李夏云，熊佩英，陳傳淼

(1. 湖南城市學(xué)院 理學(xué)院，湖南 益陽(yáng) 413000；2. 湖南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410081)

半線性橢圓型方程多解計(jì)算的Newton流線法

李夏云1，熊佩英1，陳傳淼2

(1. 湖南城市學(xué)院 理學(xué)院，湖南 益陽(yáng) 413000；2. 湖南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410081)

為求解半線性橢圓方程的多解問(wèn)題，本文在搜索延拓法理論的基礎(chǔ)上，改用Newton流方程來(lái)計(jì)算目標(biāo)方程組，進(jìn)而提出了新的Newton流線法，證明了其具有指數(shù)收斂性，并給出了其算法；如果大量隨機(jī)地投入初始點(diǎn)，通過(guò)該方法能得到半線性橢圓方程的所有解；最后其有效性為正方形域中立方非線性方程的多解數(shù)值實(shí)驗(yàn)所證明﹒

非線性；多解；Newton流線法；中心場(chǎng)

半線性橢圓型方程問(wèn)題

式(1)中Ω是RN上的有界區(qū)域，假設(shè)非線性項(xiàng)f(x,u)在Ω×R上滿足局部 Lipschitz連續(xù)，且其中a1,a2為正常數(shù)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，方程(1)的能量泛函為

對(duì)于方程(1)的解的存在性與多解性，已經(jīng)有大量的研究成果，其多解的數(shù)值計(jì)算也有大批的研究者進(jìn)行了關(guān)注[1-7]﹒在方程(1)中取則有

此算法的第1步搜索所有的解的初值是決定性的，在多解計(jì)算中，遇到的困擾是發(fā)散﹒由于初值的原因，加上E(u)常是非凸的，對(duì)于高M(jìn)orse指標(biāo)，使得迭代計(jì)算很不穩(wěn)定，因此我們提出Newton流線法來(lái)大范圍求解半線性橢圓方程的多解問(wèn)題﹒Newton流線法：大量隨機(jī)地投入初始點(diǎn)，使解曲線沿著 Newton流方向，可大范圍按指數(shù)收斂，自適應(yīng)地追蹤根，從而求得半線性橢圓方程的所有解﹒

1 半線性橢圓方程的多解計(jì)算分析

1.1 Newton流線法的基本理論

設(shè)n階非線性方程組為

其中F(x)是從N維區(qū)域的連續(xù)且分片光滑的函數(shù)，其經(jīng)典的求解方法是 Newton迭代法[7]：其有二階收斂性，其需要很好的初值x0，僅當(dāng)初值很接近真解x*時(shí)才是收斂的﹒理想的算法是：計(jì)算軌道總是沿著的方向前進(jìn)，在 Davidenko方程中，令t=0，可得它與流線的方向是一致的，當(dāng)t＞0時(shí)，因初值x0的影響，曲線x(t)逐漸偏離了流線方向V(x)﹒為此我們考慮Newton流方程，即

對(duì)于任意的初值x0，式(8)準(zhǔn)確地描述了流線的微分方程，始終沿著流線方向前進(jìn)﹒求解式(8)，我們采用的具有k≥1階精度的Euler格式為

當(dāng)k=1時(shí)，有在計(jì)算接近根的時(shí)，F(xiàn)(x)變小，流線方向V(x)也變得很小，x(t)的變化很小，當(dāng)t→∞時(shí)，才有x(t)→x*，t適當(dāng)大以后，可改用較大的步長(zhǎng)來(lái)計(jì)算；當(dāng)計(jì)算的根達(dá)到一定的精度以后，即可以終止計(jì)算，也可改用牛頓迭代求解，直到得到所需的根x*﹒

