邢玉恒 徐錫方 張力發(fā)

(南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,南京 210023)

拓?fù)渎曌优c聲子霍爾效應(yīng)?

邢玉恒 徐錫方 張力發(fā)?

(南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,南京 210023)

(2017年9月28日收到;2017年11月6日收到修改稿)

拓?fù)鋵W(xué)與物理的結(jié)合是近幾十年物理學(xué)蓬勃發(fā)展的一個(gè)新領(lǐng)域,它不僅活躍在量子場理論以及高能物理中,更廣泛地存在于凝聚態(tài)物理體系中,包括量子(反常、自旋)霍爾效應(yīng)和拓?fù)浣^緣體(超導(dǎo)體)等.聲子是凝聚態(tài)體系中熱輸運(yùn)的主要載體;最近由于各種聲子器件的發(fā)現(xiàn),聲子學(xué)得到了廣泛的關(guān)注.本文介紹了聲子的拓?fù)湫再|(zhì)以及聲子的霍爾效應(yīng)現(xiàn)象,分別評(píng)述了在破壞時(shí)間反演對(duì)稱、破壞空間反演對(duì)稱、以及同時(shí)破壞時(shí)間和空間反演對(duì)稱三種情況下所產(chǎn)生的聲子霍爾效應(yīng)、聲子谷霍爾效應(yīng)等相關(guān)物理研究進(jìn)展.最后對(duì)拓?fù)鋵W(xué)在其他聲學(xué)體系中的應(yīng)用做了簡單介紹,并進(jìn)一步討論了其未來的發(fā)展方向.

拓?fù)鋵W(xué),Berry相位,Berry曲率,聲子霍爾效應(yīng)

1 引 言

拓?fù)鋵W(xué)是近代發(fā)展起來的一個(gè)數(shù)學(xué)分支,主要研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質(zhì)的學(xué)科.早在十七世紀(jì)科學(xué)家就提出了“位置幾何學(xué)”和“相位分析”學(xué)說.1984年,英國布里斯托大學(xué)的科學(xué)家Michael Berry就提出了關(guān)于量子力學(xué)中的“幾何相”概念[1],主要描述了當(dāng)一個(gè)量子體系在參數(shù)空間沿著閉合路徑緩慢變化時(shí),系統(tǒng)本征態(tài)所發(fā)生的變化,即系統(tǒng)的哈密頓量在參數(shù)空間發(fā)生絕熱演化時(shí)體系的本征態(tài)的變化.Berry相在拓?fù)湮锢韺W(xué)領(lǐng)域是一個(gè)重要的概念[2],Berry曲率由于揭示了量子力學(xué)中絕熱過程的奧秘且最近因其在量子計(jì)算機(jī)的實(shí)現(xiàn)中的重要用途而引起了科學(xué)家們的廣泛興趣[3].Berry曲率最早出現(xiàn)在帶有布洛赫電子的單帶的動(dòng)力學(xué)中,在應(yīng)用于量子霍爾體系時(shí),其半經(jīng)典理論可以解釋霍爾電流和量子霍爾電導(dǎo)率[4].近幾年來,Berry相效應(yīng)在解決鐵磁材料中的反常霍爾效應(yīng)時(shí)起到了重要的作用[5,6],這也使Berry曲率在拓?fù)洳牧蠎?yīng)用中的研究得到科學(xué)家們的廣泛關(guān)注.由于在拓?fù)湮锢矸矫嬖瓌?chuàng)性的貢獻(xiàn),Thouless,Haldane和Kosterlitz被授予2016年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng).拓?fù)浜臀锢淼那擅罱Y(jié)合,帶動(dòng)了凝聚態(tài)物理的快速發(fā)展,比較有代表性的就是其近十年來逐漸興起的一個(gè)分支——拓?fù)浣^緣體[7,8],即在絕緣體中帶隙中存在拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài).

