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(1.北京工業(yè)大學(xué) 信息學(xué)部，北京 100124； 2.計(jì)算智能與智能系統(tǒng)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124)

一種雙慣性輪空間倒立擺及其動(dòng)力學(xué)建模和分析

陳志剛1, 2，阮曉鋼1, 2，李元1, 2，林佳1, 2，朱曉慶1, 2

(1.北京工業(yè)大學(xué)信息學(xué)部，北京100124； 2.計(jì)算智能與智能系統(tǒng)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100124)

針對(duì)現(xiàn)有的慣性輪倒立擺在模擬多自由度不穩(wěn)定系統(tǒng)的局限性,提出了一種雙慣性輪空間倒立擺系統(tǒng)，其具有四個(gè)自由度和兩個(gè)控制量，可同時(shí)模擬不穩(wěn)定系統(tǒng)俯仰和滾轉(zhuǎn)姿態(tài)控制；運(yùn)用拉格朗日方法建立了雙慣性輪空間倒立擺的動(dòng)力學(xué)模型，分別采用模型退化、數(shù)值仿真驗(yàn)證了所建立的模型的正確性，并分析了雙慣性輪空間倒立擺的動(dòng)力學(xué)特性；建立的雙慣性輪空間倒立擺可應(yīng)用于多自由度非平穩(wěn)系統(tǒng)的模擬實(shí)驗(yàn)，提出的物理結(jié)構(gòu)、模型和相關(guān)分析結(jié)論為雙慣性輪空間倒立擺系統(tǒng)的進(jìn)一步研究奠定了理論基礎(chǔ)。

倒立擺；動(dòng)力學(xué)模型；拉格朗日方程；慣性輪；反作用輪

0 引言

倒立擺控制系統(tǒng)作為典型的復(fù)雜、不穩(wěn)定和欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究[1-5]，是模擬非平穩(wěn)系統(tǒng)的重要實(shí)驗(yàn)裝置，尤其可應(yīng)用于包括火箭、垂直起降飛行器和飛船等航空航天系統(tǒng)姿態(tài)控制的模擬驗(yàn)證中。倒立擺按結(jié)構(gòu)形式分為直線倒立擺[6-8]、環(huán)形倒立擺[9-11]、平面倒立擺[12]和慣性輪(反作用輪)倒立擺[13-16]等。慣性倒立擺最先由Spong等提出[13,16]，由繞平面旋轉(zhuǎn)的擺桿和布置在擺桿末端的慣性輪組成。在各種倒立擺裝置中，慣性輪倒立擺具有簡(jiǎn)潔的動(dòng)力學(xué)模型，更方便在研究中的推廣。另外，基于系統(tǒng)的非線性和欠驅(qū)動(dòng)特性，慣性輪倒立擺適合用于非線性控制的高級(jí)控制策略的研究。

近幾年，慣性輪倒立擺受到了很多學(xué)者的關(guān)注[13-19]。Spong等[13-15]對(duì)慣性輪倒立擺的動(dòng)力學(xué)建模和非線性控制進(jìn)行了研究，對(duì)慣性輪倒立擺起擺和平衡控制策略進(jìn)行了討論。ALONSO等[17]對(duì)慣性輪倒立擺建模和參數(shù)辨識(shí)進(jìn)行了研究，并建立了包含死區(qū)效應(yīng)和黏性摩擦的摩擦模型。Olivares等[18]針對(duì)慣性輪倒立擺的非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了線性控制器。孫寧等[19]對(duì)慣性輪倒立擺的鎮(zhèn)定控制問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出了一種無(wú)需切換的滑膜魯棒控制策略。

