于 健， 徐美萍

(1. 北京建筑大學(xué) 理學(xué)院, 北京 102616； 2. 北京工商大學(xué) 理學(xué)院, 北京 100048)

基于二維非齊次泊松過程的風(fēng)險(xiǎn)度量研究
——以中興通訊日收益數(shù)據(jù)為例

于 健1， 徐美萍2*

(1. 北京建筑大學(xué) 理學(xué)院, 北京 102616； 2. 北京工商大學(xué) 理學(xué)院, 北京 100048)

以具有厚尾的中興通訊日收益數(shù)據(jù)為例,考慮年度趨勢(shì)和波動(dòng)率等影響因素,應(yīng)用二維非齊次泊松過程對(duì)超出時(shí)刻和相伴損失進(jìn)行擬合,結(jié)果顯示非齊次泊松過程的擬合表現(xiàn)明顯優(yōu)于其特殊情形齊次泊松過程,說明影響因素起了顯著作用.模型的合理性通過模型校驗(yàn)予以闡明,并計(jì)算了擬合模型下的在值風(fēng)險(xiǎn)和相伴預(yù)期損失.研究表明,使用非齊次泊松模型可以更好地捕捉極端數(shù)據(jù)信息,得到更精確的風(fēng)險(xiǎn)度量估計(jì)值,為投資者規(guī)避損失提供借鑒.

超閾值模型; 二維非齊次泊松過程; 在值風(fēng)險(xiǎn); 預(yù)期損失

在值風(fēng)險(xiǎn)(VaR)是業(yè)界用做風(fēng)險(xiǎn)度量的一個(gè)重要工具,但它有兩方面不足:第一,它沒有考慮一旦非正常情況出現(xiàn)(即損失超過VaR)時(shí)極端損失的嚴(yán)重程度,可能低估實(shí)際損失;第二,它不滿足次可加性質(zhì),違背了以分散化投資來降低投資組合風(fēng)險(xiǎn)的初衷.為此另一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)度量工具應(yīng)運(yùn)而生,它就是預(yù)期損失(ES).由于ES在VaR的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了出現(xiàn)極端情況時(shí)的平均損失程度且滿足次可加性,因而可以更完整地衡量極端損失風(fēng)險(xiǎn).

對(duì)VaR進(jìn)行計(jì)算的多種統(tǒng)計(jì)方法中,極值理論作為度量極端市場(chǎng)條件下市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的一種方法,具有超越樣本數(shù)據(jù)的估計(jì)能力,可以準(zhǔn)確地描述分布尾部的分位數(shù).極值理論有2類模型:分塊樣本極大值(BM)模型和超閾值(POT)模型.BM模型是應(yīng)用極值理論計(jì)算VaR的一種便捷方法,但在計(jì)算過程中遇到一些困難:首先,如何分塊無法清晰定義;其次,這是一種無條件方法,無法考慮其他解釋變量的影響[1].為克服這些困難,文獻(xiàn)[2-3]提出了POT方法,它聚焦于超出某個(gè)高閾值的數(shù)據(jù)和超出發(fā)生的時(shí)刻.如文獻(xiàn)[2]提出了一個(gè)二維泊松過程同時(shí)考慮超出量和超出時(shí)刻,文獻(xiàn)[4-5]運(yùn)用該方法來研究風(fēng)險(xiǎn)管理中的VaR.考慮到實(shí)踐中,通?？梢哉业揭恍┯绊懯找娴慕忉屪兞?而應(yīng)用POT方法計(jì)算VaR的一個(gè)優(yōu)勢(shì)是它可以很容易把解釋變量的影響考慮在內(nèi).相較于BM模型,POT模型能有效地使用有限的極端觀測(cè)值,在實(shí)踐中是最有用的模型之一.例如文獻(xiàn)[6]最早把POT模型應(yīng)用于股票市場(chǎng)收益并給出了很好的解釋.文獻(xiàn)[7-8]應(yīng)用POT模型分別對(duì)滬深股市極端風(fēng)險(xiǎn)和地震風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了度量.文獻(xiàn)[9-10]則分別研究了基于非齊次泊松過程的截?cái)唳臎_擊模型和航空裝備無故障工作期預(yù)計(jì).但通過翻閱文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)結(jié)合POT模型使用二維非齊次泊松過程擬合中國(guó)股票收益數(shù)據(jù)并計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)度量的文獻(xiàn)并不多見.