在企業(yè)集團(tuán)戰(zhàn)略性成本管理中，為了將成本管理工作作為重點(diǎn),結(jié)合成本工作的特點(diǎn)，進(jìn)行管理方案的創(chuàng)設(shè)，優(yōu)化成本控制的內(nèi)容，為成本管理工作的完善提供支持。在成本管理控制體系確定中，應(yīng)該結(jié)合成本管理的特點(diǎn)，進(jìn)行各個(gè)部門之間的工作協(xié)調(diào)，使企業(yè)各項(xiàng)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)得到整合，優(yōu)化成本管理流程，為財(cái)務(wù)工作的創(chuàng)新提供支持，降低企業(yè)成本支出，為企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本以及定量工作的分析提供參考，促進(jìn)企業(yè)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展[4]。

即其形成一個(gè)向x*匯聚的Newton中心場(chǎng)﹒

證明：以x*為球心建立坐標(biāo)系，設(shè)B(θ)為單位球，則一個(gè)朝x*匯聚的中心場(chǎng)為

在x*的鄰域中，有

設(shè)x*=0，展開為x的m次齊次多項(xiàng)式，對(duì)任意的參數(shù)μ恒有關(guān)于μ求導(dǎo)得

定理 2：設(shè)F(x)為閉子域G∈Ω上的適當(dāng)光滑的函數(shù)，x*是F(x)的m重根，則以任意x0∈G為起點(diǎn)的用k≥1階數(shù)值方法確定的場(chǎng)線x(t)，滿足，且適當(dāng)多步以后x(t)按指數(shù)衰減估計(jì)，

由定理1展開

1.2 求所有根的Newton流線算法

為求非線性問(wèn)題的根，基于上面理論，我們提出Newton流線算法：設(shè)有界區(qū)域G將被F的奇異面分為若干個(gè)聯(lián)通的子域Gj，其中一些子域含有一個(gè)根，任取其中一點(diǎn)為起始點(diǎn)，用Newton流線法可以求得此根；有些子域沒有根，任取其中一點(diǎn)為起始點(diǎn)得到的點(diǎn)列將接近某奇點(diǎn)，終止計(jì)算﹒

第1步：隨機(jī)取初始點(diǎn)x0，計(jì)算

第3步：判斷x0和xk是否是根或者是奇異點(diǎn)若其不是，繼續(xù)用流線法計(jì)算，適當(dāng)多步以后，若滿足則可得到一個(gè)近似的根，若不是重根，以后改用牛頓迭代法加速；若仍有則此子域無(wú)根，停止迭代并轉(zhuǎn)向另一初值點(diǎn)，再進(jìn)行第2步計(jì)算﹒

第4步：將所求根存在數(shù)組U中(計(jì)算的第一個(gè)根必存)，以后每得到一個(gè)根與先存的比較，若則xi*是新根，可存入U(xiǎn)，否則棄去并終止計(jì)算，最后將在U中存下所有不同的根﹒

2 正方形域上半線性橢圓方程的多解計(jì)算研究

3 正方形域上半線性橢圓方程多解的Newton流線計(jì)算法

首先用不同類型基函數(shù)組合來(lái)求問(wèn)題的解﹒按特征值的大小取

這7個(gè)值中，有2個(gè)二重值，3個(gè)單值，按前面的搜索延拓法應(yīng)該可以得到 22個(gè)非零解﹒其近似解u7(x,y)的系數(shù)滿足非線性方程組

我們用 Newton流線法來(lái)對(duì)其進(jìn)行計(jì)算：在區(qū)域[-3,3]上隨機(jī)取點(diǎn)，并取 30000n= ，再調(diào)用Matlab中的 rand函數(shù)，得到一個(gè)7×30 000的隨機(jī)矩陣，共30 000個(gè)初值，通過(guò)計(jì)算，得到50個(gè)非零解，與前面的22個(gè)解比較，多了28個(gè)不同的解，將其進(jìn)行歸類，得到15組解﹒利用區(qū)域的對(duì)稱性歸類，我們得到3組不同的新解，這3組不同的新解是不同的特征值與對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)的相互作用，而產(chǎn)生的多解﹒設(shè)這 3組新解為它們對(duì)應(yīng)的初值分別為

利用Newton流線法來(lái)計(jì)算，共得到84個(gè)非零解，利用區(qū)域的對(duì)稱性，通過(guò)歸類，我們得到26組不同的解﹒不同的特征值之間可以產(chǎn)生新的多解﹒

