許允斗，劉文蘭，陳亮亮，姚建濤，趙永生*，朱佳龍

（1.燕山大學 機械工程學院，秦皇島 066004；2.中國空間技術研究院西安分院，西安 710100）

一種新型可展組合單元的自由度與運動學分析

許允斗1，劉文蘭1，陳亮亮1，姚建濤1，趙永生1*，朱佳龍2

（1.燕山大學 機械工程學院，秦皇島 066004；2.中國空間技術研究院西安分院，西安 710100）

提出了一種新型多自由度可展機構9RR-12URU，可作為大口徑構架式可展天線支撐機構的最小組合單元。該機構包含3個3RR-3URU四面體可展單元，基于螺旋理論分析了單個四面體可展單元的自由度，進而采用拆分桿組法得到了9RR-12URU組合單元機構的自由度?；诠?jié)點的空間幾何位置和坐標變換矩陣推導了可展組合單元機構在收攏/展開過程中各節(jié)點位置和速度的解析表達式，并采用RPY角描述了各節(jié)點相對于定節(jié)點的姿態(tài)變化?；贏dams軟件對9RR-12URU組合單元機構的自由度和運動學理論分析進行了仿真驗證，結果表明該機構具有收攏和調姿兩種自由度，使機構達到最大折疊比。該新型多自由度可展組合單元機構結構簡單、折疊比大，可用于曲面構架式可展開反射器中。

自由度；可展機構；運動學；螺旋理論

0 引 言

單元構架式可展開天線采用模塊化設計思想，可以通過改變模塊的大小和數(shù)量滿足不同口徑的需求[1-2]，常用的模塊有四面體或六棱柱形式。在國外，日本的ETS-Ⅷ、俄羅斯的四面體單元構架式（Tetrahedral Truss）天線已得到了在軌應用，美國國家航空航天局（National Aeronautics and Space Administration，NASA） Langley研究中心、Harris公司、General Dynamic Space System也都研制出了四面體單元構成的大型可展天線[3-4]；在國內，構架式可展開天線的起步較晚，目前主要集中在結構設計、構型綜合等方面，浙江大學空間結構中心設計了四面體式[5-6]、六棱柱式[7]和環(huán)形桁架式[8]等可展天線，哈爾濱工業(yè)大學宇航空間機構及控制研究中心對可展天線基本單元進行了構型綜合[9-10]，中國空間技術研究院西安分院研制了6 m ×2.8 m構架式可展開天線樣機[11]，西北工業(yè)大學也對可展開天線展開了研究[12]，此外，孫宏圖等[13]提出了一種新型平面陣列可展機構——正方形可展機構，李瑞玲等[14]提出了球面剪叉可展機構，楊毅等[15]基于7桿閉環(huán)機構提出了一種新型四棱錐單元，可組合成大型平面可展機構。

現(xiàn)有單元構架式可展開天線在收攏過程中存在兩個問題：

1）機構收攏末態(tài)反射面花盤仍呈現(xiàn)拋物面狀且姿態(tài)不可調，影響機構的收攏比；

2）主要依靠桿件彈性變形和鉸鏈間隙實現(xiàn)機構的緊密收攏。

針對上述問題，本文提出了一種新型多自由度組合可展單元機構，具有良好的應用前景。

1 新型組合單元機構結構組成及特征

本文提出的新型組合可展單元機構由3個3RR-3URU四面體可展單元共用一個反射面花盤，且兩兩之間通過URU約束鏈連接而成，如圖1所示。

第一個3RR-3URU四面體可展單元包含：4個連接節(jié)點A、B、E和H，3根等長的腹桿AH、BH和EH，3根同步折疊桿AB、BE和AE，9個轉動副（R），6個虎克鉸（U），如圖2所示。

圖1 9RR-12URU新型可展組合單元機構簡圖Fig.1 Schematic of a novel deployable composite element 9RR-12URU

圖2 3RR-3URU四面體可展單元機構簡圖Fig.2 Schematic of 3RR-3URU tetrahedron deployable unit

記節(jié)點A、B和E組成的三角形的外心為O1，轉動副R1和R4的軸線相互平行且垂直于平面HO1B，轉動副R2和R5的軸線相互平行且垂直于平面HO1A，轉動副R3和R6的軸線相互平行且垂直于平面HO1E，每根同步折疊桿中的兩個連桿等長。其余兩個四面體單元與單元H-ABE具有相同的結構。

