賈子源 楊玉婷 季立宇 杭志宏

(蘇州大學(xué)物理與光電.能源學(xué)部,蘇州納米科技協(xié)同創(chuàng)新中心,蘇州 215006)

類石墨烯復(fù)雜晶胞光子晶體中的確定性界面態(tài)?

賈子源 楊玉婷 季立宇 杭志宏?

(蘇州大學(xué)物理與光電.能源學(xué)部,蘇州納米科技協(xié)同創(chuàng)新中心,蘇州 215006)

(2017年7月24日收到;2017年8月13日收到修改稿)

拓?fù)浣^緣體是當(dāng)前凝聚態(tài)物理領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問(wèn)題.利用石墨烯材料的特殊能帶特性來(lái)實(shí)現(xiàn)拓?fù)漭斶\(yùn)特性在設(shè)計(jì)下一代電子和能谷電子器件方面具有較廣泛的應(yīng)用前景.基于光子與電子的類比,利用光子拓?fù)洳牧蠈?shí)現(xiàn)了確定性界面態(tài);構(gòu)建了具有C6v對(duì)稱性的類似石墨烯結(jié)構(gòu)的的光子晶體復(fù)雜晶格;通過(guò)多種方式降低晶格對(duì)稱性來(lái)獲得具有C3v,C3,C2v和C2對(duì)稱的晶體,從而打破能谷簡(jiǎn)并實(shí)現(xiàn)全光子帶隙結(jié)構(gòu);將體拓?fù)湫再|(zhì)不同的兩種光子晶體擺放在一起,在此具有反轉(zhuǎn)體能帶性質(zhì)的界面上,實(shí)現(xiàn)了具有單向傳輸特性的拓?fù)浯_定性界面態(tài)的傳輸.利用光子晶體結(jié)構(gòu)的容易加工性,可以簡(jiǎn)便地調(diào)控拓?fù)浣缑鎽B(tài)控制光的傳播,可為未來(lái)光拓?fù)浣^緣體的研究提供良好的平臺(tái).

光子晶體,拓?fù)?谷自由度,界面態(tài)

1 引 言

拓?fù)鋵W(xué)是近代發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)概念,而隨著凝聚態(tài)物理的發(fā)展,人們發(fā)現(xiàn)了一類具有相變、非平庸特性的新型材料——拓?fù)浣^緣體.早在1980年,Klitzing發(fā)現(xiàn)了整數(shù)量子霍爾效應(yīng)[1],此系統(tǒng)的特性完全符合拓?fù)浣^緣體的概念.隨后Thouless-Kohmoto-Nightingale-den Nijs關(guān)系[2]指出其中量子化的根源是由于拓?fù)洳蛔兞康拇嬖?更是證明了量子化整數(shù)對(duì)應(yīng)的是非零陳數(shù).在此系統(tǒng)中出現(xiàn)了一種新的物態(tài)拓?fù)鋺B(tài),在其中電子輸運(yùn)的表現(xiàn)為完全的背散射抑制和單向傳輸.不同于需要外加磁場(chǎng)破壞時(shí)間反演對(duì)稱性來(lái)實(shí)現(xiàn)整數(shù)量子霍爾效應(yīng),Kane和Mele[3]最早提出在低能量級(jí)的單層石墨烯中存在自旋軌道耦合導(dǎo)致的量子自旋霍爾效應(yīng),即在石墨烯材料邊界存在一對(duì)共軛且自旋方向相反的無(wú)能隙拓?fù)溥吔鐟B(tài).我們已經(jīng)知道以上觀測(cè)到的量子化霍爾效應(yīng)的根本原因是材料的拓?fù)涮匦?與具體波動(dòng)方程無(wú)關(guān).從布洛赫定理和能帶性質(zhì)來(lái)看,光子可與電子的性質(zhì)相比擬,那么光學(xué)領(lǐng)域也可能實(shí)現(xiàn)類似的光學(xué)拓?fù)浣^緣體.

石墨烯是從石墨中剝離出來(lái)的、單層碳原子構(gòu)成的二維晶體結(jié)構(gòu)[4].因其優(yōu)越的導(dǎo)電導(dǎo)熱高透明度等性能,石墨烯廣泛地應(yīng)用在很多領(lǐng)域.而且石墨烯具有很多同素異形體結(jié)構(gòu),如具有更加復(fù)雜晶胞結(jié)構(gòu)的石墨炔材料.受石墨烯材料具有的許多新奇物理性質(zhì)的啟發(fā),人們開始研究與石墨烯具有相同對(duì)稱性、相似能帶結(jié)構(gòu)的光子晶體(photonic crystal,PC).構(gòu)成光子晶體的介電材料具有不同介電常數(shù),它在空間中按一定周期排列[5,6].已經(jīng)證明可以利用光子晶體來(lái)操縱光的傳播行為[7,8],如光子晶體波導(dǎo)[9,10].隨著光子晶體能帶理論的研究,尤其是設(shè)計(jì)和實(shí)驗(yàn)方法的發(fā)展,將拓?fù)涞母拍钜牍鈱W(xué)系統(tǒng)特別是用光子晶體實(shí)現(xiàn)拓?fù)浣^緣體,將會(huì)不斷拓寬人們構(gòu)造新型元器件的方法和思路.