本文選取了中國(guó)非金融類跨國(guó)公司100強(qiáng)的民營(yíng)企業(yè)中興通訊股份有限公司從上市至2016年8月底的日收益數(shù)據(jù),該數(shù)據(jù)具有明顯的厚尾.首先,在選取閾值時(shí),本文提出了一種綜合考慮了模型估計(jì)的偏差和方差折中的差異度量方法,精確地估計(jì)出閾值的大小,以提高模型的擬合精度.然后,考慮到年度趨勢(shì)和波動(dòng)率等因素的影響,應(yīng)用二維非齊次泊松過程擬合其損失的超出時(shí)刻和超出量,擬合結(jié)果顯示使用非齊次泊松過程明顯優(yōu)于相應(yīng)的齊次泊松過程,且估計(jì)系數(shù)可給出合理解釋,說明解釋變量起了顯著作用.并通過模型校驗(yàn)說明所給模型的合理性.最后,給出擬合模型下的風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)值供投資者參考以規(guī)避損失.

1 建模思路

1.1通過尾部差異度量選取閾值POT模型關(guān)注的是超過某一閾值的數(shù)據(jù)的利用.由于它可以充分地利用有限的極值數(shù)據(jù),在實(shí)踐中通常是非常有效的方法.以持有某只股票的多頭頭寸為例,記第t天觀察到的該股票的負(fù)的日收益為rt,令η(ηgt;0)是一個(gè)事先指定的高閾值.假定第i次超出發(fā)生在第ti天,即rti≥η,則POT方法關(guān)注的是數(shù)據(jù)(ti,rti-η)的建模,此處rti-η表示的是超出閾值η的超出量.而對(duì)于股票的空頭頭寸,POT方法考慮的是滿足正的日收益rti≥η的數(shù)據(jù)(ti,rti-η),其中η(ηgt;0)的選取與多頭頭寸類似.

對(duì)于給定的rt≥η,rti-η的條件分布函數(shù)記為Fη(x),由極值分布理論知:當(dāng)選取的閾值足夠大時(shí),Fη(x)可以用廣義帕累托分布(GPD)的分布函數(shù)來擬合[11],其形式如下:

其中ξ是形狀參數(shù),ψ(η)=α+ξ(η-β)gt;0是尺度參數(shù).當(dāng)ξ≥0時(shí),x≥0;當(dāng)ξlt;0時(shí),0≤x≤-ψ(η)/ξ.

通過上述分析易見:利用POT模型對(duì)尾部分布進(jìn)行估計(jì)時(shí),首先需要選取合適的閾值η,使得Fη(x)≈G(x;ξ,ψ(η)).在實(shí)際中操作中,人們通常把Hill圖法[12]和超額均值函數(shù)圖法[13]結(jié)合起來使用,此方法雖然簡(jiǎn)單實(shí)用但是比較主觀粗暴.考慮到選取太大的閾值,會(huì)導(dǎo)致超出數(shù)據(jù)太少,使得應(yīng)用這些數(shù)據(jù)進(jìn)行模型分析時(shí)的方差過大;反之,太小的閾值,雖然用于分析的數(shù)據(jù)多了,但是其對(duì)尾部的漸近性就會(huì)受到質(zhì)疑,可能產(chǎn)生偏差較大的估計(jì).基于統(tǒng)計(jì)學(xué)意義下的折中考慮,提出了下面的差異度量:

(1)

η*=arg minηD(η).

在實(shí)踐中,發(fā)生時(shí)間ti為重要“稀有事件”(rti≥η*)發(fā)生的強(qiáng)度提供了有用的信息,一簇出現(xiàn)的ti意味著一段時(shí)間的大的市場(chǎng)下跌.超出量也是重要的,因?yàn)樗峁┝宋覀兏信d趣的量.為此,結(jié)合極值理論,可以假定超出時(shí)刻和相伴損失{(ti,rti)}聯(lián)合形成一個(gè)二維非齊次泊松過程,其強(qiáng)度測(cè)度具有下面的表示式:

A[(D1,D2)×(r,∞)]=

(2)

其中

(3)

是損失的密度函數(shù),變量r≥η*,0≤D1≤D2≤T,參數(shù)αgt;0,β和ξ分別是尺度、位置和形狀參數(shù),當(dāng)添加足標(biāo)t時(shí)表示它們是時(shí)變的.

進(jìn)一步假設(shè)xt=(x1t,…,xvt)T是先于時(shí)刻t獲得的v個(gè)解釋變量構(gòu)成的向量,并假定式(2)中的3個(gè)參數(shù)ξt,αt和βt為解釋變量的線性函數(shù).具體而言,即假設(shè)

(4)

此處使用ln(αt)是為了滿足對(duì)αt取正數(shù)的約束條件.從而,{(ti,rti)}的似然函數(shù)可以寫為

(5)

其中

是密度函數(shù)式(3)對(duì)應(yīng)的生存函數(shù),變量z≥η*,記號(hào)[x]+=max(x,0).

