汪彥　付媛媛

摘要：為了克服圖像加密算法存在的密鑰空間不大等安全缺陷問題，提出一種基于雙混沌系統(tǒng)的圖像加密新算法。該算法利用Lorenz系統(tǒng)和Henon映射分別產生混沌序列，根據后者產生的混沌序列元素的取值，在前者產生的混沌序列中分別挑選出用于置亂加密的密鑰序列和用于替代加密的密鑰序列。實驗結果表明，該算法具有密鑰空間大、對密鑰非常敏感等加密性能。

關鍵詞：圖像加密；Henon映射；Lorenz系統(tǒng)；混沌系統(tǒng)

中圖分類號：TP393 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2017）31-0244-03

圖像作為人類獲取信息的重要來源，歷來受到人們的重視。而在信息技術飛速發(fā)展的網絡時代，各種各樣的圖像在復雜的網絡環(huán)境中傳輸和存儲，它們的安全性是迫切需要妥善解決的重要問題。而其中一些圖像，往往與私人的隱私相關聯(lián)，或者與國家安全等重要信息息息相關，這些圖像的安全性就更加受到關注[1]。

對圖像加密是一種可行的安全技術。結合混沌理論對圖像進行加密，受到了研究者們的深入研究。為了克服以往一些算法密鑰空間不大、安全性不高等弊端，本文提出一種基于Henon映射和Lorenz系統(tǒng)的圖像加密算法，并通過實驗驗證了算法的性能。

1 混沌系統(tǒng)

混沌是在確定性的非線性系統(tǒng)中存在的貌似混亂無序、毫無規(guī)律的現(xiàn)象?；煦缦到y(tǒng)實質上是確定性的非線性系統(tǒng)，融內在的規(guī)律性與外在的隨機性于一體[2]?；煦缦到y(tǒng)具有初值敏感性、有界性、隨機性、確定性等特性，這些特性使其在密碼學領域得到了廣泛的應用。

本文選取Henon混沌系統(tǒng)和Lorenz混沌系統(tǒng)構建圖像加密算法，下面簡要介紹這兩種混沌系統(tǒng)。

1.1 Henon映射

Henon映射[3]是一個二維二次非線性動力系統(tǒng)，其迭代方程如式（1）所示。

[uk+1=1-suk2+vkvk+1=tuk ] （1）

上式中，[k=0，1，2，3，…，n]，[n]是一個非負整數(shù)。當[0.54

1.2 Lorenz系統(tǒng)

Lorenz系統(tǒng)是美國科學家洛倫茲在1963年所發(fā)現(xiàn)的一個三維動力學系統(tǒng)，其動力學方程可用一組微分方程組表示，具體如式（2）所示[4]。

[dxdt=a（y-x）dydt=cx-zx-ydzdt=xy-bz ] （2）

上式中，參數(shù)[a、b、c]可為任意正實數(shù)，而當取a=10，b=8/3，c=28時，系統(tǒng)呈現(xiàn)最佳混沌狀態(tài)。式（2）中的Lorenz方程組可用式（3）所示的差分方程組來近似表示[5]：

[xk+1=xk+a（y-x）dtyk+1=yk+（cx-zx-y）dtzk+1=zk+（xy-bz）dt] （3）

對于上式，給定初始值[x0、y0、z0]，并設置[dt]的取值，可采用迭代的方法求出一個迭代序列，該序列就是Lorenz系統(tǒng)的一個數(shù)值解。

2 基于Henon映射和Lorenz系統(tǒng)的圖像加密算法

2.1 圖像加密過程

本文提出的圖像加密算法通過對原始明文圖像像素點位置的置亂和像素點灰度值的替代而達到加密的目的，其基本過程為：首先，分別利用Henon映射和Lorenz系統(tǒng)生成兩個混沌序列流；其次，根據Henon混沌序列的取值，在Lorenz混沌序列中挑選元素構成初始置亂序列流和初始替代序列流，并將這兩個序列流進一步改造為置亂序列流和替代序列流；然后，根據原始明文圖像和置亂序列流得到全局置亂圖；最后，根據全局置亂圖和替代序列流進行像素值的修改，從而得到最終的密文圖像。

下面，分別對置亂加密和替代加密兩個過程加以詳細介紹。

2.1.1 圖像置亂加密

像素位置的置亂的目的是為了消除或者降低圖像中各鄰接像素點之間的相關性，其方法就是按照某種方法將明文圖像中的各像素的位置進行更改。本文提出的圖像像素的置亂加密算法可分如下九個步驟進行。

Step1：將原始明文圖像的像素灰度矩陣[Am×n]（該矩陣是二維的）以行優(yōu)先的方式，拉伸成一維序列[p={p1，p2，p3，…，pm×n}]。

Step2：給定密鑰1，即式（1）的初始值[u0]、[v0]和參數(shù)[s]、[t]，按照式（1）預迭代Henon混沌映射[K1]次，將結果棄用，用以消除暫態(tài)效應的不良影響。繼續(xù)迭代式（1） [m×n]次，得到長度為[m×n]的混沌序列流[R={R1，R2，R3，…，Rm×n}]，該序列流的元素均是二維向量，即[Ri=（ui，vi）]。