2 自由度分析

2.1 3RR-3URU四面體單元的自由度分析

3RR-3URU四面體可展單元屬于空間多閉環(huán)機構，采用現(xiàn)有自由度分析方法很難得出該單元的自由度。本文首先將四面體單元機構拆分為一個基本并聯(lián)機構和一條串聯(lián)運動鏈，然后基于螺旋理論分析并聯(lián)機構的自由度，得到與串聯(lián)運動鏈相連的兩個構件在并聯(lián)機構中的自由度數(shù)目和性質，最后分析串聯(lián)運動鏈添加到基本并聯(lián)機構上引入的約束性質，得到整個機構的自由度。

將3RR-3URU單元機構拆分為3RR-2URU并聯(lián)機構和URU串聯(lián)運動鏈，其中，3RR-2URU并聯(lián)機構如圖3所示，選取節(jié)點A作為定平臺，節(jié)點B為動平臺，則連接動平臺和定平臺之間的支鏈分別為分支AB和分支（AEH）-B。

圖3 3RR-2URU并聯(lián)機構簡圖Fig.3 Schematic of 3RR-2URU parallel mechanism

分支（AEH）-B含閉環(huán)子鏈，為得到閉環(huán)子鏈（AEH）的廣義運動副，在該閉環(huán)子鏈中將節(jié)點H視為動平臺，其通過分支R2R5和分支U3R8U4R6R3與定平臺A相連，分支U3R8U4R6R3為7自由度運動鏈，對節(jié)點H不提供約束，則節(jié)點H的運動由分支R2R5決定，因此，含閉環(huán)子鏈的分支（AEH）-B可等效為分支AHB。在節(jié)點H中心建立參考坐標系H-xyz，z軸沿轉動副R1和R2的軸線確定平面的法線方向，x軸平行于轉動副R7的軸線，y軸根據(jù)右手定則確定。記轉動副R5和R2軸線的方向矢量為，由于轉動副R4和R1關于x軸對稱，故R4和R1的方向矢量為，記轉動副R5和R2中心的位置矢量為，j= 5，2，則轉動副R4和R1中心的位置矢量為。

根據(jù)反螺旋理論可得分支AHB提供給節(jié)點B的約束螺旋系為

分支AB提供給節(jié)點B的約束螺旋為

其中：z7表示轉動副R7中心點的z坐標；表示與轉動副R7軸線重合的約束力。

式（1）和式（2）的并集為節(jié)點B受到的總約束螺旋，求其反螺旋可得節(jié)點B相對于節(jié)點A的運動螺旋為

式（3）表明3RR-2URU并聯(lián)機構中節(jié)點B具有3個自由度：2個軸線位于與xHy面平行的平面內的轉動自由度和1個沿節(jié)點A、B連線方向的移動自由度。另外，閉環(huán)子鏈（AEH）中存在1個局部自由度。因此，整個3RR-2URU機構具有4個自由度。

在3RR-2URU機構中，若以節(jié)點E為動平臺，同理可得其相對于節(jié)點A具有2個軸線位于與xHy面平行的平面內的轉動自由度和1個沿節(jié)點A、E連線方向的移動自由度。由于3RR-2URU機構具有4個自由度，且節(jié)點B和E的轉軸均位于與xHy面平行的平面內，故節(jié)點B和E的4個轉動自由度中只有2個是獨立的，其相對于節(jié)點A的兩個移動自由度是獨立的。

U5R9U6運動鏈為5自由度串聯(lián)鏈，根據(jù)螺旋理論可知該運動鏈提供1個與轉動副R9軸線重合的約束力，因此，在圖3所示3RR-2URU機構的節(jié)點B和E之間添加U5R9U6運動鏈后，引入1個實約束使節(jié)點B和E的兩個移動自由度變得相關，最終得到3自由度機構3RR-3URU，也可以根據(jù)修正的G-K公式計算3RR-3URU單元機構的自由度[16]

其中：M表示機構的自由度數(shù)；d表示機構的階數(shù)，d=6 -λ，λ表示機構中的公共約束數(shù)；n為組成機構的包括機架的構件數(shù)；g為機構所含運動副數(shù)；fi（i= 1，2，…，g）表示第i個運動副所具有的單自由度數(shù)；v為機構中除公共約束外的冗余約束數(shù)；ξ為機構中的局部自由度數(shù)，局部自由度不影響機構輸出件的自由度。

2.2 組合單元的自由度分析

為便于分析圖1所示的組合可展機構的自由度，將其視作是在四面體可展單元H-ABE的基礎上，依次添加四面體可展單元J-AFC、四面體可展單元I-ADG、約束鏈EC、約束鏈DF、約束鏈BG得到的，其中節(jié)點A為機架。