迄今已經(jīng)開展了許多波導(dǎo)傳輸性質(zhì)的研究工作.其中一方面是利用光子晶體界面態(tài)去控制光的傳輸[11].已經(jīng)研究的構(gòu)建光子晶體界面態(tài)的方法有:構(gòu)建光子晶體異質(zhì)結(jié)構(gòu)[12,13]、修飾光子晶體表面[14,15]、堆積擁有共同帶隙的光子晶體等[16].但是這些方法并不能保證界面態(tài)一定會(huì)產(chǎn)生,需要仔細(xì)地調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)才會(huì)產(chǎn)生界面態(tài).不同于之前的研究成果,香港科技大學(xué)Chan課題組[17,18]利用一種新的物理機(jī)理在一維和二維光子晶體中實(shí)現(xiàn)了確定性界面態(tài),即通過(guò)操控光子晶體結(jié)構(gòu)參數(shù),簡(jiǎn)并的狄拉克錐色散會(huì)破缺,從而出現(xiàn)帶隙,能帶性質(zhì)發(fā)生拓?fù)湎嘧?構(gòu)成界面的這兩種光子晶體的體能帶拓?fù)湫再|(zhì)反轉(zhuǎn),則在兩者共同帶隙處就一定會(huì)存在界面態(tài).而且微波段實(shí)驗(yàn)已經(jīng)在二維正方晶格光子晶體中證明了確定性界面態(tài)的存在[19,20].并且還可以同時(shí)在多個(gè)頻段實(shí)現(xiàn)界面態(tài),基于此性質(zhì)可以用作多帶波導(dǎo)的信息傳輸,甚至是將應(yīng)用拓展于光頻段實(shí)現(xiàn)波分復(fù)用器[21].

然而以往的研究工作中,主要研究確定性界面態(tài)存在于光子晶體簡(jiǎn)單晶格結(jié)構(gòu)中如正方晶格和三角晶格,卻沒(méi)有關(guān)于復(fù)雜晶胞的探討.在本文中,類似于石墨烯材料的復(fù)雜晶胞結(jié)構(gòu),我們構(gòu)建了具有復(fù)雜晶格的光子晶體,嘗試研究復(fù)雜晶胞所具備的多種對(duì)稱性破缺的可能性.比之類石墨烯的的碳同素異形體在實(shí)驗(yàn)上極難獲取,我們嘗試構(gòu)造的復(fù)雜晶胞光子晶體在實(shí)驗(yàn)上便于實(shí)現(xiàn),而且可以通過(guò)調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)和對(duì)稱性來(lái)操縱色散關(guān)系.我們通過(guò)四種方式打破光子晶體結(jié)構(gòu)的C6v對(duì)稱性,破缺能谷簡(jiǎn)并的狄拉克點(diǎn)構(gòu)建具有反轉(zhuǎn)體能帶性質(zhì)的兩個(gè)光子晶體;基于界面態(tài)存在的拓?fù)錂C(jī)理,在光子晶體復(fù)雜晶胞中實(shí)現(xiàn)確定性界面態(tài).本文的研究工作拓寬了操控光子晶體能帶實(shí)現(xiàn)拓?fù)浣缑鎽B(tài)的思路和方法,這些方法簡(jiǎn)單易行,而且可以為光波導(dǎo)應(yīng)用方面提供更廣闊的平臺(tái).