在垂直起降飛行器、飛船等航空航天器等不穩(wěn)定系統(tǒng)的姿態(tài)調(diào)節(jié)中，系統(tǒng)做繞機(jī)體中心的俯仰和滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，該類(lèi)系統(tǒng)可等效為一個(gè)支點(diǎn)固定，擺桿可繞支點(diǎn)做縱向和橫向擺動(dòng)的倒立擺系統(tǒng)。在現(xiàn)有的倒立擺中，慣性輪倒立擺與此類(lèi)不穩(wěn)定系統(tǒng)具有更為相近的運(yùn)動(dòng)特性?，F(xiàn)有的慣性輪倒立擺物理模型[13-19]中，擺桿只能在一個(gè)平面內(nèi)擺動(dòng)，擺桿只有一個(gè)回轉(zhuǎn)自由度，屬于二維模型，可模擬此類(lèi)不穩(wěn)定系統(tǒng)的單個(gè)運(yùn)動(dòng)方向的運(yùn)動(dòng)特性，這對(duì)模擬多自由度非平穩(wěn)系統(tǒng)的控制(如火箭、垂直起降飛行器的姿態(tài)控制和人形機(jī)器人的平衡控制等)有較大的局限性[15-16,20]。

通過(guò)增加慣性輪倒立擺的擺桿自由度，可解決慣性輪倒立擺平衡控制與多自由度非平穩(wěn)系統(tǒng)控制的模型等效問(wèn)題，可更好的模擬此類(lèi)多自由度非平穩(wěn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性和多自由間的耦合特性[4,12]。本文構(gòu)造了一種四自由度雙慣性輪空間倒立擺系統(tǒng)，首先給出雙慣性輪空間倒立擺的物理結(jié)構(gòu)；然后，采用拉格朗日方程方法建立了其動(dòng)力學(xué)模型；最后，分別運(yùn)用了退化驗(yàn)證和數(shù)值仿真方法對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證，分析了其動(dòng)力學(xué)特性，并給出了本文研究的一些結(jié)論。

1 體系結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

本文所設(shè)計(jì)的雙慣性輪空間倒立擺由可繞兩個(gè)方向旋轉(zhuǎn)的擺桿和布置在擺桿末端的可產(chǎn)生兩個(gè)方向控制力矩的慣性輪構(gòu)成，結(jié)構(gòu)如圖1所示。擺桿與支撐座間采用球銷(xiāo)副聯(lián)接，擺桿可以分別繞縱向和橫向方向轉(zhuǎn)動(dòng)；反作用輪通過(guò)電機(jī)直接驅(qū)動(dòng)，兩組反作用輪在空間上相互正交，可提供縱向和橫向的控制力矩；為平衡慣性輪組件的重量分布，分別在與反作用輪相對(duì)稱(chēng)的方位處設(shè)置有位置可調(diào)的配重塊，通過(guò)調(diào)節(jié)配重塊的位置，使得系統(tǒng)重心與擺桿軸線重合，降低系統(tǒng)重心偏移產(chǎn)生的干擾。

圖1 雙慣性輪空間倒立擺結(jié)構(gòu)圖

本文所構(gòu)建的倒立擺電路結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，姿態(tài)傳感器布置在擺桿上端，可檢測(cè)擺桿分別繞橫向和縱向偏轉(zhuǎn)的角位置和角加速度；微處理器分別從姿態(tài)傳感器讀取擺桿的姿態(tài)角和角加速度、從編碼器讀取電機(jī)的轉(zhuǎn)速，經(jīng)運(yùn)算后，通過(guò)伺服驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)兩個(gè)電機(jī)回轉(zhuǎn)，進(jìn)而帶動(dòng)反作用輪回轉(zhuǎn)產(chǎn)生慣性力矩控制雙慣性輪空間倒立擺的姿態(tài)平衡。

圖2 雙慣性輪空間倒立擺電器結(jié)構(gòu)圖

該雙慣性輪空間倒立擺具有四個(gè)自由度和兩個(gè)控制量，四個(gè)自由度分別為倒立擺繞橫向的擺角、繞縱向的擺角、兩個(gè)反作用輪的回轉(zhuǎn)角，兩個(gè)控制量為分別加載在兩個(gè)電機(jī)上的電樞電壓。雙慣性輪空間倒立擺系統(tǒng)重心位于擺桿上端，屬于欠驅(qū)動(dòng)、非平穩(wěn)系統(tǒng)。與普通慣性輪倒立擺相比，雙慣性輪空間倒立擺具有更大的控制難度。雙慣性輪空間倒立擺擺桿可指向三維空間內(nèi)任意方向；在平衡控制中，與火箭、垂直起降飛行器等多自由度不穩(wěn)定、欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)具有相似的運(yùn)動(dòng)特性，可應(yīng)用于多自由度非平穩(wěn)系統(tǒng)的模擬實(shí)驗(yàn)。