注如果假定參數(shù)ξt、αt和βt在每一個(gè)交易日都是常數(shù),則上述模型對(duì)應(yīng)于二維齊次泊松過程的情形.

1.3檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇孕ｒ?yàn)一個(gè)對(duì)超出時(shí)刻和超出量構(gòu)建的二維泊松過程是否合理,需要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠窬哂幸韵?個(gè)主要特性:驗(yàn)證超出率是適當(dāng)?shù)?檢驗(yàn)超出量的分布以及模型的獨(dú)立性假設(shè).

超出率的檢驗(yàn):如果二維泊松過程模型適合,相鄰兩次超出的持續(xù)時(shí)間應(yīng)該相互獨(dú)立且服從同一個(gè)指數(shù)分布.具體而言,令t0=0,期待

是獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)變量.由于日收益是離散時(shí)間觀測(cè)值,使用持續(xù)時(shí)間

通過觀察Q-Q圖并輔以KS和Box-Ljung檢驗(yàn)來檢查{zti}獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布的有效性.

超出量的檢驗(yàn):在二維泊松過程模型下,超出閾值η*的量rti-η*服從形狀參數(shù)ξt,尺度參數(shù)ψt(η*)=αt+ξt(η*-βt)的GPD.令

則應(yīng)有{wti}獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布[14].這樣問題轉(zhuǎn)化為對(duì){wti}獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布有

效性的檢驗(yàn),從而可以像檢驗(yàn){zti}那樣處理.

模型的獨(dú)立性檢驗(yàn):在去除解釋變量的影響后,檢驗(yàn)獨(dú)立性假設(shè)的一個(gè)簡(jiǎn)單的方式是查看{zti}和{wti}的樣本自相關(guān)函數(shù)(ACF)圖.在獨(dú)立性假設(shè)性下,期待{zti}和{wti}都無序列相關(guān).在本文中使用Box-Ljung和x2檢驗(yàn)對(duì)數(shù)據(jù)本身及數(shù)據(jù)之間的相互獨(dú)立性進(jìn)行檢查.

1.4計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)值VaR和ES對(duì)于給定的上尾概率p和閾值η*,由文獻(xiàn)[15]知,rti-η*服從形狀和尺度參數(shù)分別為ξt和ψt(η*)=αt+ξt(η*-βt)的GPD,因而VaR(p)可用下面的式子計(jì)算得到

(6)

正如引言所述,與VaR相伴的ES是一個(gè)有用的風(fēng)險(xiǎn)度量,對(duì)于連續(xù)型損失,由ES的定義可得ES(p)=E[rt|rtgt;VaR(p)].再結(jié)合GPD的性質(zhì),得到下面的計(jì)算式

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(7)

2 實(shí)證分析

2.1數(shù)據(jù)的描述性分析及閾值的選取眾所周知,中國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展使得中國(guó)資本市場(chǎng)極端不穩(wěn)定.中國(guó)股票市場(chǎng)作為全球增速最快的資本市場(chǎng),其中股票收益數(shù)據(jù)大都呈現(xiàn)出厚尾特征.為了研究股票收益的極值分布特性,從網(wǎng)易財(cái)經(jīng)個(gè)股行情(http://quotes.money.163.com/trade/lsjysj-000063.html)下載了中興通訊(ZTE)從1997年11月18日至2016年8月29日的日收盤價(jià)數(shù)據(jù),以pt表示股票在第t個(gè)交易日的收盤價(jià),利用對(duì)數(shù)收益公式rt=lnpt-lnpt-1計(jì)算得到4 549個(gè)ZTE日收益數(shù)據(jù)的觀測(cè)值(單位:%),其中缺失值記為0.

下面是該數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)概述(表1)和時(shí)間序列圖(圖1).

表 1 ZTE日收益數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)概述

圖 1 正態(tài)分布對(duì)ZTE日收益數(shù)據(jù)的Q-Q圖

表1中偏度系數(shù)為負(fù)值隱含著該數(shù)據(jù)是不對(duì)稱的,峰度系數(shù)值遠(yuǎn)大于3,提示該數(shù)據(jù)可能存在厚尾,JB統(tǒng)計(jì)量值的相伴p值幾乎為0,暗示該數(shù)據(jù)不能用正態(tài)分布擬合.事實(shí)上,從時(shí)間序列圖(本文略去)上也可觀察到該數(shù)據(jù)有許多極端正的和負(fù)的收益,再通過圖1,該數(shù)據(jù)相對(duì)正態(tài)分布的Q-Q圖,可明顯看出樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)并沒有落在直線上,收益在上下兩端均體現(xiàn)出厚尾的特征.綜上,說明所研究的數(shù)據(jù)是非對(duì)稱且具有較正態(tài)更厚的尾部.