2 類石墨烯復(fù)雜晶胞

人們對(duì)電子的兩個(gè)內(nèi)稟自由度電荷和自旋的研究促進(jìn)了自旋電子學(xué)的成熟發(fā)展和廣泛應(yīng)用.隨著石墨烯材料的發(fā)現(xiàn)和研究,科研工作者操控電子新的自由度能谷,則促進(jìn)了能谷電子學(xué)(valleytronics)的理論和應(yīng)用探索[22,23].能谷電子學(xué)旨在利用能谷作為載體在現(xiàn)代器件中加工處理信息.許多有趣的物理性質(zhì)已經(jīng)在理論上得到證明并在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn),如谷分離(valley filter)[24]、谷霍爾效應(yīng)(valley Hall e ff ect)[25,26].石墨烯材料具有蜂窩狀晶格,一個(gè)原胞結(jié)構(gòu)由兩個(gè)碳原子構(gòu)成,具有C6v對(duì)稱性.同時(shí)石墨烯具有許多同素異形體,即具有更加復(fù)雜多樣的晶胞結(jié)構(gòu)[27].類石墨烯復(fù)雜晶胞就是用若干碳原子簇代替原胞上的一個(gè)原子.石墨烯材料優(yōu)異的應(yīng)用特性源于其特殊的能帶性質(zhì).在動(dòng)量空間中存在的一對(duì)不等價(jià)的能量局部極值叫做能谷,表現(xiàn)為在第一布里淵區(qū)六個(gè)角處(K和K′點(diǎn))石墨烯的能帶簡(jiǎn)并在一起,簡(jiǎn)并點(diǎn)稱為狄拉克點(diǎn)(Dirac point).K和K′點(diǎn)的能谷是不等價(jià)的,其波函數(shù)滿足時(shí)間反演對(duì)稱性.兩者作為能谷自由度的兩個(gè)態(tài)可以像電子自旋向上、向下態(tài)一樣作為信息輸運(yùn)的載體,被稱作谷贗自旋.我們同樣考慮二維光子晶體.蜂巢晶格中的每個(gè)碳原子被一根無(wú)限高的介質(zhì)柱取代,此種光子晶體也具有前述的類似能帶性質(zhì);再用三個(gè)介質(zhì)圓柱替代原本的一個(gè)圓柱構(gòu)建類石墨烯的復(fù)雜晶胞結(jié)構(gòu).對(duì)比于石墨烯結(jié)構(gòu)在可調(diào)控性方面的局限性,此復(fù)雜晶胞光子晶體在對(duì)稱性方面具有更多可利用的自由度,并且更加容易操縱產(chǎn)生界面態(tài)色散關(guān)系.

二維光子晶體中確定性界面態(tài)的產(chǎn)生與界面通道兩邊結(jié)構(gòu)的不同拓?fù)湫再|(zhì)有關(guān).具體體現(xiàn)為如果構(gòu)建此界面的兩側(cè)光子晶體體能帶性質(zhì)反轉(zhuǎn),那么就一定存在確定性界面態(tài).以最簡(jiǎn)單的二維正方晶格光子晶體為例(如圖1(a)),通過(guò)調(diào)控有效介電常數(shù)、晶格常數(shù)和介質(zhì)柱半徑,可以讓能帶在布里淵區(qū)中心Γ點(diǎn)發(fā)生簡(jiǎn)并,這就是通常所說(shuō)的偶然簡(jiǎn)并[28].簡(jiǎn)并的能帶色散滿足線性關(guān)系,它和電子體系中的狄拉克方程具有對(duì)應(yīng)關(guān)系.如此便在光子晶體系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了類似石墨烯結(jié)構(gòu)中的狄拉克錐.通過(guò)繼續(xù)調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)則可以打開簡(jiǎn)并的能帶獲得帶隙.如圖1(b)中,在光子晶體1(PC1)的能帶示意圖中,三條能帶在在Γ點(diǎn)的本征模式分布依次為類似電子系統(tǒng)的s,py,px軌道.然而當(dāng)我們將結(jié)構(gòu)調(diào)整為光子晶體2(PC2),它的體能帶結(jié)構(gòu)則會(huì)與PC1發(fā)生反轉(zhuǎn),如圖1(c)所示.三條能帶中下面簡(jiǎn)并的兩條在Γ點(diǎn)為本征模式px,py,而最上面一條為s模式.因此PC1與PC2能帶性質(zhì)反轉(zhuǎn),在兩者反轉(zhuǎn)能帶共同帶隙中則一定存在界面態(tài).此界面態(tài)的存在與否與光子晶體的體性質(zhì)有關(guān),只需將不同體性質(zhì)光子晶體擺放一起就一定存在,因此稱為確定性界面態(tài).圖1中的能帶結(jié)構(gòu)均為示意圖,構(gòu)成此系統(tǒng)的PC1與PC2的參數(shù)以及界面態(tài)具體傳播性質(zhì)可以參考文獻(xiàn)[19],這里不再詳述.

圖1 (a)光子晶體在布里淵區(qū)中心的狄拉克錐色散;(b),(c)兩個(gè)體能帶反轉(zhuǎn)的光子晶體Fig.1.(a)Dirac cone dispersion of PC around the center of Brillouin zone center;(b),(c)two inverted band structure of PC1 and PC2.