根據(jù)前述對單個3RR-3URU四面體單元機構的自由度分析可知，在四面體可展單元H-ABE的機架A上，依次添加四面體可展單元J-AFC和I-ADG得到的機構中，節(jié)點B和E的兩個移動自由度是相關的，節(jié)點C和F的兩個移動自由度是相關的，節(jié)點D和G的兩個移動自由度是相關的。由于約束鏈EC、DF和BG均為5自由度約束鏈URU，其提供1個約束限制兩端U副連接的構件在R副軸線方向的相對移動，因此，在單元機構HABE的節(jié)點E和單元機構J-AFC的節(jié)點C之間添加約束鏈EC后，節(jié)點B、E、C和F的移動變得相關；在單元機構J-AFC的節(jié)點F和單元機構I-ADG的節(jié)點D之間添加約束鏈DF后，節(jié)點B、E、C、F、D和G的移動變得相關；此時在單元機構I-ADG的節(jié)點G和單元機構HABE的節(jié)點B之間添加約束鏈BG后，引入1個冗余約束。根據(jù)修正的G-K公式可得9RR-12URU組合可展機構的自由度為

綜上，9RR-12URU可展組合單元機構具有7個自由度。根據(jù)各節(jié)點的運動性質可以將這7個自由度分為兩類：收攏自由度和調姿自由度。其中，收攏自由度指各節(jié)點向目標收攏軸線的移動自由度，調姿自由度指各節(jié)點繞其與對應腹桿連接的轉動副轉動的自由度。

3 9RR-12URU組合單元運動學分析

3.1 可展組合單元的運動學分析

9RR-12URU可展組合單元機構的運動學簡圖如圖4所示，節(jié)點A為機架，在節(jié)點A上建立參考坐標系A-xyz，z軸豎直向上，x軸是沿水平面與z軸和直線AO1確定平面的交線，y軸根據(jù)右手定則確定。在O1、O2和O3點分別建立局部坐標系O1-x1y1z1、O2-x2y2z2和O3-x3y3z3，z1、z2和z3軸分別與直線O1H、O2J和O3I重合，x1、x2和x3軸分別與直線O1A、O2A和O3A重合，y1、y2和y3軸根據(jù)右手定則確定。設腹桿長度均為L，折疊桿AB、AE、AC、AF、AD和AG中每根連桿的長度為l1，折疊桿BE、CF和DG中每根連桿的長度為l2，初始狀態(tài)下x1軸與x軸之間的夾角為γ0。根據(jù)本文第2節(jié)的分析可知，9RR-12URU可展組合單元有7個自由度，要使機構具有確定的運動，需要添加至少7個驅動。為便于實現(xiàn)各節(jié)點向定節(jié)點A的同步收攏和同步調姿，所有收攏驅動副的轉角相同，記為α，所有調姿驅動副的轉角相同，記為γ，α和γ為關于時間t的函數(shù)。

圖4 可展組合單元的運動簡圖Fig.4 Kinematic diagram of the deployable composition element

根據(jù)3RR-3URU單元機構的幾何關系可得，節(jié)點B、E、H在坐標系O1-x1y1z1中的位置矢量為

其中：β=arcsin(l2/(2l1))。

根據(jù)坐標變換可得節(jié)點B、E、H在坐標系A-xyz下的位置矢量為

根據(jù)9RR-12URU組合單元的幾何關系可得其他節(jié)點的位置矢量為

對式（7）和式（8）關于時間求導即可得在機構收攏/展開過程中所有節(jié)點的速度大小。

記節(jié)點B和E的質心坐標系相對于坐標系O1-x1y1z1的初始旋轉矩陣分別為，則在機構運動過程中節(jié)點B和E的質心坐標系相對于參考坐標系A-xyz的旋轉變換矩陣為

采用RPY角描述節(jié)點B的質心坐標系相對于參考坐標系A-xyz的姿態(tài)，則也可由下式得到

其中：γx、γy和γz分別表示繞x、y、z軸的轉角。

由式（11）和式（12）可得

同理，可得其他節(jié)點質心坐標系相對于坐標系A-xyz的姿態(tài)變化角。

3.2 可展組合單元的運動學驗證

基于Adams軟件建立9RR-12URU可展組合單元的仿真模型，如圖5所示，其中，L= 0.590 m，l1=0.250 4 m，l2= 0.250 m。初始位形下，γ0=-3.571°，=Rot(x1，-92.12°)(y1，29.56°)(z1，-92.03°)，=Rot(x1，-87.09°)(y1，-24.42°)(z1，-91.59°)。選取腹桿AH、AI、AJ與節(jié)點H、I、J連接的轉動副施加收攏驅動，為保證所有節(jié)點向節(jié)點A同步移動，令。選取節(jié)點B、E、F、G與腹桿BH、EH、FJ、GI連接的轉動副施加調姿驅動，為保證所有節(jié)點同步調姿，令，其中，。仿真200 s，9RR-12URU可展組合單元機構達到完全收攏狀態(tài)，如圖6所示。

