的綜合防御效能最大［1-2］。

隨著作戰(zhàn)樣式的變化，防空要地和保衛(wèi)目標(biāo)會(huì)面臨多種空襲武器的攻擊，需將防空兵力部署在敵機(jī)來襲方向的多道防線上，形成一定的作戰(zhàn)縱深和寬度。近年來許多學(xué)者在兵力部署優(yōu)化建模和求解算法等方面開展了研究［3-5］，但主要針對(duì)單一防空武器單元部署問題，不符合實(shí)際應(yīng)用需求。文獻(xiàn)［6-8］針對(duì)多型防空武器多道防線部署問題，分別考慮扇形和環(huán)形防御樣式，優(yōu)化計(jì)算防空兵力的比例和數(shù)量，不足之處在于沒有分析每道防線內(nèi)各區(qū)段的部署情況，僅考慮防空兵力的覆蓋能力，沒有考慮對(duì)空襲目標(biāo)的抗擊效果。

本文同時(shí)考慮多道防線橫向和縱向的防空兵力區(qū)分與配置，將要地周圍區(qū)域劃分為若干責(zé)任方向扇區(qū)，基于排隊(duì)論描述來襲武器進(jìn)入防線的過程而得到突防概率計(jì)算模型，將防空武器系統(tǒng)綜合防御效能作為優(yōu)化目標(biāo)，建立多型防空武器扇形部署優(yōu)化模型。仿真算例驗(yàn)證了所提優(yōu)化模型的有效性和合理性。

1 問題描述

如圖1所示，在要地周圍地域根據(jù)地形等環(huán)境條件構(gòu)筑兩道防線的扇形防御，外圍防線部署地空導(dǎo)彈以盡早發(fā)現(xiàn)并消滅敵空襲武器，內(nèi)層防線部署高炮構(gòu)筑高密度火力網(wǎng)打擊漏網(wǎng)之?dāng)常餐瑯?gòu)成彈炮結(jié)合防御系統(tǒng)提高整體防御效能。同時(shí)該要地面積較大，可能面臨多方向空襲，因此，將要地周圍地域基于多道防線劃分為若干責(zé)任方向扇區(qū)，將保衛(wèi)該要地的防空兵力部署其中。兩道防線的火力單元的配置間距通常應(yīng)滿足前后火力單元間接替射擊的要求，給后方火力單元以必要的反應(yīng)時(shí)間，部署在同一區(qū)段的各火力單元的最小配置間隔，應(yīng)避免相互間電磁干擾及發(fā)射導(dǎo)彈時(shí)不危及友鄰陣地的安全［9］。

根據(jù)戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)分析，以及對(duì)敵以往作戰(zhàn)數(shù)據(jù)的分析挖掘和敵作戰(zhàn)規(guī)則的了解，對(duì)敵在突擊中的空襲武器型號(hào)、來襲密度及突防路線進(jìn)行預(yù)測(cè)，并結(jié)合己方作戰(zhàn)資源和作戰(zhàn)區(qū)域進(jìn)行兵力部署。根據(jù)防空武器殺傷區(qū)大小，將外圍防線劃為H個(gè)區(qū)段，內(nèi)層防線劃為I個(gè)區(qū)段。J型空襲武器經(jīng)防區(qū)協(xié)同突襲要地，假設(shè)所有空襲武器沿同一路線突防，敵空襲武器選擇從外圍防線第h個(gè)區(qū)段方向突防的概率為ph，經(jīng)外圍防線第h個(gè)區(qū)段方向突防成功后選擇從內(nèi)層防線第i個(gè)區(qū)段方向突防的概率為phi。我方共有R型地空導(dǎo)彈，其中第r型地空導(dǎo)彈的數(shù)量為n1r，部署在第h個(gè)區(qū)段的數(shù)量為n1rh；共有S型高炮，其中第s型高炮的數(shù)量為n2s，部署在第i個(gè)區(qū)段的數(shù)量為n2si。

2 模型建立

2.1 排隊(duì)論模型

2.1.1 基本假設(shè)

1）進(jìn)入防區(qū)的各型空襲武器都是泊松流，突防成功的目標(biāo)流也視為泊松流；

2）地空導(dǎo)彈和高炮對(duì)空中目標(biāo)的射擊過程可以視為隨機(jī)服務(wù)過程，射擊時(shí)間都服從負(fù)指數(shù)分布，導(dǎo)彈系統(tǒng)和高炮系統(tǒng)的單個(gè)目標(biāo)通道的火力密度分別為分別為地空導(dǎo)彈和高炮的平均射擊時(shí)間；