在本文工作中,基于確定性界面態(tài)存在的物理機(jī)理,構(gòu)建擁有更多自由度的復(fù)雜晶胞光子晶體,并實(shí)現(xiàn)拓?fù)浣缑鎽B(tài).圖2(a)為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的蜂窩狀光子晶體示意圖,深藍(lán)色實(shí)心圓表示介質(zhì)柱,淺藍(lán)色的區(qū)域?yàn)楸尘安牧?在紅色實(shí)線標(biāo)示的六角晶胞中可以清晰地看到三個(gè)介質(zhì)圓柱(用綠色凸顯)簇?fù)碓谝黄饦?gòu)成正三角形(綠色實(shí)線),依然具有C6v對(duì)稱性,此即為三個(gè)介質(zhì)柱代替一個(gè)介質(zhì)柱構(gòu)成的復(fù)雜晶胞光子晶體.其中相對(duì)介電常數(shù)ε=7.5的介質(zhì)圓柱嵌在背景為空氣的材料中.圖中紅色菱形虛線框內(nèi)的原胞結(jié)構(gòu),晶格常數(shù)為a,介質(zhì)柱的半徑r=0.1a,到三角形中心的距離為h=0.16a.用COMSOL Multiphysics仿真軟件計(jì)算此結(jié)構(gòu)的TM(transverse magnetic)模式能帶,即電場(chǎng)Ez沿著介質(zhì)柱z軸方向.計(jì)算的能帶圖見圖2(b),第一和第二條能帶在布里淵區(qū)(插圖中六角形示意圖)中K和K′能谷簡(jiǎn)并,簡(jiǎn)并點(diǎn)歸一化頻率為0.362c/a(c為真空中光速).由此可見雖然原胞結(jié)構(gòu)變復(fù)雜,但是保持對(duì)稱性不變光子晶體的能帶性質(zhì)依然不變.

圖2 (a)復(fù)雜光子晶體結(jié)構(gòu)示意圖;(b)光子晶體能帶結(jié)構(gòu)Fig.2.(a)The schematic of the complex lattice PC;(b)PC’s band diagram.

3 C3v對(duì)稱性光子晶體中的確定性界面態(tài)

通過(guò)打破光子晶體的C6v對(duì)稱性,可以很容易破缺K和K′點(diǎn)的能谷簡(jiǎn)并從而形成帶隙.以圖2原胞中三個(gè)介質(zhì)柱構(gòu)成的正三角形(灰色區(qū)域)中心為基點(diǎn),在分別對(duì)每個(gè)三角形拉伸和壓縮柱子之間的距離,調(diào)控后得到結(jié)構(gòu)A,如圖3(a)所示.光子晶體A原胞中左下角三個(gè)介質(zhì)圓柱拉伸后到中心的距離為h1=0.18a,而右上角三個(gè)柱子壓縮后到中心的距離為h2=0.12a.通過(guò)這種方式實(shí)現(xiàn)了具有C3v對(duì)稱性的光子晶體.從圖3(b)中可以看到在第一條和第二條能帶中間出現(xiàn)完全帶隙,原本在布里淵邊界K點(diǎn)的簡(jiǎn)并變成帶隙的下限K1和上限K2點(diǎn).同時(shí)K1和K2點(diǎn)的性質(zhì)是不同的,如圖3(c)的相位分布.兩者位相分布的手征性是相反的,前者是沿逆時(shí)針?lè)较?紫色箭頭所示)相位遞減而后者是順時(shí)針?lè)较?綠箭頭所示)相位遞減,旋轉(zhuǎn)一周回復(fù)初始相位,對(duì)應(yīng)角動(dòng)量m=1和m=?1.而且相位奇點(diǎn)的位置也不同,分別位于拉伸的柱子中心(K1)和壓縮的柱子中心(K2).將拉伸和壓縮柱子到中心距離的方式互換,得到光子晶體結(jié)構(gòu)B,能帶如圖4(a),它的體能帶性質(zhì)與結(jié)構(gòu)A的能帶是反轉(zhuǎn)的.可以從圖4(b)K點(diǎn)的相位手征性上很清晰地看到,K1(K2)點(diǎn)相位以順(逆)時(shí)針?lè)较蜻f減.

圖3 (a)兩個(gè)相反結(jié)構(gòu)C3v對(duì)稱的光子晶體結(jié)構(gòu)示意圖;(b)光子晶體結(jié)構(gòu)A全帶隙能帶;(c)在K1和K2點(diǎn)相反手征性的相位分布Fig.3.(a)The schematic of two inverted PC structures with C3vsymmetry;(b)band diagram with complete band gap for photonic crystal structure A;(d),(e)the inverted chirality of phase distributions at K1 and K2points.

