何敏梅，劉興祥，郭 萍

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 陜西 延安 716000)

4k階連元幻方的函數(shù)構(gòu)造法

何敏梅，劉興祥，郭 萍

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 陜西 延安 716000)

利用幻陣和函數(shù)的基本概念,將函數(shù)和幻方結(jié)合起來,采用函數(shù)方法構(gòu)造出4k階連元幻方及其特殊形式始元幻方,并給出證明。

幻方;連元幻方;函數(shù);構(gòu)造方法

method

函數(shù)作為代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個重要分支吸引了較多的研究者,并且產(chǎn)生了相當(dāng)豐富的研究成果。關(guān)于幻方的研究成果目前較多,尤其是幻方的構(gòu)造,現(xiàn)已有多種方法[1-8]。本文主要針對4k階連元幻方,在充分掌握幻方定義之后運用函數(shù)方法構(gòu)造4k階連元幻方和始元幻方。

1 預(yù)備知識

定義1[9]設(shè)F是數(shù)域。

1) 矩陣A=aijm×n∈Fm×n,如果矩陣A滿足

(1)

則稱矩陣A為數(shù)域F上的m×n階行和幻陣，并稱Sr為m×n階行和幻陣A的行幻和。

2) 矩陣A=aijm×n∈Fm×n,如果矩陣A滿足

(2)

則稱矩陣A為數(shù)域F上的m×n階列和幻陣，并稱Sc為m×n階列和幻陣A的列幻和。

3) 矩陣A=(aij)m×n∈Fm×n,如果矩陣A滿足

(3)

(4)

則稱矩陣A為數(shù)域F上的m×n階行列和幻陣，并稱Sr為m×n階行列和幻陣A的行幻和，Sc為m×n階行列和幻陣A的列幻和。

4) 如果矩陣A=(aij)m×m∈Fm×m,矩陣A滿足

(5)

(6)

③Sr=Sc=S

(7)

則稱矩陣A數(shù)域為F上的m階弱和幻方，并稱S為m階弱和幻方A的幻和。

5) 矩陣A=aijm×m∈Fm×m,如果矩陣A滿足

(8)

(9)

(10)

則稱矩陣A為數(shù)域F上的m階和幻方,并稱S為m階和幻方A的幻和。

定義2[10]矩陣A=(aij)m×m∈{a+1,a+2,…,a+m2}m×m,a∈Z,如果矩陣A滿足

(11)

(12)

(13)

④aij≠akl(i≠k或j≠l,i,j,k,l=1,2,…,m)

(14)

則稱矩陣A為數(shù)域F上的m階連元和幻方，并稱S為m階連元和幻方A的幻和。

定義3[10]矩陣A=aijm×m∈{1,2,…,m2}m×m,如果矩陣A滿足

(15)

(16)

(17)

④aij≠akl(i≠k或j≠l,i,j,k,l=1,2,…,m)

(18)

則稱矩陣A為數(shù)域F上的m階始元和幻方,并稱S為m階始元和幻方A的幻和。

性質(zhì)1[11]設(shè)F是數(shù)域,矩陣A,B∈Fm×n,?k,l∈F,若A為m×n階行和幻陣,B為m×n階和幻陣,且幻和分別為sA,sB,則矩陣kA+lB是m×n階和幻陣,且幻和為ksA+lsB。

2 主要結(jié)論

證明先證D滿足幻方的條件

1) 當(dāng)n=4k時由定理知構(gòu)造出的矩陣

(19)

觀察知：矩陣A的各行、各列、主對角線和副對角線的元素都是由1,2,3,…,4k-2,4k-1,4k構(gòu)成。

矩陣A中：

(20)

(21)

(22)

④Sr=Sc=主對角線和=副對角線和

則稱矩陣A為n階和幻方,簡稱為n階幻方。

2) 構(gòu)造出矩陣

(23)

觀察知：矩陣B的各行、各列、主對角線和副對角線的元素都是由0,1,2,3,…,4k-2,4k-1構(gòu)成。

矩陣B中：

(24)

(25)

(26)