3）對(duì)于地空導(dǎo)彈構(gòu)筑的外圍防線，目標(biāo)在其殺傷區(qū)的逗留時(shí)間較長，且目標(biāo)一旦飛出殺傷區(qū)即無法進(jìn)行射擊，故可以視為有限等待時(shí)間的隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，單位時(shí)間內(nèi)沒有被導(dǎo)彈射擊而突防的平均敵方目標(biāo)數(shù)為為空襲武器在地空導(dǎo)彈殺傷區(qū)的平均逗留（飛行）時(shí)間；對(duì)于高炮系統(tǒng)構(gòu)筑的內(nèi)層防線，由于殺傷區(qū)較小，進(jìn)入殺傷區(qū)如未遭到射擊即可視為突防，故可以視為損失制隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)；

4）地空導(dǎo)彈和高炮對(duì)空中目標(biāo)的射擊服從先到先服務(wù)的原則。不考慮集火射擊，即每個(gè)敵空襲武器只被一門防空火力射擊，且只射擊一次，若未摧毀不予繼續(xù)射擊。不考慮火力對(duì)抗，各火力單元工作可靠。

2.1.2 異型空襲武器和防空武器的標(biāo)準(zhǔn)化處理

空襲與反空襲作戰(zhàn)中空襲方一般采用導(dǎo)彈、智能炸彈和轟炸機(jī)臨空轟炸等方式對(duì)我方保衛(wèi)目標(biāo)實(shí)施打擊，由于各種空襲武器的速度和其受到射擊后毀傷的概率不盡相同，同時(shí)不同型號(hào)防空武器系統(tǒng)的目標(biāo)通道數(shù)、殺傷區(qū)大小、火力密度和空襲武器的單次射擊毀傷概率等表示防空武器射擊能力的參數(shù)各不相同，混合配置下運(yùn)用排隊(duì)論進(jìn)行攔截概率的分析計(jì)算有一定難度，故需首先將異型空襲武器標(biāo)準(zhǔn)化為具有相同作戰(zhàn)性能的同型空襲武器，將異型防空武器標(biāo)準(zhǔn)化為具有相同作戰(zhàn)性能的同型防空武器。通常選取主戰(zhàn)型武器作為標(biāo)準(zhǔn)型武器，再將其他武器標(biāo)準(zhǔn)化為標(biāo)準(zhǔn)型武器，假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)型武器為第1型武器。

空襲武器的等效，主要考慮在空襲武器被毀傷數(shù)相同的情況下防空火力目標(biāo)通道的使用情況，等效原則為一批次的敵飽和攻擊下單個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型防空武器目標(biāo)通道對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型空襲武器的最大殺傷數(shù)與Zjx個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型防空武器目標(biāo)通道對(duì)第j型空襲武器的最大殺傷數(shù)相同，即

式（1）中，x為構(gòu)筑的防線，1代表外圍防線，2代表內(nèi)層防線；tdjx1為第j型空襲武器在標(biāo)準(zhǔn)型防空武器殺傷區(qū)的平均逗留時(shí)間；μx1為標(biāo)準(zhǔn)型防空武器的單個(gè)目標(biāo)通道的火力密度；Qjx1為標(biāo)準(zhǔn)型防空武器對(duì)第j型空襲武器的毀傷概率。

根據(jù)等效原則，一個(gè)第j型空襲武器可等效為Zjx個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型空襲武器，

故飛臨外圍防線的J型空襲武器經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后的強(qiáng)度為

經(jīng)外圍防線第h區(qū)段突防成功后飛臨內(nèi)層防線的各型空襲武器經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后的強(qiáng)度為

標(biāo)準(zhǔn)型防空武器等效代替第k型防空武器的原則，就是在一批次的敵飽和攻擊下第k型防空武器的全部目標(biāo)通道與標(biāo)準(zhǔn)型防空武器的Lxk個(gè)目標(biāo)通道在各自殺傷區(qū)內(nèi)最大可能殺傷的等效標(biāo)準(zhǔn)型空襲武器數(shù)量相同［10］，即