圖5 可展組合單元的仿真模型Fig.5 Simulation model of the developable composition element

圖6 可展組合單元的收攏末態(tài)Fig.6 Folded configuration of the deployable composition element

選取節(jié)點B、F和I為例，節(jié)點F質心位置的理論值和仿真值如圖7所示，節(jié)點I質心線速度的理論值和仿真值如圖8所示，描述節(jié)點B姿態(tài)變化的γx、γy、γz角的理論值和仿真值如圖9所示。

圖7 節(jié)點F質心的位置變化曲線Fig.7 Position of the centroid of the node F

圖8 節(jié)點I質心的速度變化曲線Fig.8 Linear speed of the centroid of the node I

圖9 描述節(jié)點B姿態(tài)變化的RPY角Fig.9 RPY angular which is used to describe the orientation of the node B

從圖7～9可以看到各理論曲線與仿真曲線基本吻合，驗證了前述對9RR-12URU組合可展單元運動學分析的正確性，其中，圖9（a）中，在t= 200 s，組合單元機構已實現(xiàn)完全收攏，此時γx的理論值為85.513 3°，仿真值為84.936 8°，則γx的最大誤差為0.679%。仿真結果表明該組合單元機構具有收攏和調姿兩種自由度，可實現(xiàn)大折疊比。

4 結 論

本文提出了一種新型的多自由度可展組合單元機構9RR-12URU，其具有大折疊比，可用于構造拋物面或球面等其他曲面構架式可展天線的支撐機構；對9RR-12URU可展組合單元機構的自由度和運動學進行了分析，為后續(xù)結構設計與展開控制奠定了基礎。

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Mobility and Kinematic Analyses of a Novel Deployable Composite Element

XU Yundou1，LIU Wenlan1，CHEN Liangliang1，YAO Jiantao1，ZHAO Yongsheng1*，ZHU Jialong2
（1.College of Mechanical Engineering，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China；2.China Academy of Space Technology（Xi’an），Xi’an 710100，China）

A novel deployable mechanism9RR-12URU with multiple degrees of freedom（DoFs）is proposed，which can be used as the minimum composite element of the supporting mechanism of large-diameter truss antennas.This deployable mechanism consists of three 3RR-3URU tetrahedral units.The DoF of a tetrahedral unit is analyzed based on the screw theory，and then the DoF of the 9RR-12URU mechanism is obtained by using the method of splitting rod groups.According to the geometric positions and coordinate transformation matrices of the nodes，the analytic expressions of the position and velocity of each node in the folding/deploying process of the mechanism are derived.Furthermore，the RPY angle is adopted to describe the orientation of each node with respect to the fixed node.The theoretical analyses on the DoF and kinematics of the9RR-12URU mechanism are verified by Adams software.The results show that the mechanism has two kinds of DoFs：translational and rotational DoFs，which contribute to achieving the maximum folding ratio of the mechanism.The9RR-12URU deployable mechanism has a simple structure and a large folding ratio，that can be applied to truss deployable reflectors with a bent surface.

degree of freedom；deployable mechanism；kinematics；screw theory

V19；TH112

A

2095-7777（2017）04-0333-07

10.15982/j.issn.2095-7777.2017.04.004

許允斗，劉文蘭，陳亮亮，等.一種新型可展組合單元的自由度與運動學分析[J].深空探測學報，2017，4（4）：333-339.

Reference format：Xu Y D，Liu W L，Chen L L，et al.Mobility and kinematic analyses of a novel deployable composite element[J].Journal of Deep Space Exploration，2017，4（4）：333-339.

2017-05-17

2017-08-12

國家自然科學基金資助項目（51675458）；河北省自然科學基金重點項目（E2017203335）；河北省高等學校青年拔尖人才計劃項目（BJ2017060）

許允斗（1985- ），男，副教授，碩士生導師，主要研究方向：并聯(lián)機器人機構學理論及其應用、鍛造操作機技術、可展天線機構理論及其應用技術。

通信地址：河北省秦皇島市燕山大學機械工程學院機電系（066004）電話：（0335）8078704

E-mail：ydxu@ysu.edu.cn

趙永生（1962- ），男，教授，博士生導師，主要研究方向：并聯(lián)機器人理論及其應用、傳感器技術、可展天線機構理論及其應用技術。本文通訊作者。

通信地址：河北省秦皇島市燕山大學校長辦公室（066004）

電話：（0335）8074581

E-mail：yszhao@ysu.edu.cn

[責任編輯：楊曉燕，英文審校：朱恬]