陳金金, 王連堂

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710127)

與 Euler-Mascheroni 常數(shù)有關(guān)的幾個不等式

陳金金, 王連堂*

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710127)

首先給出幾個新的收斂序列,然后給出更一般的收斂序列來提高其收斂速度,得到幾個與Euler-Mascheroni常數(shù)有關(guān)的不等式.

Euler-Mascheroni常數(shù); Psi函數(shù); 不等式; 收斂速度

Euler-Mascheroni常數(shù)γ=0.577 215 664…被定義為序列

的極限.眾所周知, Euler-Mascheroni常數(shù)在數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域中扮演著重要的地位,它的理論還應(yīng)用在數(shù)論、物理學(xué)、微積分學(xué)等方面.許多研究者在Euler-Mascheroni常數(shù)理論和建立相應(yīng)不等式方面做出了許多貢獻(xiàn),例如

(1)

(2)

后來,D. W. DeTemple[1]通過研究序列

從而改進(jìn)了收斂到γ的速度,并且得到不等式

(3)

C. Mortici[2]再次研究了Euler-Mascheroni常數(shù),同時定義了一種新的序列

其中P、Q是關(guān)于n的多項式,且degP-degQ=1.

A. Vernescu[3]研究了序列

并得到不等式

(4)

D. W. Lu[4]研究了序列

并得到

在證明主要定理之前,先給出一些結(jié)論.

歐拉伽馬函數(shù)的表達(dá)式為

下面是關(guān)于Psi函數(shù)的漸近公式及不等式[5-7]:

(5)

ψ(x+1)-lnxlt;

(6)

(7)

(8)

1 引理

2 主要結(jié)論和證明

給定參數(shù)a、b和c某些特殊的值,使得下列序列收斂

利用上式,可得

Tn-Tn+1=

lnn+ln(n+1),

(10)

令

ln(1+x).

(11)

通過Mathematic計算,求得函數(shù)f(x)在x=0處的泰勒展開式為

4a-6a2-4a3-a4+6b+8ab+3a2b-b2+

4c+6ac+4a2c+a3c-4bc-2abc)x5+O(x6),

則

8ab+3a2b-b2+4c+6ac+4a2c+a3c-

從而可以得到下面的定理.

定理2.1如果定義γa,b,c為序列Tn的極限,則有:

其中

2ab-3c-3ac-a2c+bc;

6b+8ab+3a2b-b2+4c+6ac+

4a2c+a3c-4bc-2abc.

定理2.2對n∈N,n≥1有:

(12)

(13)

其中

證明證明(12)式,通過計算得

由文獻(xiàn)[9]知:

則計算可得:

對(12)式右邊,利用(8)式右邊得

(155+310n-294n2-588n3+1 680n4-

16 800n5)/[40 320n6(2n+1)]lt;0,n≥1,

對(12)式左邊,利用(8)式左邊得

證明(13)式,通過計算得

則計算可得

對(13)式右邊,利用(6)式右邊得

對(13)式左邊,利用(6)式左邊得

(-60-130n+36n2+253n3-1 071n4+

4 872n5+9 450n6+840n7)/

[2 520n6(n+1)(n+2)(2n+3)]gt;0,n≥1.

定理2.3對n∈N,n≥1有:

(14)

(15)

其中

證明證明(14)式,通過計算得

則計算可得

對(14)式右邊,利用(6)式右邊得

對(14)式左邊,利用(6)式左邊得

n≥1.

證明(15)式,通過計算得

由文獻(xiàn)[9],則計算可得

對(15)式右邊,利用(6)和(8)式得

對(15)式左邊,利用(6)和(8)式得

其中

A(n)=31 092+194 284n+475 633n2+

612 754n3+442 890n4+169 932n5+26 880n6.