2 動(dòng)力學(xué)模型

將雙慣性輪倒立擺物理系統(tǒng)抽象為多剛體系統(tǒng)，運(yùn)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。

2.1 參考坐標(biāo)系定義

雙慣性輪空間倒立擺以擺桿的下端回轉(zhuǎn)點(diǎn)為支點(diǎn)，建立以擺桿下端回轉(zhuǎn)點(diǎn)為原點(diǎn)的笛卡爾固定坐標(biāo)系O-XYZ，如圖3所示，其中：擺桿及電機(jī)定子的質(zhì)心Cp到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離、質(zhì)量分別為lp、mp；單個(gè)慣性輪的質(zhì)量為mw，慣性輪質(zhì)心Cw到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為lw；擺桿相對(duì)于X軸、Y軸的轉(zhuǎn)過(guò)角度分別為α、β；慣性輪分別相對(duì)于各自軸線轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別為θ、φ，擺桿和慣性輪相對(duì)其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Jp、Jw。

圖3 雙慣性輪空間倒立擺坐標(biāo)系

假定擺桿與支撐座的摩擦力、慣性輪受到空氣的阻尼力可忽略不計(jì)。根據(jù)幾何關(guān)系可知，質(zhì)心C1、C2在固定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：

(1)

2.2 拉格朗日函數(shù)

利用拉格朗日方程方法建模，計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能，其中擺桿的動(dòng)能為:

(2)

慣性輪組件的動(dòng)能為:

(3)

則系統(tǒng)的總動(dòng)能為：

T=Tp+Tw=

(4)

式中,k1=Jp+ 2mwlw2；k2=mplp2+ 2mwlw2。

系統(tǒng)總勢(shì)能為：

V=k3cosαcosβ

(5)

式中,k3=(mplp+2mwlw)g。

可得拉格朗日函數(shù)如下：

L=T-V=

k3cosαcosβ

(6)

2.3 動(dòng)力學(xué)方程

取廣義坐標(biāo)為α、β、θ和φ，拉格朗日方程如下：

(7)

由于雙慣性輪空間倒立擺的直流電機(jī)采用基于PWM電壓控制方式，定義電機(jī)力矩常數(shù)為Kt，反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)為Kb，電樞電阻為Rm，電樞電感為L(zhǎng)m，兩個(gè)電機(jī)的電樞電壓為分別v1、v2，根據(jù)直流電機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型：

(8)

輸入力矩τ1,2=Kti1,2，忽略電機(jī)電感常數(shù)，可推導(dǎo)出電機(jī)的力矩方程為：

(9)

式中：a=Kt/Rm；b=Kt2/Rm。

將式(6)、(8)、(9)帶入方程(7)中，可求解得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為：

3 模型的驗(yàn)證

由于建模過(guò)程中采用了多種近似條件假設(shè)，為檢驗(yàn)所建模型的正確性，分別采用將模型退化驗(yàn)證和數(shù)值仿真系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的方法對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證。

3.1 退化驗(yàn)證

雙慣性輪倒立擺與普通慣性輪倒立擺在結(jié)構(gòu)上存在相似性。當(dāng)固定雙慣性輪倒立擺擺桿的橫向或縱向的旋轉(zhuǎn)自由度，雙慣性輪倒立擺可轉(zhuǎn)化為普通慣性輪倒立擺，退化后的雙慣性輪倒立擺模型應(yīng)與普通慣性輪倒立擺模型一致。

(11)

(12)