4 總結(jié)

求解半線性橢圓方程的多解問(wèn)題，先用隨機(jī)函數(shù)，將基進(jìn)行線性組合，隨機(jī)布點(diǎn)，然后用Newton流線法來(lái)搜索更好的初值，最后在最大的子空間用 Newton法或其他迭代法求解目標(biāo)方程組，最后可得到所求問(wèn)題的真解，且真解與初值的圖像很相似，只是真解的腰更細(xì)、峰更高，這說(shuō)明了本文方法是可行的﹒

圖1 初值u1圖像

圖2 真解u1圖像

圖3 初值u2圖像

圖4 真解u2圖像

圖5 初值u3圖像

圖6 真值u3圖像

實(shí)驗(yàn)中從 500～30 000每隔 500個(gè)點(diǎn)，用Newton流線法求解，最初采用隨機(jī)函數(shù)進(jìn)行隨機(jī)取點(diǎn)，求解結(jié)果如圖7所示﹒

圖7 每隔500個(gè)點(diǎn)記錄的解個(gè)數(shù)圖

圖7中記錄了數(shù)值實(shí)例在區(qū)域[-3,3]上搜索到的解的情況，可以看出Newton流線法求解半線性橢圓方程的多解，可以搜索出全部解的概率大約是99.9%，但此類多解計(jì)算問(wèn)題計(jì)算量很大﹒上例中取8個(gè)基，隨機(jī)投入35 000個(gè)初始點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)迭代20次，對(duì)于系數(shù)方程式(11)要計(jì)算74.48× 10個(gè)積分﹒由于基的選取，迭代的步數(shù)，取點(diǎn)的個(gè)數(shù)不同而導(dǎo)致計(jì)算量大小各異，基取得越多計(jì)算量越大，此算法若采用并行計(jì)算可一定程度上提高解題的效率﹒

[1]CHOI Y S, MCKENNA P J. A mountain pass method for the numerical solutions of semilinear elliptic problems[J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods amp; Applications, 1993, 20(4): 417-437.

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[3]LI Y X, ZHOU J X. A minimax method for finding multiple critical points and its applications to semilinear PDEs[J]. Siam Journal on Scientific Computing, 2001, 23(3): 840-865.

[4]陳傳淼, 謝資清. 非線性微分方程多解計(jì)算的搜索延拓法[M].北京: 科學(xué)出版社, 2005.

[5]陳傳淼. 科學(xué)計(jì)算概論[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2007.

[6]WANG Z Q. On a superlinear elliptic equation[J]. Annales De L Institut Henri Poincare Non Linear Analysis, 1991, 8(1): 43-57.

[7]李慶揚(yáng), 莫孜中, 祁力群. 非線性方程組的數(shù)值解法[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1999.

(責(zé)任編校：龔倫峰)

Newton Flow Method for Solving Multiple Solutions of Semi-Linear Elliptic Equations

LI Xiayun1, XIONG Peiying1, CHEN Chuanmiao2
(1. College of Science, Hunan City University, Yiyang, Hunan 413000, China; 2. College of Mathematics and Computer Science, Hunan Normal University, Changsha, Hunan 410081, China)

To solve the multiple problem of the semi-linear elliptic equation, on the basis of searching the theory of extension method, the Newton flow equation is used to calculate the target system, and then the new Newton flow-line method is proposed, the exponential convergence is proved, and its algorithm is given, if it puts into a large number of the stochastic initial point, which can obtain all solutions of the semi-linear elliptic equation. Finally, its efficiency is proved by the multiple value experiment of cubic nonlinear equation in square domain.

nonlinear; multiple solutions; Newton flow-line method; central field

O241.7；O241.81

A

10.3969/j.issn.1672-7304.2017.05.0010

1672–7304(2017)05–0046–05

2017-08-09

湖南省教育廳科研項(xiàng)目(15C0243)

李夏云(1972- )，女，湖南益陽(yáng)人，副教授，碩士，主要從事數(shù)值計(jì)算研究﹒E-mail: 1270003202@qq.com