圖4 (a)光子晶體結(jié)構(gòu)B的全帶隙能帶;(b)在K1和K2點(diǎn)相反手征性的相位分布Fig.4.(a)Band diagram with complete band gap for photonic crystal structure B;(b)the inverted chirality of phase distributions at K1and K2points.

可以看到光子晶體A和B的體能帶性質(zhì)類似,在布里淵區(qū)邊界K點(diǎn)附近有完全帶隙,但此帶隙的上下帶邊的能帶手性正好反轉(zhuǎn),即在此帶隙光子晶體A和B的體拓?fù)湫再|(zhì)相反.可以預(yù)期,如果將光子晶體A和B擺放在一起,在兩者的界面就會(huì)有拓?fù)浯_定性界面態(tài).我們用超原胞的方法計(jì)算了光子晶體A和B沿著kx方向的投影能帶來(lái)找尋此拓?fù)浯_定性界面態(tài).計(jì)算時(shí)在界面兩邊各用10個(gè)光子晶體原胞構(gòu)成一個(gè)超原胞,周期性邊界條件應(yīng)用于光子晶體x和y方向.能帶結(jié)構(gòu)如圖5(a)所示,灰色部分是光子晶體的體能帶,綠色和紫色線部分表示界面態(tài)的色散關(guān)系.能帶一部分是在兩個(gè)光子晶體共同帶隙處而另有一部分延伸到體帶里.從色散曲線的斜率可以看出在界面處存在兩個(gè)相反方向傳輸?shù)耐負(fù)鋺B(tài).而且兩個(gè)態(tài)的自旋極化方向相反,分別為自旋向上(紫色線)和自旋向下(綠色線).為了更形象地表征界面態(tài)的本征模態(tài),圖5(b)展示了頻率為0.384c/a同時(shí)波矢kx= ?0.38(2π/a)的Ez本征場(chǎng)分布(圖5(a)中黑色五角星處).從圖中可以很明顯地看到場(chǎng)局域在兩個(gè)光子晶體界面處,而向兩邊衰減很快.

利用光子晶體拓?fù)鋺B(tài)的傳輸性質(zhì),可以設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)界面態(tài)傳輸波導(dǎo).我們用有限元模擬的方法計(jì)算光子晶體界面態(tài)的Ez電場(chǎng)分布,如圖6.模擬的上下區(qū)域分別由光子晶體結(jié)構(gòu)A和B構(gòu)成,并包含24×16個(gè)復(fù)合晶胞結(jié)構(gòu).區(qū)域四周的邊界條件用完美匹配層,這樣可以避免來(lái)自邊界的散射.需要用具有手征性的光學(xué)激發(fā)源才能激發(fā)單向的界面態(tài).我們用四個(gè)點(diǎn)源陣列(2×2)構(gòu)建手征性激發(fā)源[29].其中,四個(gè)點(diǎn)源發(fā)射的TM波波函數(shù)的初始相位按照不同旋轉(zhuǎn)方向依次遞減.初始相位按照逆(順)時(shí)針?lè)较蜻f減的激發(fā)源和光學(xué)渦旋指數(shù)即拓?fù)潆姾蓴?shù)m=1(m=?1)的電場(chǎng)分布一致.將拓?fù)潆姾蓴?shù)為m=1的手征性源放在光子晶體A和B界面中間,位置如圖6中白色圓所示,并且光子晶體A置于結(jié)構(gòu)B的下方.在源發(fā)射頻率為0.384c/a時(shí)激發(fā)的單向傳輸界面態(tài)場(chǎng)分布如圖6所示,可以觀察到激發(fā)的拓?fù)浣缑鎽B(tài)沿著光子晶體結(jié)構(gòu)A和B的界面通道向左(圖中白色箭頭方向)單向傳輸.從圖5的投影能帶中可以看到,在頻率為0.384c/a時(shí),界面態(tài)色散能帶的頻率和體能帶會(huì)有部分重疊.所以在此時(shí),界面在傳播的過(guò)程中會(huì)激發(fā)一些體的電場(chǎng)分布.但是由于這些體電場(chǎng)分布相較于界面局域場(chǎng)非常弱,因而并不能對(duì)拓?fù)鋺B(tài)的傳輸與應(yīng)用造成很大的影響.如果用拓?fù)潆姾蔀閙=?1的源則可以激發(fā)向右傳播的拓?fù)鋺B(tài).在兩個(gè)光子晶體界面通道傳輸?shù)慕缑鎽B(tài)是受拓?fù)浔Ｗo(hù)的.界面態(tài)具有傳輸單向特性且不受傳播路徑上可能存在的雜質(zhì)的影響.即使光子晶體材料有雜質(zhì)不純凈或者是加工制備不完美的情況,拓?fù)鋺B(tài)依然能夠很好地在界面?zhèn)鬏敹粫?huì)產(chǎn)生背散射,因此能夠?qū)崿F(xiàn)拓?fù)湫畔⑤斶\(yùn)從而制備光學(xué)器件.這在光學(xué)波導(dǎo)方面將具有很大的應(yīng)用前景.

