陳桂糖++任馳遠++鄧秋福++余莎++黃輝紅++蒲思蓓
DOI:10.16661/j.cnki.1672-3791.2017.30.040
摘 要:對于系泊系統(tǒng)的設(shè)計問題,以懸鏈線方程為基礎(chǔ),通過靜力平衡和剛體力矩平衡理論確定系泊系統(tǒng)中各個參數(shù)之間的聯(lián)系,推導(dǎo)出系泊系統(tǒng)整體的數(shù)學(xué)模型。再利用牛頓-拉夫遜迭代對其進行求解,最終得到不同海況下鋼桶和各節(jié)鋼管的傾角、浮標的吃水深度及游動區(qū)域、錨鏈的形狀及約束條件下的重物球的質(zhì)量等結(jié)果,并給出最優(yōu)系泊系統(tǒng)設(shè)計的方案。
關(guān)鍵詞:系泊系統(tǒng) 懸鏈線 靜力平衡 鋼體力矩平衡 牛頓-拉夫遜迭代
中圖分類號:P75 文獻標識碼:A 文章編號:1672-3791(2017)10(c)-0040-04
系泊系統(tǒng)是近淺海觀測網(wǎng)的重要組成部分,如何設(shè)計最優(yōu)的系泊系統(tǒng)從而促進信號的傳播具有重要意義。針對系泊系統(tǒng)設(shè)計問題,基于2016年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題所提供的近淺海觀測網(wǎng)傳輸接點的相關(guān)數(shù)據(jù),首先運用懸鏈線方程推導(dǎo)出錨鏈的數(shù)學(xué)模型,再根據(jù)靜力平衡和力矩平衡理論建立其余各部件的平衡狀態(tài)方程,通過Newton-Raphson迭代對其進行求解,最終得到系泊系統(tǒng)整體的數(shù)學(xué)模型。在模型的基礎(chǔ)上,給出具體的設(shè)計結(jié)果,即確定錨鏈的型號、長度和重物球的質(zhì)量,使得系泊系統(tǒng)能夠在風(fēng)速和水速最大時以及潮汐現(xiàn)象導(dǎo)致的海水深度變化的情況下,使得浮標的吃水深度和游動區(qū)域及鋼桶的傾斜角度盡可能小。
1 模型假設(shè)
(1)靜力分析時,忽略波浪對系統(tǒng)載荷的影響。
(2)忽略錨鏈的彈性形變[1]。
(3)浮標所受的風(fēng)力方向平行于海平面方向。
(4)在風(fēng)力作用下,浮標的上表面平行于海平面,不與海平面呈一定夾角。
(5)錨泊系統(tǒng)各部件視為鋼體,不會發(fā)生形變。
2 模型建立
2.1 結(jié)構(gòu)簡圖
近淺海觀測網(wǎng)的某傳輸節(jié)點結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。
2.2 錨鏈的受力分析
如圖2所示,錨鏈受到的力有自身重力WS、錨拉力T1、鋼桶拉力T2。
不考慮錨鏈的彈性,按照靜力懸鏈線理論可以推導(dǎo)出錨鏈的數(shù)學(xué)模型[2]:
其中,S為錨鏈長度;TH為錨鏈水平拉力;H為懸鏈線水平距離;Z為懸鏈線豎直距離;θ1為錨鏈末端與海床的夾角;θ2為錨鏈上接點切線方向與水平方向的夾角;W為單位長度質(zhì)量。
2.3 鋼桶的受力分析
如圖3所示,鋼桶受到的力有自身重力G2、重物球的重力G0、浮力B2、錨鏈拉力Tx1與Ty1、鋼管拉力Tx2與Ty2。
鋼桶處于靜力平衡狀態(tài),將鋼桶視為質(zhì)點,根據(jù)鋼桶的垂直和水平方向受力平衡可以得到:
同時,將鋼桶視為鋼體,它處于力矩平衡狀態(tài),因此,以鋼桶上鉸鏈接點為轉(zhuǎn)軸,按照力矩平衡關(guān)系得到:
其中,鋼桶的質(zhì)量m2和重物球的質(zhì)量m0,有鋼桶重力G2=m2g,重物球重力G0=m0g;鋼桶的直徑d2及長度l2,有鋼桶的浮力為:
2.4 鋼管和浮標的受力分析
鋼管和浮標的受力分析[3]與鋼桶類似,在此不再贅述了。
2.5 臨界條件分析
在水平風(fēng)力較大時,錨鏈被拉緊,錨鏈的海底夾角為正,即θ1≥0,按照前述的懸鏈線模型可以求解;而當風(fēng)力較小時,錨鏈下端沉在海底,此時不能使用標準的懸鏈線模型描述錨鏈狀態(tài)。因此,需要單獨對拖地形態(tài)下的錨鏈建立數(shù)學(xué)模型。錨鏈拖地狀態(tài)如圖4所示。