Step3：給定密鑰2，即式（3）中的初值[x0]、[y0]、[z0]和參數(shù)[a、b、c]，按照式（3）預迭代Lorenz混沌映射[K2]次，將結果棄用，用以消除暫態(tài)效應的不良影響。繼續(xù)迭代式（2） [m×n]次，得到長度為[m×n]的混沌序列流[L={L1，L2，L3，…，Lm×n}]，該序列流的元素均是三維向量，即[Li=（xi，yi，zi）]。

Step4：以混沌序列流[R]為基礎，構造一個只包含0、1和2的整數(shù)序列流[R'={R'1，R'2，R'3，…，R'm×n}]，[R'i（i=1，2，3，…，m×n）]的值由式（4）、式（5）和式（6）按順序依次計算確定。

[H=mod（fix（ui×10），10）+mod（fix（ui×1000），10） +mod（fix（ui×100000），10） ] （4）

[H=H+mod（fix（vi×100），10）+mod（fix（vi×10000），10） +mod（fix（vi×1000000），10） ] （5）

[R'i=mod（H，3）] （6）

式中：[mod]表示整取求余；[fix]表示截尾取整。[ui]、[vi]分別表示向量[Ri]的兩個分量。那么，[H]表示[ui]的小數(shù)點后的第一位、第三位、第五位的數(shù)位上的數(shù)字與[vi]的小數(shù)點后的第二位、第四位、第六位的數(shù)位上的數(shù)字的和值。

Step5：構造兩個初始為空的序列流[Q]和[W]，按照一定的規(guī)則選取混沌序列流[L]中的元素分別依次放入序列流[Q]和[W]中，直到[Q]和[W]的長度均為[m×n]為止。序列流[Q]將進一步改造得到用于像素位置置亂加密的序列流[Q']，序列流[W]則將進一步改造得到用于圖像像素替代加密的序列流[W']。

具體選取規(guī)則：從頭到尾依次掃描序列[L]和[R']，若[R'i=0]，則將對應的[Li]的分量[xi]放入序列[Q]中，將[Li]的分量[yi]放入序列[W]中；若[R'i=1]，則將對應的[Li]的分量[yi]放入序列[Q]中，將[Li]的分量[zi]放入序列[W]中；若[R'i=2]，則將對應的[Li]的分量[zi]放入序列[Q]中，將[Li]的分量[xi]放入序列[W]中。據此將得到兩個長度為[m×n]的序列[Q]和[W]，即[Q={Q1，Q2，Q3，…，Qm×n}]，[W={W1，W2，W3，…，Wm×n}]。

Step6：將由原始明文圖像得到的一維像素灰度值序列[p={p1，p2，p3，…，pm×n}]按照由小到大的順序排序，得到像素值遞增序列[p'={p'1，p'2，p'3，…，p'm×n}]。

Step7：利用序列[Q]和[p']，計算得到用于置亂加密的序列[Q'={Q'1，Q'2，Q'3，…，Q'm×n}]，其中元素[Q'i（i=1，2，3…，m×n）]由式（7）確定。

[Q'i=p'i×Qi] （7）

Step8：將序列[Q']按照從小到大的順序排列，產生一個新的有序序列，并構造用于依次記錄該新有序序列中各元素在序列[Q']中位置的新序列[T={T1，T2，T3，…，Tm×n}]。

Step9：利用序列[T]對序列[p={p1，p2，p3，…，pm×n}]進行置亂，得到置亂的像素值序列[B={B1，B2，B3，…，Bm×n}]，其中元素[Bi]由式（8）確定。

[Bi=PTi，i=1，2，3，…，m×n] （8）

2.1.2 圖像替代加密

圖像替代加密階段主要完成對置亂圖像像素灰度值的修改，進一步增強算法的安全性。本文提出的圖像像素替代加密的算法分為如下五個操作步驟。

Step1：根據圖像置亂加密階段Step5得到的序列[W={W1，W2，W3，…，Wm×n}]，按照式（9）產生替代加密序列[W'={W'1，W'2，W'3，…，W'm×n}]。

[W'i=mod（mod（abs（fix（（wi-fix（wi））*10000）），1000），256）] （9）

式中：[mod]表示整取求余；[fix]表示截尾取整；abs表示求絕對值。

Step2： 設序列[C={C1，C2，C3，…，Cm×n}]就是最終密文圖像的像素序列，可按式（10）生成這一序列。

[Ci=Bi⊕W'i，i=1Bi⊕W'i⊕Ci-1，i=2，3，4，…，m×n] （10）

式中：[⊕]表示對參與運算的兩個整數(shù)進行按位異或運算。在按照上式計算[C]時，一定要根據下標按遞增的順序依次計算。

Step3：將一維像素序列[C]轉換為二維的[m×n]的矩陣，即為最終密文圖像。

2.2 圖像解密原理

圖像解密過程與加密過程互為逆過程。針對上文提出的圖像加密算法，對應的圖像解密過程包括圖像替代解密和圖像置亂解密這兩個過程，并且替代解密應在置亂解密之前進行，詳細過程不再贅述。