圖5 (a)光子晶體投影能帶;(b)界面態(tài)Ez本征場(chǎng)分布Fig.5.(a)The projected band structure of two PCs;(b)the Ezeigen field distribution of interface state.

圖6 模擬的光子晶體單向傳輸界面態(tài)Ez電場(chǎng)分布Fig.6.The simulated Ez field distribution of topological interface state with unidirectional propagation for two PCs.

4 C3對(duì)稱性光子晶體中的確定性界面態(tài)

在原子尺度上操控石墨烯實(shí)現(xiàn)拓?fù)浣缑鎽B(tài)對(duì)技術(shù)和條件有一定要求.而人工介質(zhì)材料微結(jié)構(gòu)單元構(gòu)建的光子晶體則更容易操作和可調(diào).并且光子晶體可調(diào)控的參數(shù)有更多的自由度,比如材料的介電常數(shù)、晶格常數(shù)、占空比等.通過(guò)調(diào)控結(jié)構(gòu)還可獲得一種C3對(duì)稱性的光子晶體,即分別將圖3中的結(jié)構(gòu)A和B圍繞三角形中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θ=15?,如圖7(a)所示.通過(guò)這種打破晶格對(duì)稱性的方式依然可以破缺能帶結(jié)構(gòu)中K和K′狄拉克點(diǎn)簡(jiǎn)并.圖7(b)和圖7(c)中兩個(gè)能帶在K點(diǎn)其性質(zhì)反轉(zhuǎn).調(diào)節(jié)的兩個(gè)結(jié)構(gòu)之間有共同帶隙,經(jīng)過(guò)投影能帶的計(jì)算(計(jì)算方式同圖5),在兩個(gè)光子晶體界面處依然存在確定性界面態(tài),如圖7(d)所示.圖7(e)中五角星標(biāo)示的是在歸一化頻率為0.384c/a、波矢kx= ?0.4(2π/a)時(shí)的界面態(tài)Ez本征場(chǎng)分布.利用手征性源激發(fā),基于此結(jié)構(gòu)的界面態(tài)色散性質(zhì),依然可以像圖6一樣設(shè)計(jì)單向拓?fù)鋺B(tài)傳輸波導(dǎo),從而實(shí)現(xiàn)信息的輸運(yùn)與傳播.但通過(guò)調(diào)節(jié)介質(zhì)柱簇的旋轉(zhuǎn)角度,可以調(diào)控此拓?fù)浣缑鎽B(tài)的色散關(guān)系.

圖7 (a)具有C3對(duì)稱的兩個(gè)光子晶體結(jié)構(gòu)示意圖;(b),(c)光子晶體能帶結(jié)構(gòu);(d)投影能帶;(e)界面態(tài)Ez本征場(chǎng)分布Fig.7.(a)The schematics of two PCs with C3symmetry;(b),(c)band diagrams of PCs;(d)the projected band structure;(e)the Ezeigen field distribution of interface state.

5 C2v和C2對(duì)稱性光子晶體中分別實(shí)現(xiàn)確定性界面態(tài)

圖8 (a)具有C2v對(duì)稱性的兩個(gè)光子晶體C和D示意圖;(b)光子晶體C能帶結(jié)構(gòu);(c)K1和K2點(diǎn)本征場(chǎng)分布Fig.8.(a)The schematics of two PCs with C2vsymmetry;(b)band diagram of PC with structure C;(c)the eigen field distribution at K1and K2points.