式（5）中，Nxk為第k型防空武器的實(shí)際目標(biāo)通道數(shù)；td1x1、td1xk為標(biāo)準(zhǔn)型空襲武器分別在標(biāo)準(zhǔn)型和第k型防空武器殺傷區(qū)的平均逗留時(shí)間；μx1、μxk為標(biāo)準(zhǔn)型和第k型防空武器單位目標(biāo)通道的火力密度；Q1x1、Q1xk為標(biāo)準(zhǔn)型和第k型防空武器對(duì)敵標(biāo)準(zhǔn)型空襲武器的單次射擊毀傷概率。

由式（5）可得，單套第r型地空導(dǎo)彈系統(tǒng)可等效為標(biāo)準(zhǔn)型地空導(dǎo)彈系統(tǒng)的目標(biāo)通道數(shù)為

在兵力部署建模計(jì)算中，各型防空武器被部署到各個(gè)區(qū)段后，再針對(duì)每個(gè)區(qū)段中的各型防空武器進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理用于后續(xù)攔截概率計(jì)算。

則外圍防線第h區(qū)段部署的等效標(biāo)準(zhǔn)型地空導(dǎo)彈的目標(biāo)通道數(shù)為

高炮為單目標(biāo)通道武器，同理可以推導(dǎo)出內(nèi)層防線第i區(qū)段部署的等效標(biāo)準(zhǔn)型高炮數(shù)量為

2.1.3 基于排隊(duì)論的目標(biāo)突防概率

外圍防線的地空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)抗擊目標(biāo)來襲過程可視為有限等待時(shí)間隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，則空襲武器經(jīng)外圍防線第h區(qū)段未被射擊的概率應(yīng)用式（9）［11］計(jì)算

內(nèi)層防線的高炮系統(tǒng)抗擊過程可視為損失制隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，經(jīng)外圍防線第h區(qū)段突防成功的空襲武器再經(jīng)內(nèi)層防線第i區(qū)段未被射擊的概率應(yīng)用下式計(jì)算［12］為

經(jīng)防區(qū)突防成功的空襲武器可分為在防區(qū)內(nèi)未遭到射擊突防和遭到射擊但未被毀傷仍突防兩部分，則空襲武器經(jīng)外圍防線第h區(qū)段突防成功的概率為

經(jīng)外圍防線第h區(qū)段突防成功的空襲武器再經(jīng)內(nèi)層防線第i區(qū)段未被射擊的概率為

2.2 兵力部署優(yōu)化模型

防空作戰(zhàn)任務(wù)即最大概率地?cái)r截?cái)晨罩心繕?biāo)，盡可能保衛(wèi)我方要地安全。由于防空作戰(zhàn)中敵突襲方向存在很大的不確定性，戰(zhàn)前只能根據(jù)戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)和敵以往作戰(zhàn)規(guī)律等數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)敵突襲方向，得到敵各個(gè)方向的來襲概率分布，無法在確定條件下進(jìn)行防空兵力部署。因此，防空兵力最佳部署應(yīng)是綜合考慮各種可能來襲情況進(jìn)行部署，根據(jù)來襲方向概率分布，做到重點(diǎn)方向重點(diǎn)部署，同時(shí)兼顧其他作戰(zhàn)方向，這樣的部署方案雖不能確保在每種突襲情況下都是最佳的部署，但構(gòu)筑的防空體系達(dá)到了最大的綜合防御效果。因此，應(yīng)考慮各種來襲情況的概率及在該情況下部署的防空兵力的攔截概率，得到綜合防御效能。假設(shè)防空系統(tǒng)的綜合防御效能為U，則應(yīng)該按照系統(tǒng)綜合防御效能最大即敵方突防概率最小的原則進(jìn)行兵力部署。根據(jù)敵進(jìn)入各防區(qū)概率和基于排隊(duì)論計(jì)算的敵通過各防區(qū)突防成功的概率，利用全概率公式可得敵突防該扇形區(qū)域的概率，從而得兵力部署優(yōu)化模型如下：

3 算例分析

經(jīng)戰(zhàn)場(chǎng)偵察及預(yù)測(cè)，擬對(duì)某大型要地空襲的敵空襲武器類型、性能參數(shù)、來襲密度及其突襲方向如表1～表3所示。

表1 空襲武器數(shù)量參數(shù)表

表2 外圍防線突襲方向的概率分布表

表3 內(nèi)層防線突襲方向的概率分布表

保衛(wèi)該要地的高炮和地空導(dǎo)彈系統(tǒng)的裝備型號(hào)、數(shù)量和戰(zhàn)術(shù)技術(shù)特點(diǎn)如表4、表5所示