3 實驗仿真結果

在本文算法的仿真實驗過程中，以8位的灰度圖像作為實驗對象，圖像分辨率為[256×256]。 Henon混沌映射的初值和參數(shù)設置為：[u0=0.06]，[v0=0.15]，[s=1.4]，[t=0.3]。Lorenzo混沌映射的初值和參數(shù)設置為：[x0=1.2]，[y0=1.3]，[z0=1.6]，[a=10]，[b=8/3]，[c=28]，[dt=0.005]。Henon混沌映射和Lorenz混沌映射均丟棄前1200次迭代計算的結果，即[K1=K2=1200]。仿真實驗所用原始圖像（即明文圖像）和對應的加密圖像（即密文圖像）如圖1所示。從圖1（b）可直觀得知，密文圖像和原始圖像之間已看不出任何聯(lián)系。

4 加密算法性能分析

4.1 直方圖分析

原始圖像和加密圖像的灰度直方圖分別如圖2（a）和圖2（b）所示。該圖直觀展示原始圖像的像素灰度分布呈現(xiàn)極度不均衡的狀態(tài)，而加密圖像的灰度分布式比較均勻的。這說明，圖像的灰度統(tǒng)計特性被加密算法大幅度改動，加密前后圖像之間的關聯(lián)被減少甚至消除。

4.2 密鑰空間分析

本文所提出的加密算法將Henon映射和Lorenz系統(tǒng)結合起來， [u0]，[v0]，[x0]，[y0]，[z0]共同構成算法的密鑰。這5個參數(shù)都是雙精度實數(shù)，如果雙精度實數(shù)采用64比特表示，則算法的密鑰空間為[264×264×264×264×264=2320]。同時，若將[K1]、[K2]和[s]、[t]、[a]、[b]、[c]等也視為密鑰的組成部分，密鑰空間則會進一步擴大?？梢?，本文提出的加密算法足以抵抗窮舉攻擊。

4.3 密鑰敏感性分析

密鑰敏感性是指對于同一明文，若分別采用兩個僅有極小區(qū)別的密鑰，生成的密文之間區(qū)別很大；同時，針對同一密文，使用兩個僅有極小區(qū)別的密鑰解密，得到的解密結果之間區(qū)別很大[6]。下面通過解密實驗來分析本文算法是否具有密鑰敏感性。

首先，利用密鑰參數(shù)[u0=0.06]，[v0=0.15]，[s=1.4]，[t=0.3]，[x0=1.2]，[y0=1.3]，[z0=1.6]，同時，其余參數(shù)分別為[a=10]，[b=8/3]，[c=28]，[dt=0.005]，[K1=K2=1200]，進行解密實驗，圖5（a）即為實驗所得解密圖像，該圖像與圖3（a）完全相同。這就意味著利用正確密鑰可將加密圖像還原為原始圖像。接下來，先后僅將[u0]，[v0]，[x0]，[y0]，[z0]中的一個參數(shù)增大[10-10]，其它參數(shù)維持正確值，圖3（b）、（c）、（d）、（e）、（f）即為所得錯誤解密圖像。結合圖3可知，只要稍微調整密鑰的取值，所得解密圖像與原始圖像截然不同，無法從中識別有意義的信息。

（a）正確的解密圖像；（b） [u0=0.06+10-10]的解密圖；

（c） [v0=0.15+10-10]的解密圖；（d） [x0=1.2+10-10]的解密圖；

（e） [y0=1.3+10-10]的解密圖；（f） [z0=1.6+10-10]的解密圖

圖像灰度值的均方誤差[7]能以量化的形式描述解密圖像和原始圖像的差別，適用于加密算法密鑰敏感性深入分析。設[P={pi，j}]和[P'={p'i，j}]（其中，[i=1，2，3，…，m]，[j=1，2，3，…，n]）分別表示原始圖像和解密圖像的灰度矩陣，那么均方誤差差[Ep，p']可由（11）式定義。

[Ep，p'=1m×ni=1mj=1n（（pi，j-p'i，j））2 ] （11）

對于實驗涉及的原始圖像和各種解密圖像，采用（11）式計算它們之間的均方差值，結果記錄在表1中。表1和圖3表明，本文提出的加密算法具有密鑰敏感性。

5 結論

本文提出了一種新的基于雙混沌系統(tǒng)的圖像加密算法。該算法的特點在于：分別利用Henon混沌映射和Lorenz混沌系統(tǒng)生成兩個混沌序列，將前者者生成的混沌序列進一步改造成一個只含0、1、3的序列，根據該序列中元素的值，選擇Lorenz混沌序列中元素的一些分量分別作為圖像像素置亂的序列流，選擇另一些分量作為圖像像素灰度值替代加密的序列流。該算法將兩個混沌系統(tǒng)有機結合起來，增加了攻擊者的破譯難度，仿真實驗結果證明，算法安全性能良好。

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