進(jìn)一步打破光子晶體對(duì)稱性,還可以用具有C2v對(duì)稱的光子晶體中實(shí)現(xiàn)確定性界面態(tài).結(jié)構(gòu)如圖8(a)所示,光子晶體介質(zhì)柱半徑r=0.1a,相對(duì)介電常數(shù)ε=7.5.將原胞中原本構(gòu)成正三角形底邊處的兩個(gè)介質(zhì)圓柱,沿y方向(箭頭所示方向)增加距離d1=0.104a,而三角形頂點(diǎn)處圓柱依然保持到中心的距離h=0.16a不變,三個(gè)介質(zhì)柱重新形成等腰三角形,從而得到結(jié)構(gòu)C.結(jié)構(gòu)C的能帶結(jié)構(gòu)如圖8(b),原本K點(diǎn)簡(jiǎn)并的狄拉克點(diǎn)被打破因而出現(xiàn)完全帶隙.與之相反的調(diào)控得到結(jié)構(gòu)D,即只沿y方向減小底邊處的介質(zhì)柱的距離d2=0.08a,仍然可以破缺狄拉克點(diǎn),如圖9(a)所示能帶結(jié)構(gòu).光子晶體C和D的拓?fù)湫再|(zhì)依然是不同的,兩者能帶反轉(zhuǎn).從圖8和圖9(c)中所示的K1和K2點(diǎn)電場(chǎng)振幅本征場(chǎng)分布可以很清楚地看到,在這兩點(diǎn)處能帶性質(zhì)是反轉(zhuǎn)的.則兩個(gè)光子晶體共同帶隙處存在確定性界面態(tài),如圖10(a).圖10(b)為波矢kx=0.15(2π/a)、歸一化頻率為0.360c/a的Ez本征場(chǎng)分布.

接著將圖8光子晶體C和D結(jié)構(gòu)的原胞中構(gòu)成兩個(gè)等腰三角形的介質(zhì)柱群以各自三角形中心為原點(diǎn),均順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θ=15?,得到光子晶體E和F,示意圖如圖11(a).計(jì)算的能帶結(jié)構(gòu)如圖11(b)和圖11(c)所示.雖然進(jìn)一步降低了晶格對(duì)稱性,但是光子晶體的拓?fù)湫再|(zhì)保持不變,依然有拓?fù)鋺B(tài)在兩個(gè)能帶反轉(zhuǎn)的光子晶體界面通道處傳輸,如圖11(d).其中五角星標(biāo)記處的波矢kx=0.2(2π/a),頻率為0.361c/a,此點(diǎn)的本征場(chǎng)分布如圖11(e).

圖9 (a)光子晶體D能帶結(jié)構(gòu);(b)K1和K2點(diǎn)本征場(chǎng)分布Fig.9.(a)Band diagram of PC with structure D;(b)the eigen field distribution at K1and K2points.

圖10 (a)光子晶體C和D的投影能帶結(jié)構(gòu);(b)界面態(tài)本征場(chǎng)分布Fig.10.(a)The projected band structure;(b)the Ezeigenif eld distribution of interface state.

圖11 (a)具有C2對(duì)稱性的兩個(gè)光子晶體示意圖;(b),(c)光子晶體能帶結(jié)構(gòu);(d)投影能帶;(e)界面態(tài)Ez本征場(chǎng)分布Fig.11.(a)The schematics of two PCs with C2symmetry;(b),(c)band diagrams of PCs;(d)the projected band structure;(e)the Ezeigen field distribution of interface state.

6 C3v和C2對(duì)稱性光子晶體存在確定性界面態(tài)

值得強(qiáng)調(diào)的是,我們利用復(fù)雜晶胞光子晶體產(chǎn)生的拓?fù)浣缑鎽B(tài),不依賴于破缺的對(duì)稱性方式,只要構(gòu)建兩個(gè)拓?fù)湫再|(zhì)不同即體能帶反轉(zhuǎn)的光子晶體,那么在界面通道就一定會(huì)存在確定性界面態(tài).在具有C3v,C3,C2v和C2對(duì)稱性的這四組光子晶體中,任意將體能帶反轉(zhuǎn)的兩個(gè)光子晶體組建在一起,就會(huì)有界面態(tài)存在.例如C3v對(duì)稱的光子晶體A分別與C2v對(duì)稱的結(jié)構(gòu)D以及C2對(duì)稱的結(jié)構(gòu)F擺放在一起,在共同帶隙處都可以實(shí)現(xiàn)拓?fù)浣缑鎽B(tài).這里以一組光子晶體為例來(lái)證明界面態(tài)的存在.如圖12所示,將光子晶體A和F擺放在一起,這兩者的體能帶是反轉(zhuǎn)的,通過(guò)計(jì)算得到的投影能帶可知存在確定性界面態(tài).這表明光子晶體界面態(tài)不依靠具體結(jié)構(gòu)而取決于體能帶的性質(zhì),這在信息輸運(yùn)方面具有重要的研究意義和價(jià)值,因而具有更加廣闊的應(yīng)用空間.

圖12 (a)光子晶體A和F的原胞結(jié)構(gòu)示意圖;(b)投影能帶Fig.12.(a)The schematics of unit cell for PC A and F;(b)the projected band structure.