對(duì)比方程(11)、(12)，可見(jiàn)二者是一致的，退化后的雙慣性輪空間倒立擺動(dòng)力學(xué)模型與Spong等[13-15]建立的普通慣性輪倒立擺的模型一致，說(shuō)明普通慣性輪倒立擺模型為雙慣性輪空間倒立擺模型的特例，一定程度上說(shuō)明本文所建立的雙慣性輪空間倒立擺的模型及退化模型是正確的。

3.2 系統(tǒng)零輸入響應(yīng)

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如方程(10)所示，通過(guò)數(shù)值仿真系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證。假設(shè)對(duì)α、β角無(wú)限位，按照實(shí)際情況，兩個(gè)電機(jī)的輸入電壓為零，除α外，系統(tǒng)其他初始狀態(tài)均為零，空間倒立擺分別從不同的α0處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，由于受到電機(jī)電磁力作用，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)中有能量損耗，擺桿應(yīng)作繞X軸的減幅震蕩，最終穩(wěn)定在180°方位(即垂直向下)；在電磁力和科氏慣性力的共同作用下，與之對(duì)應(yīng)的慣性輪應(yīng)做微副擺動(dòng)；擺桿相對(duì)于Y軸的回轉(zhuǎn)角β及對(duì)應(yīng)慣性輪的回轉(zhuǎn)角φ應(yīng)保持為零。系統(tǒng)物理參數(shù)如表1所示，α0分別為5°、90°、180°，系統(tǒng)零輸入響應(yīng)曲線如圖4所示。

表1 雙慣性輪空間倒立擺物理參數(shù)

圖4 不同α0時(shí)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)

由圖4可見(jiàn)，隨時(shí)間的變化，擺桿擺角α0從5°開(kāi)始在區(qū)間[5°,342°]內(nèi)，關(guān)于180°的位置作減幅擺動(dòng)，且擺桿的擺動(dòng)角速度也呈減幅震蕩，并趨向于零，所以擺桿趨向穩(wěn)定與180°的位置(豎直向下)。當(dāng)擺桿擺角從90°開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，則α角在區(qū)間[90°,268°]內(nèi)關(guān)于180°的位置作減幅擺動(dòng)。在每個(gè)擺動(dòng)周期中，受慣性力的作用，起始時(shí)，慣性輪產(chǎn)生與擺桿擺動(dòng)方向相反的擺動(dòng)，隨著慣性輪及電機(jī)的轉(zhuǎn)速增大，慣性輪及電機(jī)受到的電磁力阻力快速增大，使慣性輪減速；β、φ保持為零。

同理，輸入電壓及系統(tǒng)其他初始狀態(tài)均為零，空間倒立擺分別從不同的β0開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，擺桿應(yīng)做繞Y軸的減幅震蕩，最終穩(wěn)定在180°方位；對(duì)應(yīng)的慣性輪應(yīng)做微副擺動(dòng)；擺桿相對(duì)于X軸的回轉(zhuǎn)角α及對(duì)應(yīng)慣性輪的回轉(zhuǎn)角θ應(yīng)保持為零。系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)曲線如圖5所示?？梢?jiàn)，在不同的初始輸入狀態(tài)下，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與實(shí)際情況一致，從而說(shuō)明了此模型的正確性。

圖5 不同β0時(shí)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)

4 動(dòng)力學(xué)分析

穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一個(gè)基本結(jié)構(gòu)特征，穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的前提，能控性和能觀性是從控制和觀察的角度表征系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的基本特性[21]；重心高度和慣性輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小是系統(tǒng)的兩個(gè)重要參數(shù)，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性有著重要的影響，對(duì)上述參數(shù)的分析在系統(tǒng)控制律和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中有重要的指導(dǎo)意義。

4.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

(13)

其中：

采用李雅普諾夫第二方法判定系統(tǒng)穩(wěn)定性，若系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)，給定正定的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣Q，且取為6維的單位陣，則存在正定的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣P滿足:

AT+PA=-Q

(14)