本文僅考察持有ZTE的多頭頭寸的情形(空頭情形類似),圖2是根據(jù)(1)式計(jì)算出的差異度量D(η)隨閾值變化的圖形,由此獲得最優(yōu)閾值為η*=2.78,相應(yīng)得到481個(gè)可用于建模的觀測(cè)值.

圖 2 D(η)隨η變化的關(guān)系圖

(8)

模型(8)的第一式中5個(gè)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤依次是0.052 9,0.043 1,0.095 6,0.013 9,0.020 7,且所有估計(jì)值在2×10-5的水平下是顯著的.標(biāo)準(zhǔn)化殘差的Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量值Q(10)=14.164,相伴概率為0.165 6,說明在0.05的水平下殘差是無自相關(guān)性的.又平方后的標(biāo)準(zhǔn)化殘差的Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量值Q(10)=1.266 1,相伴概率為0.999 5,說明該模型基本無arch效應(yīng).綜上所述,用模型(8)來描述數(shù)據(jù)的條件異方差是足夠的.

估計(jì)結(jié)果表明:形狀參數(shù)ξt和尺度參數(shù) ln(αt)顯著依賴于年度趨勢(shì),且都是負(fù)的影響,說明隨著時(shí)間的推移ZTE的極端負(fù)的日收益不僅數(shù)目在減少,波動(dòng)率也在減小.但位置參數(shù)βt對(duì)年度趨勢(shì)的依賴并不顯著,說明它隨時(shí)間推移發(fā)生的變化不明顯;形狀參數(shù)ξt沒有受到波動(dòng)率的量化度量的影響,但它受到ARMA(1,1)+GARCH(1,1)的波動(dòng)率一些負(fù)的影響,這意味著ZTE的負(fù)的日收益對(duì)尾指的依賴也在減少;位置參數(shù)βt還受到另外兩個(gè)解釋變量的影響,且都是正的影響,隱含著它隨著2種波動(dòng)率的增大而顯著增大.這些與實(shí)際情況是相一致的.

表 2 二維齊次和非齊次泊松過程擬合ZTE的日負(fù)收益的估計(jì)結(jié)果

注:表中“—”表示不存在此項(xiàng).

2.3模型的合理性檢驗(yàn)為說明模型的合理性,首先給出了取定閾值η*=2.78時(shí),相鄰2次超出的持續(xù)時(shí)間序列{zti}和超出量序列{wti}對(duì)標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布的Q-Q圖(圖3).從圖3可看出2個(gè)圖中絕大多數(shù)數(shù)據(jù)點(diǎn)集中在參考線(數(shù)據(jù)與理論分布的第一和第三分位點(diǎn)確定的直線)附近,進(jìn)一步對(duì)它們做右邊ks檢驗(yàn),統(tǒng)計(jì)量D+的值分別為0.032 7和0.023 1,相伴p值分別為0.358 0和0.597 7,這些都說明{zti}和{wti}與標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布比較接近.再對(duì)它們做Box-Ljung檢驗(yàn),滯后15階x2統(tǒng)計(jì)量的值分別為24.024 2和14.720 9,對(duì)應(yīng)的相伴p值分別為0.064 7和0.471 7,說明兩序列本身都可以認(rèn)為是相互獨(dú)立的.圖4是序列{zti}和{wti}的ACF圖,注意到所有自相關(guān)函數(shù)基本落在漸近2倍標(biāo)準(zhǔn)差線內(nèi),說明它們都不存在序列相關(guān).

圖 3 標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布對(duì)相鄰兩次超出的持續(xù)時(shí)間(左)和超出量(右)的Q-Q圖

圖 4 相鄰2次超出的持續(xù)時(shí)間(左)和超出量(右)的ACF圖

最后檢驗(yàn)序列{zti}和{wti}之間的獨(dú)立性,χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值為230 880,相伴p值為0.239 6,可以認(rèn)為兩序列之間是沒有關(guān)系的.

上述分析表明使用非齊次泊松過程擬合ZTE的日負(fù)收益是合理的.