④Sr=Sc=主對角線和=副對角線和。

則稱矩陣B為n階和幻方，簡稱為n階幻方。

根據(jù)幻方的線性性質(zhì)可知C=A+nB為n階和幻方，簡稱為n階幻方。

3) 證明矩陣C中的元素是{1,2,…,n2}的全排列。

因為矩陣A中的元素1≤aij≤n，矩陣B中的元素0≤bij≤n-1，則矩陣nB中的元素0≤nbij≤n2-n。所以，矩陣C中的元素1≤cij≤n2，又由始元幻方的定義知?cij≠ckl,所以矩陣C中的元素是{1,2,…,n2} 的全排列。綜上所述，矩陣C是一個n階始元幻方。

證明先證D滿足幻方的條件，其中1)、2)與定理1中1)、2)證明同理。

3)

顯然矩陣C為n階和幻方，簡稱為n階幻方。

根據(jù)幻方的線性性質(zhì)可知D=A+nB+C為n階和幻方，簡稱為n階幻方。

4) 下面再證明矩陣D中的元素是{n+1,n+2, …,n+n2}的全排列。

因為矩陣A中的元素1≤aij≤n，矩陣B中的元素1≤bij≤n,則矩陣nB中的元素n≤nbij≤n2，矩陣C中的元素cij=n。所以，矩陣D中的元素n+1≤dij≤n+n2，又由連元幻方的定義知?dij≠dkl，所以矩陣D中的元素是{n+1,n+2, …,n+n2}的全排列。綜上所述，矩陣D是一個n階連元幻方。

3 結(jié)束語

本文在充分掌握了幻方及函數(shù)定義之后運用矩陣方法構(gòu)造4k階連元幻方以及始元幻方,其他相關(guān)結(jié)論有待進(jìn)一步探索。

[1] 劉興祥,羅云庵.幻方階數(shù)的降與升[J].延安大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1994,13(3):88-92.

[2] 劉興祥,羅云庵.幻方構(gòu)造的疊合法[J].延安大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1997,16(2):24-28.

[3] 林淑飛,朱艷偉.構(gòu)造任意階幻方的一種新方法[J].云南民族大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2008,17(1):40-44.

[4] 詹森,王輝豐.關(guān)于構(gòu)造高階幻方的新方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2009,22(3):250-254.

[5] 詹森,王輝豐.構(gòu)造單偶數(shù)階幻方的四步法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,26(2):145-151.

[6] 曹燕飛,劉興祥.構(gòu)造始元幻方的廣義Kronecker積法[J].河南科學(xué),2016,34(7):1022-1025.

[7] 劉興祥,曹燕飛.4k階拉丁幻方的構(gòu)造方法[J].河南科學(xué),2016,34(11):1777-1780.

[8] LIU X X.Generalized Kronecker Product and Its Application[J].Journal of Mathematics Research,2009,1(1):92-97.

[9] 劉興祥,羅云庵.幻方階數(shù)的降與升[J].延安大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1994,13(3):88-92.

[10] 強(qiáng)春晨.始元幻陣廣義Kronecker積的保持性[D].延安:延安大學(xué)，2014.

[11] 劉興祥.幻方構(gòu)造的疊合法[J].延安大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1997,16(1):24-28.

(責(zé)任編輯陳 艷)

TheFunctionConstructionMethodoftheConjunctionMagicSquareMatrix

HE Minmei, LIU Xingxiang, GUO Ping

(College of Mathematics and Computer Science, Yan’an University, Yan’an 716000, China)

Using the basic concept of the function and the magic square matrix.Combine both of them construct the conjunction magic square matrix and the beginning of the magic square matrix by the method of function(n=4k). The prove of them were provided.

the magic square matrix;the conjunction magic square matrix;function;construction

2017-06-14

國家自然科學(xué)項目基金資助項目 (61403298)；延安大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計劃項目(YCX201719)

何敏梅(1991—)，女，陜西寶雞人，碩士研究生，主要從事矩陣?yán)碚撗芯?，E-mail:472454785@qq.com；劉興祥(1964—),男，陜西渭南人，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事矩陣?yán)碚撗芯? 郭萍(1994—)，女，陜西渭南人，碩士研究生，主要從事矩陣?yán)碚撗芯俊?/p>

何敏梅，劉興祥，郭萍.4k階連元幻方的函數(shù)構(gòu)造法[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué))，2017(11):211-216.

formatHE Minmei,LIU Xingxiang,GUO Ping.The Function Construction Method of the Conjunction Magic Square Matrix [J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(11):211-216.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.11.032

O151.21

A

1674-8425(2017)11-0211-06