當錨鏈拖底時,拖底段的錨鏈是一條直線,不滿足懸鏈線模型,只有錨鏈開始從海底升起后,才滿足懸鏈線方程。此時,錨鏈與海底相切,即錨鏈與海底的夾角為零,即將θ1為恒值0,得到錨鏈的數(shù)學(xué)模型如下:
3 模型求解
3.1 問題1的求解
3.1.1 臨界風(fēng)速
風(fēng)速較大時,錨鏈不會拖底,而風(fēng)速較小時,錨鏈拖底,本文稱使得錨鏈恰好拖底時的風(fēng)速為臨界風(fēng)速。由于高于和低于臨界風(fēng)速的錨鏈模型不同,因此本文首先找出錨泊系統(tǒng)的臨界風(fēng)速。本文首先使用標準懸鏈線模型模擬不同風(fēng)速下的錨鏈海底夾角,如圖5所示。
由圖5可知,當風(fēng)速大于22.34m/s時,錨鏈的海底夾角大于0°,而當風(fēng)速小于22.34m/s時,該夾角小于0°,這與海底是平面矛盾,因此,得到該錨泊系統(tǒng)的臨界風(fēng)速約為22.34m/s。
3.1.2 不同風(fēng)速的結(jié)果
當風(fēng)速分別為12m/s和24m/s時,鋼桶和各鋼管與豎直方向的傾斜角度、吃水深度、浮標游動區(qū)域如表1所示。
3.1.3 不同風(fēng)速下的錨泊系統(tǒng)幾何形態(tài)
根據(jù)MATLAB編程繪圖,可以得到風(fēng)速分別為12m/s和24m/s時系泊系統(tǒng)錨鏈的形狀,并且可以得到浮標的具體位置,如圖6所示。
3.2 問題2的求解
風(fēng)速為36m/s時,重物球質(zhì)量1200kg的錨泊系統(tǒng)狀態(tài),結(jié)果如表2所示。
由表2可知,在海面風(fēng)速為36m/s,重物球的質(zhì)量為1200kg條件下,鋼桶的傾斜角度9.59°>5°,使得設(shè)備的工作效果較差,錨鏈在錨點與海床的夾角20.53°>16°,使得錨會被拖行,故我們需要不斷調(diào)節(jié)重物球的質(zhì)量,使得鋼桶的傾斜角度不超過度,錨鏈在錨點與海床的夾角不超過16°。
3.2.1 重物球質(zhì)量的優(yōu)化
根據(jù)題設(shè),調(diào)節(jié)重物球的質(zhì)量,使得鋼桶的傾角β1≤5°,且錨鏈在錨點與海床的夾角θ1≤16°,利用MATLAB編程得到臨界重物球的質(zhì)量介于2140~2150kg之間,繪制圖7,故重物球的質(zhì)量應(yīng)滿足m0≥2140kg。
本文進行重物球大概范圍的查找,可以得到隨著重物球質(zhì)量的增加,傾斜角度隨之減小,得到最小重物球質(zhì)量應(yīng)該在2140~2150kg之間;再對重物球的質(zhì)量進行細分,使之達到最優(yōu),由圖7可知,滿足鋼桶的傾角β1≤5°條件的最小質(zhì)量為2050kg,滿足錨鏈在錨點與海床的夾角θ1≤16°條件的最小質(zhì)量為2148kg,當同時滿足這兩項條件的重物球質(zhì)量應(yīng)2148kg。
3.2.2 優(yōu)化后的錨泊系統(tǒng)狀態(tài)
優(yōu)化后,當重物球的質(zhì)量為2148kg時,錨泊系統(tǒng)各參數(shù)的值如表3所示。
且得到浮標的具體位置,如圖8所示。
4 結(jié)語
在系泊系統(tǒng)的設(shè)計中,本文使用靜力平衡、鋼體力矩平衡將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,再利用迭代運算將抽象的問題具體化,從而給出了最優(yōu)系泊系統(tǒng)設(shè)計的方案。
優(yōu)點:問題1,2建立的是二維空間下錨泊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,在一定程度上簡化了模型,使模型更容易實現(xiàn)。模型的計算采用專業(yè)數(shù)學(xué)軟件,可行度高,便于推廣。
缺點:在模型的建立過程中,本文把錨泊系統(tǒng)的各部件都視為了剛體,不發(fā)生形變,但實際上錨泊系統(tǒng)的各部件會發(fā)生形變。因此模型求得的結(jié)果與實際結(jié)果還是有一定差距。
參考文獻
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