2.4VaR和ES的計(jì)算接下來,關(guān)注持有1個(gè)單位人民幣的一個(gè)多頭頭寸.不同于齊次泊松過程的情形,非齊次泊松過程使用解釋變量的一大優(yōu)勢(shì)是參數(shù)可以適應(yīng)市場(chǎng)條件的變化,利用(6)和(7)式分別計(jì)算出ZTE日收益的倒數(shù)第二天和最后一天的VaR和ES值,同時(shí)也給出使用齊次泊松過程得到的VaR和ES值方便對(duì)照比較(表3).

表 3 二維齊次和非齊次泊松過程擬合ZTE的日負(fù)收益的VaR和ES值

從表3可看出,不論哪種模型,對(duì)于給定的尾部概率,VaR值都明顯小于相應(yīng)的ES值,且同等條件下ES值增加的幅度更大,可見當(dāng)實(shí)際中有極端損失發(fā)生時(shí),ES可以彌補(bǔ)VaR低估風(fēng)險(xiǎn)這一不足之處,給出更穩(wěn)健和保守的估計(jì);隨著尾部概率p的減小,VaR和ES值都在逐漸增大,但即使p=0.5%相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)值也是比較小的,這意味著異常損失的發(fā)生并不遙遠(yuǎn),說明對(duì)股票收益進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)控制是非常必要的;基于齊次泊松過程給出的風(fēng)險(xiǎn)值存在高估假象,而非齊次泊松過程不僅可以動(dòng)態(tài)地捕捉VaR和ES等風(fēng)險(xiǎn)值,且由于用到了更多的數(shù)據(jù)信息給出的估計(jì)值更精準(zhǔn),容易達(dá)成有效防控風(fēng)險(xiǎn)的目的.

3 結(jié)束語

本文以具有極端日收益的中興通訊股票數(shù)據(jù)為例,考慮到年度趨勢(shì)和波動(dòng)率等因素的影響,應(yīng)用二維非齊次泊松過程擬合其損失超出時(shí)刻和相伴損失,給出模型的擬合和校驗(yàn)結(jié)果并得到了VaR和ES的估計(jì)值.研究結(jié)果表明非齊次泊松過程的擬合表現(xiàn)明顯優(yōu)于其特殊情形齊次泊松過程,說明引入解釋變量是很有必要的.又有模型的校驗(yàn)結(jié)果顯示相鄰兩次超出的持續(xù)時(shí)間序列和超出量序列滿足模型成立的3個(gè)主要特征,因而本文所給擬合模型是合理的.另外,基于二維非齊次泊松過程不僅可以得到動(dòng)態(tài)的風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)值,且由于用到了更多的數(shù)據(jù)信息使得估計(jì)值較基于齊次泊松過程給出的更準(zhǔn)確,從而為投資者控制風(fēng)險(xiǎn)提供更有效的數(shù)值參考,達(dá)到防范風(fēng)險(xiǎn)和及時(shí)止損的目的.

為計(jì)算簡(jiǎn)便,本文只給出3個(gè)解釋變量的數(shù)值結(jié)果,投資者也可根據(jù)具體情況添加或修改解釋變量.另外,本文所用的方法也可以為其他具有極端收益的股票數(shù)據(jù)的風(fēng)險(xiǎn)管理與分析提供借鑒與參考.

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(編輯 陶志寧)

Research for Risk Measures Based on Two Dimensional Inhomogeneous Poisson Process——a Case Study of ZTE Return Data

YU Jian1, XU Meiping2

(1.SchoolofScience,BeijingUniversityofCivilEngineeringandArchitecture,Beijing102616;2.SchoolofScience,BeijingTechnologyandBusinessUniversity,Beijing100048)

Considering some influence factors, such as anannual trend and volatilities, we employ two-dimensional inhomogeneous poisson process to fit exceeding times and associated returns of ZTE daily log return with heavy tails. Fitting results show that the inhomogeneous poisson process has better performance than corresponding homogeneous poisson process, which implies that these factors work well. The reasonableness of fitting model is clarified by model checking. Value at risk and associated expected shortfall are calculated from the fitting model. This research indicates that applying inhomogeneous poisson model can fully capture information from extreme values and get the more accurate estimates for risk measures, which could provide a reference for investors to avoid loss.

peak over threshold model; two dimensional inhomogeneous poisson process; value at risk; expected shortfall

F830.91

A

1001-8395(2017)06-0753-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.008

2016-09-04

國(guó)家自然科學(xué)基金(11501017)

*通信作者簡(jiǎn)介:徐美萍(1971—),女,副教授,主要從事統(tǒng)計(jì)推斷方面的研究,E-mail：xumiping2006@163.com