為了提高這些序列收斂到γ的速度,給出了該序列更一般的形式來提高其收斂速度.對s∈N,有下列序列

其中

其中

如果a=1,b=0,c=2,則有

其中

特別地,令

定理2.4對n∈N,n≥1,則有:

(16)

(17)

(18)

證明證明(16)式,通過計算得

令

求導(dǎo)得

再利用(9)式右邊得

令

求導(dǎo)得

再利用(9)式左邊得

(-6 720x8-5 824x7+784x6-360x5-

684x4+2 503x3+2 749x2+1 085x+

155)/[6 720x7(x+1)3(2x+1)2]lt;0,x≥1,

證明(17)式,通過計算得

令

求導(dǎo)得

再利用(9)式左邊得

(38 528x6+39 872x5+1 072x4-11 608x3-

5 156x2-310x+155)/[6 720x7(2x+1)2×

(12x2+6x-1)]gt;0,x≥1,

令

求導(dǎo)得

再利用(9)式右邊得

(-4 384x8-10 352x7-8 304x6-832x5+

2 585x4+1 496x3+258x2-14x-

7)/[240x5(x+1)4(2x+1)2×

(12x2+6x-1)]lt;0,x≥1,

證明(18)式,通過計算得

令

f3(x)=-ψ(x+1)+

求導(dǎo)得

再利用(7)式右邊得

令

g3(x)=-ψ(x+1)+

求導(dǎo)得

再利用(7)式左邊得

(-72 148x6-13 663x5-5 512x4+

472x3+8x2+704x+200)/[240x5(x+1)4×

(24x2-12x+25)]lt;0,x≥1,

推論若

則對ngt;2有

證明經(jīng)計算得

Pn-γ-1+ln 4=2ψ(n+1)-

再利用(6)和(8)式可得

其中

B(n)=3 360n5+42 000n4+203 532n3+

471 954n2+510 610n+193 613.

[1] DETEMPLE D W. A quicker convergence to Euler’s constant[J]. Am Math Monthly,1993,100(100):468-470.

[2] MORTICI C. On new sequences converging towards the Euler-Mascheroni constant[J]. Comput Math Appl,2010,59(8):2610-2614.

[3] VERNESCU A. A new accelerate convergence to the constant of Euler[J]. Gaz Mat Ser A Bucha-rest,1999,104(4):273-278.

[4] LU D W. Some new convergent sequences and inequalities of Euler’s constant[J]. J Math Anal Appl,2014,419(1):541-552.

[5] CHEN C P, MORTICI C. New sequence converging towards the Euler-Mascheroni constant[J]. Comput Math Appl,2012,64(4):391-398.

[6] CHEN C P. Inequalities and asymptotic expansions for the psi function and the Euler-Mascheroni constant[J]. J Number Theory,2016,163(7):596-607.

[7] CHEN C P. Inequalities for the Lugo and Euler-Mascheroni constants[J]. Appl Math Lett,2012,25(5):787-792.

[8] MORTICI C. New approximations of the gamma function in terms of the digamma function[J]. Appl Math Lett,2010,23(1):97-100.

[9] CHEN C P, MORTICI C. Limits and inequalities associated with the Euler-Mascheroni constant[J]. Appl Math Comput,2013,219:9755-9761.

[10] NEGOI T. A faster convergence to the constant of Euler[J]. Gaz Mat Ser,1997,A15:111-113.

[11] RIPPON P J. Convergence with pictures[J]. Am Math Monthly,1986,93:476-478.

[12] YOUNG R M. Euler’s constant[J]. Math Gaz,1991,75(472):187-190.

[13] TIMS S R, TYRRELL J A. 3295. Approximate evaluation of Euler’s constant[J]. Math Gaz,1971,55(391):65-67.

[14] MORTICI C. Product approximations via asymptotic integration[J]. Am Math Monthly,2010,117(5):434-441.

[15] MORTICI C. Optimizing the rate of convergence in some new classes of sequences convergent to Euler’s constant[J]. Anal Appl,2010,8(1):99-107.

2010MSC：11Y60; 40A05; 41A25

(編輯 鄭月蓉)

Some Inequalities Related to the Euler-Mascheroni Constant

CHEN Jinjin, WANG Liantang

(SchoolofMathematics,NorthwestUniversity,Xi’an710127,Shaanxi)

In this paper we give some new convergent sequences. Then we provide some more general convergent sequences to accelerate their convergence rates, and obtain some inequalities related to the Euler-Mascheroni constant.

Euler-Mascheroni constant; Psi function; inequality; speed of convergence.

O174.66; O178

A

1001-8395(2017)06-0731-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.004

2016-11-20

陜西省自然科學(xué)基金(2010JM1017)

*通信作者簡介：王連堂(1959—),男,教授,主要從事數(shù)學(xué)物理方程反問題、不適定問題解法的研究,E-mail:wlt800@sina.com