表4 地空導(dǎo)彈系統(tǒng)數(shù)量參數(shù)表

表5 高炮系統(tǒng)數(shù)量參數(shù)表

根據(jù)要地周圍地形條件扇形部署高炮和地空導(dǎo)彈構(gòu)成內(nèi)外兩層防線，部署地空導(dǎo)彈系統(tǒng)的外圍防線劃分為2個(gè)區(qū)段，部署高炮系統(tǒng)的內(nèi)層防線劃分為3個(gè)區(qū)段，并將上述防空武器資源進(jìn)行兵力區(qū)分與部署，合理配置到兩道防線的各個(gè)區(qū)段中。利用遺傳算法求解兵力部署優(yōu)化模型，結(jié)果如表6、表7所示。

表6 地空導(dǎo)彈系統(tǒng)部署方案

表7 高炮系統(tǒng)部署方案

同時(shí)經(jīng)計(jì)算得該部署方案的綜合防御效能為0.74，即對(duì)多種情況下的多批次空襲目標(biāo)的綜合成功攔截概率為0.74。

該算例利用所建立的兵力部署優(yōu)化模型并基于遺傳算法優(yōu)化求解，得到部署方案。從求解結(jié)果可以看出，該部署方案將保衛(wèi)該大型要地的所屬各型地空導(dǎo)彈和高炮系統(tǒng)分別部署在兩道防線的各責(zé)任方向扇區(qū)內(nèi)，同時(shí)在敵突防概率較大的路線上部署了相對(duì)較多的防空兵力，符合重點(diǎn)方向重點(diǎn)設(shè)防的防空兵力部署原則，加強(qiáng)了主要作戰(zhàn)方向的部署兵力和火力密度，其他作戰(zhàn)方向也有所兼顧進(jìn)行了兵力部署，對(duì)各型防空武器合理區(qū)分了作戰(zhàn)地域，構(gòu)筑嚴(yán)密的防空體系從而使得綜合各種突襲情況下的防空系統(tǒng)的綜合防御效能達(dá)到最大，各武器型號(hào)混合部署充分利用現(xiàn)有武器資源提升了對(duì)敵空中目標(biāo)的攔截概率。

4 結(jié)論

本文對(duì)野戰(zhàn)防空中多型防空武器多層多區(qū)段混合部署問題進(jìn)行了深入研究，將防空武器對(duì)敵方空襲武器的射擊過程視為隨機(jī)服務(wù)過程，根據(jù)空襲武器和防空武器性能特點(diǎn)建立了異型空襲武器和防空武器標(biāo)準(zhǔn)化準(zhǔn)則以便計(jì)算?；谂抨?duì)論模型分別得到各防線各區(qū)段防空系統(tǒng)的成功攔截概率，在預(yù)測(cè)敵來襲密度和來襲路線的基礎(chǔ)上利用全概率公式得到防御區(qū)域的綜合防御效能，并以此為優(yōu)化目標(biāo)建立了兵力部署方案的優(yōu)化模型，仿真算例驗(yàn)證了該優(yōu)化模型對(duì)指揮員防空戰(zhàn)斗科學(xué)決策的重要指導(dǎo)意義。對(duì)各責(zé)任扇區(qū)內(nèi)的諸多防空武器的具體部署位置及相互關(guān)系是下一步研究的重點(diǎn)。

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An Optimization Model for Air Defense Troops Deployment Based on Queuing Theory

ZHAO Peng-jiao，LI Jian-guo
（North Automatic Control Technology Institute，Taiyuan 030006，China）

Troops deployment optimization is a key problem of air defense command and control system.In this paper，the hybrid deployment of many types of air defense weapons in multiple lines and sections is considered.Firstly，different types of air attack weapons and air defense weapons are standardized based on combat effectiveness.Secondly，the calculation model of penetration probability of air attackers based on the queuing theory is given.Next，taking the defense effectiveness of air defense weapon system as the objective function，an optimization model of fan-shaped deployment of many types of air defense weapons is established.In the end，the simulation experiment shows that the optimization model is feasible and effective.It can provide reference for scientifically making the troops deployment plans in air defense combat.

troops deployment，optimization，queuing theory，key-point air defense

E91

A

10.3969/j.issn.1002-0640.2017.11.09

1002-0640（2017）11-0038-05

2016-09-28

2016-11-15

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61603006）

趙鵬蛟（1992- ），男，山西太原人，碩士研究生。研究方向：防空輔助決策。