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        構(gòu)造相似三角形 破解一類最值題

        2017-12-11 00:43:37吳智勇
        初中生世界·九年級 2017年11期
        關鍵詞:共線動點圓心

        吳智勇

        如圖1,已知直線AB:y=[-34]x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,點E(2,0)在x軸上,將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE′,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°),連接E′A、E′B,求[23]E′B+E′A的最小值.

        【思路突破】首先理解題目,弄清題目已知什么,用自己的語言敘述題目條件并與學過的知識聯(lián)系起來.題目已知直線AB:y=[-34]x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,告訴我們點A(4,0),B(0,3).點E(2,0)在x軸上,將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE′,則說明點E′是以原點為圓心,2為半徑的圓上的動點.題目要求[23]E′B+E′A的最小值,這個問題以前沒有見過,是個新問題.與這個問題相似的是求兩條折線段的和的最小值,那么我們能不能將[23]E′B轉(zhuǎn)化成某一條線段,從而將新問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題?又該從何處著手將[23]E′B轉(zhuǎn)化成系數(shù)為1的某一條線段?先進行直覺判斷,題中的直線AB與y軸交于點B,其中OB=3,OE′=OE=2,比值恰好是[23],由比值[23]猜想是否可以構(gòu)造一對相似比為[23]的相似三角形△COE′∽△E′OB?試試在y軸上取點C(0,[43]),連CE′,則[OCOE′]=[OE′OB]=[23],又∠COE′=∠E′OB,所以△COE′∽△E′OB,從而[CE′BE′]=[OE′OB]=[23],即CE′=[23]E′B,這樣欲尋找的[23]E′B+E′A的最小值就轉(zhuǎn)化為尋找CE′+E′A的最小值,由于點A、C是定點,因此只要點A、E′、C三點共線時就能取得最小值,[23]E′B+E′A=CE′+E′A≥AC,而AC=[OC2+OA2]=[(43)2+42]=

        [4103],因此[23]E′B+E′A的最小值為[4103].

        【解后反思】解題要有靈感,不可呆板,題目要求[23]E′B+E′A的最小值,這是一個以前沒有見過的新問題.解題的切入口是聯(lián)想以前做過的問題,將[23]E′B轉(zhuǎn)化成另一條線段CE′,從而將沒有見過的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題.轉(zhuǎn)化的方法是由題目條件得出OB=3,O′E=OE=2,聯(lián)想比值[23],從而將我們的思路往構(gòu)造相似三角形的方向上引導,轉(zhuǎn)化是解題的根本手段.

        【同類題鞏固】

        1.如圖3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,⊙C的半徑為2,點P為⊙C的一動點,連接AP、BP,則PA+[12]PB的最小值為 .

        【解析】解決問題的關鍵是將[12]PB轉(zhuǎn)化為系數(shù)為1的某一線段,因此需要找一個定點,構(gòu)造一對相似三角形來轉(zhuǎn)化.問題轉(zhuǎn)化為“兩定一動”,當三點共線時得到線段和的最小值.考慮到BC=2PC,在CB上取點D,使CD=1,連接PC、PD,如圖4,則[CDCP]=[CPCB]=[12],又∠PCD

        =∠BCP,所以△CDP∽△CPB,DP=[12]BP,PA+[12]PB=PA+PD≥AD,當A、P、D三點共線時等號成立. AD=[CA2+CD2]=[37],故PA+[12]PB的最小值為[37].

        2.已知:⊙M的圓心為M(4,4),半徑為[22],A(6,-1),O為坐標原點,動點P在⊙M上,則PO+2PA的最小值為

        【解析】考慮到OM=2PM,在OM上找一點B(3,3),連BP,則BM=[12]PM,由[BMPM]=[PMOM]=[12],又∠M=∠M,所以△MBP∽△MPO,所以BP=[12]PO,PO+2PA=2([12]PO+PA)=2(BP+PA)≥2BA,當A、P、B三點共線時等號成立.根據(jù)勾股定理得AB=5,故PO+2PA的最小值為10.

        3.已知:⊙B的圓心為B(1,1),交y軸于C(0,3),動點P在⊙B上,連接PC、PO.則[2]PC

        +[5]PO的最小值為 .

        【解析】⊙B的半徑為[5],OB=[2],如圖8,連接BP,BO,在BO延長線上取點D([-32],[-32]),則DB=[522],所以[OBPB]=[PBDB]=[25],又∠B=∠B,所以△OBP∽△PBD,所以DP=[52PO],[2PC]+[5PO]=[2](PC+[52PO])=[2](PC+PD)≥[2CD],當C、P、D三點共線時等號成立.故[2]PC+[5]PO的最小值為[35].

        (作者單位:江蘇省東臺市實驗中學)endprint

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