解得矩陣P，通過(guò)計(jì)算矩陣P的行列式可知其存在小于零的主子式，說(shuō)明P不是正定矩陣，系統(tǒng)不是漸進(jìn)穩(wěn)定的[21]，即雙慣性輪空間倒立擺在xe鄰域內(nèi)不是漸進(jìn)穩(wěn)定，在受擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)中，其無(wú)法自行維持平衡倒立姿態(tài)。

4.2 系統(tǒng)能控性和能觀測(cè)性分析

雙慣性輪空間倒立擺的運(yùn)動(dòng)性能指標(biāo)一般要求控制擺角α、β在±10°內(nèi)變化，所以在雙慣性輪空間倒立擺的xe鄰域內(nèi)分析其能控性和能觀測(cè)性。根據(jù)系統(tǒng)線性空間狀態(tài)方程，分別構(gòu)造系統(tǒng)能控性矩陣和能觀測(cè)性矩陣:

(15)

4.3 重心高度分析

根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(10)，令β=0，并帶入k1、k2、k3、a、b后，得：

(16)

令α=0，得：

(17)

4.4 慣性輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分析

根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(12)，令α=0，β=0，得：

(18)

5 結(jié)論

1)本文提出的雙慣性輪空間倒立擺屬于自然不穩(wěn)定、非線性、欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)具有兩個(gè)輸入量，四個(gè)自由度。所建立的雙慣性輪空間倒立擺模型的退化模型與普通慣性輪倒立擺模型一致，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)數(shù)值仿真結(jié)果與實(shí)際情況一致，驗(yàn)證了本文所建模型的正確性。

2)雙慣性輪倒立擺系統(tǒng)在倒立平衡點(diǎn)非自治穩(wěn)定和局部可控；同等質(zhì)量下，系統(tǒng)重心越高，需要的控制力矩越大，控制周期也越大；同等質(zhì)量下，慣性輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，需要的電機(jī)最大轉(zhuǎn)速越小。

3)普通慣性輪倒立擺屬于雙慣性輪倒立擺的特例，雙慣性輪空間倒立擺的動(dòng)力學(xué)模型比普通慣性輪倒立擺更復(fù)雜，且存在耦合關(guān)系，對(duì)倒立擺的平衡控制策略提出了新的難度，如何設(shè)計(jì)雙慣性輪空間倒立擺的平衡控制器成為進(jìn)一步的研究?jī)?nèi)容。對(duì)于雙慣性輪空間倒立擺控制的進(jìn)一步研究也必將促進(jìn)多自由度不穩(wěn)定、欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制方法的拓展。

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DoubleInertiaWheelSpatialInvertedPendulumandItsModelingandDynamicAnalysis

Chen Zhigang1，2, Ruan Xiaogang1，2, Li Yuan1，2, Lin Jia1，2, Zhu Xiaoqing1，2

(1.Faculty of Information Technology, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China; 2.Beijing Key Laboratory of Computational Intelligence and Intelligent System, Beijing 100124, China)

Aiming at limitations of inertia wheel inverted pendulum in simulatingofmulti-freedom and unstable systems. A novel DIWSIPS(double inertia wheel spatial inverted pendulum system)was proposed, which have four freedom and two control variables. A DIWSIPS can be used in attitude control simulation both for pitch and roll simultaneousfor unstable systems. A dynamics model of DIWSIPS was derived from Lagrange equation. The correctness of the model was verified by model degradation and numerical simulation. And the dynamic characteristics of the DIWSIPS has been analyzed based on the dynamic model. The DIWSIPS can be used in simulation experiments of multi-degree of freedom unstable system. The proposed physical structure, dynamic model and analysis results provided theoretical basis for research of the DIWSIPS.

inverted pendulum；dynamics model；Lagrange equation；inertia wheel；reaction wheel

2017-06-22；

2017-08-18。

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61375086)；北京市自然科學(xué)基金項(xiàng)目/北京市教育委員會(huì)科技計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(KZ201610005010)。

陳志剛(1987-)，男，內(nèi)蒙古人，博士研究生，主要從事自平衡機(jī)器人方向的研究。

1671-4598(2017)11-0257-05

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2017.11.065

TP273

A