7 討 論

用光子晶體構(gòu)建了類石墨烯復(fù)雜晶胞結(jié)構(gòu).通過(guò)多種方式打破蜂窩狀晶格光子晶體的C6v對(duì)稱性,獲得了C3v,C3,C2v和C2對(duì)稱性的光子晶體,從而可以破缺原本簡(jiǎn)并的狄拉克點(diǎn)得到全帶隙的能谷.基于存在確定性界面態(tài)的物理機(jī)理,就是不依賴于破缺光子晶體對(duì)稱性的方式,只取決于界面兩邊兩個(gè)光子晶體拓?fù)湫再|(zhì)不同即體能帶性質(zhì)反轉(zhuǎn).我們用兩個(gè)復(fù)雜晶胞光子晶體構(gòu)建界面通道并實(shí)現(xiàn)了拓?fù)浣缑鎽B(tài).利用拓?fù)鋺B(tài)的缺陷免疫和單向性質(zhì)可以靈活調(diào)控光在晶體內(nèi)部和界面的傳播.相較于石墨烯實(shí)現(xiàn)拓?fù)浣^緣體,利用光子晶體的宏觀特性可以更加直接地在實(shí)驗(yàn)中激發(fā)、探測(cè)光拓?fù)鋺B(tài),從而提供嶄新的光調(diào)控方式.基于界面態(tài)在界面的拓?fù)漭斶\(yùn),還可以為設(shè)計(jì)新型信息傳播器件提供良好的平臺(tái).另外,光子晶體能谷還有更多可調(diào)控的自由度需要去研究與探討.若能夠直接而有效地選擇性激發(fā)不等價(jià)的光子能谷,進(jìn)而方便地探測(cè)和觀察到能谷偏振現(xiàn)象,這將對(duì)拓?fù)漭斶\(yùn)信息具有重大的意義.

感謝蘇州大學(xué)物理與光電.能源學(xué)部蔣建華教授及武漢大學(xué)物理學(xué)院邱春印教授對(duì)本文的有益討論.

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PACS:78.67.Pt,73.20.At,42.70.Qs,61.48.GhDOI:10.7498/aps.66.227802

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11574226),the Natural Science Foundation of Jiangsu Province,China(Grant No.BK20170058),and the Priority Academic Program Development(PAPD)of Jiangsu Higher Education Institutions,China.

?Corresponding author.E-mail:zhhang@suda.edu.cn

Deterministic interface states in photonic crystal with graphene-allotrope-like complex unit cells?

Jia Zi-Yuan Yang Yu-Ting Ji Li-Yu Hang Zhi-Hong?

(College of Physics,Optoelectronics and Energy and Collaborative Innovation Center of Suzhou Nano Science and Technology,Soochow University,Suzhou 215006,China)

24 July 2017;revised manuscript

13 August 2017)

Topological insulators have aroused much research interest in condensed matter physics in recent years.Topological protected edge states can propagate unidirectionally and backscattering free along the boundaries of the topological insulators’which will be important for future electronic devices for its immunity to defects.Topology is dependent only on the symmetry of lattice of the system rather than its speci fic wave form.Thus,based on the analogy between electronics and photons,photonic topological insulator has also been demonstrated both theoretically and experimentally.Graphene,composed of a monolayer of carbon atoms in honeycomb lattice,exhibits unusual properties due to its intriguing band diagram.Many types of graphene allotropes have been proposed theoretically.However,due to fabrication difficulties,most of graphene allotropes are unavailable.Here,we propose to study two dimensional(2D)photonic crystal(PC)with complex lattices,similar to that of graphene allotrope.The complex PC structure provides more degrees of freedom in manipulating its symmetry.

Interface states can also exist in the interface region between two PCs,if they have di ff erent topological properties.Without any surface decoration,deterministic interface states can be created when bulk photonic band inversion can be induced and are demonstrated theoretically and experimentally in 2D PCs with square lattice.By controlling the parameters of PCs,their bulk photonic band properties are engineered and topological phase transition occurs.By inverting the bulk photonic band properties,interface states exist in the common band gaps for two PC systems in the gapped region.Similarly,we proceed to complex honeycomb lattice of PCs.By lowering its originalC6vsymmetry toC3v,C3,C2vand evenC2symmetry,the degeneracies of valley Dirac dispersion at the corners of Brillouin zone are lifted.Photonic band inversion occurs in all four symmetries and the deterministic interface states are numerically realized in the interface region between two PCs.Unidirectional propagation of interface state immune to backscattering along the interface channels is demonstrated if a source with proper optical vortex index is utilized.Due to its easy fabrication,PC is a perfect platform to explore the topological properties of complex lattice and these acquired topological optical states can be of bene fit to the control the propagation of light in the photonic waveguide.

photonic crystal,topology,valley,interface state

10.7498/aps.66.227802

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11574226)、江蘇省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):BK20170058)和江蘇省高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助的課題.

?通信作者.E-mail:zhhang@suda.edu.cn