由于熱二極管、熱晶體管、熱邏輯門等[9?11]的相繼提出,最近幾十年我們見證了聲子學(xué)的飛速發(fā)展,從而使得利用聲子進(jìn)行熱流控制和信息處理成為可能.由于聲子作為一種中性的準(zhǔn)粒子不能像電子一樣可以通過洛倫茲力直接和磁場耦合,因此當(dāng)Rikken等[12]科學(xué)家在順磁介質(zhì)樣品中發(fā)現(xiàn)聲子霍爾效應(yīng)現(xiàn)象時(shí),物理學(xué)家們普遍感到很驚奇,即在有熱流通過的樣品薄膜的垂直方向上施加磁場時(shí)可以觀察到橫向熱流,由于電子對(duì)熱流貢獻(xiàn)可以忽略,所以把這種現(xiàn)象稱之為聲子霍爾效應(yīng).此實(shí)驗(yàn)被Inyushkin和Taldenkov[13]所重復(fù).從那以后,科學(xué)家們提出了幾種理論來解釋這一現(xiàn)象[14].對(duì)于各種量子、自旋或反?；魻栃?yīng)的電子輸運(yùn)性質(zhì),拓?fù)淅碚撘呀?jīng)成功地解釋了一些潛在的機(jī)理,那么對(duì)于聲子的輸運(yùn)性質(zhì)是否也可以運(yùn)用拓?fù)淅碚搧磉M(jìn)行研究呢？

2010年,Zhang等[15]將聲子的霍爾熱導(dǎo)率和聲子譜的Berry曲率聯(lián)系起來,揭示了聲子的拓?fù)湫再|(zhì)，并發(fā)現(xiàn)了其中的拓?fù)湎嘧?從而開創(chuàng)了拓?fù)渎曌訉W(xué)的研究.其后,在2012年,Qin等[16]從能量磁化的角度對(duì)聲子霍爾熱導(dǎo)提出了修正.當(dāng)磁場作用在具有自旋聲子相互作用的體系上時(shí),時(shí)間反演對(duì)稱性會(huì)發(fā)生破缺,從而產(chǎn)生聲子霍爾效應(yīng).在非磁性體系中,空間反演對(duì)稱破缺而時(shí)間反演對(duì)稱性得到保護(hù),可以觀察到谷聲子霍爾效應(yīng)[17].在2016年,Zhang研究組又繼續(xù)通過半經(jīng)典波包動(dòng)力學(xué)方法統(tǒng)一研究了電子、聲子、磁子等熱霍爾效應(yīng),并得出了霍爾熱導(dǎo)率在拓?fù)淅碚摽蚣芟碌耐ㄓ霉絒18].最近Liu等[19]研究了時(shí)間反演對(duì)稱性和空間反演對(duì)稱性同時(shí)破缺的體系中的拓?fù)渎曌虞斶\(yùn)現(xiàn)象.

本文以Berry曲率為切入點(diǎn),著重討論Berry相以及Berry曲率的基本理論與性質(zhì).通過研究在單獨(dú)破壞時(shí)間反演對(duì)稱、破壞空間反演對(duì)稱以及同時(shí)破壞時(shí)間反演對(duì)稱和空間反演對(duì)稱的聲子體系中Berry曲率的變化對(duì)聲子輸運(yùn)的影響.在本文的第二部分介紹了Berry相的基本理論知識(shí),了解Berry曲率與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的關(guān)系;第三部分介紹了破壞時(shí)間反演對(duì)稱時(shí)所產(chǎn)生的聲子霍爾效應(yīng),研究其中的Berry曲率對(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)性質(zhì)的一些影響;第四部分介紹了破壞空間反演對(duì)稱后形成的聲子谷霍爾效應(yīng);第五部分主要介紹同時(shí)破壞時(shí)間和空間反演對(duì)稱時(shí)對(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響;第六部分簡單介紹了Berry相效應(yīng)在其他聲學(xué)體系中的應(yīng)用;第七部分對(duì)拓?fù)渎曌訉W(xué)的應(yīng)用做了簡單展望.

2 Berry相及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

Berry相位由三個(gè)至關(guān)重要的部分構(gòu)成,這三個(gè)關(guān)鍵的特性決定了其在拓?fù)鋵W(xué)中的重要地位.第一,Berry相位是規(guī)范不變的,其本征波函數(shù)由線性齊次方程定義,這個(gè)性質(zhì)使得Berry相位更加的物理化,早期的實(shí)驗(yàn)研究也是通過這個(gè)性質(zhì)進(jìn)行的.第二,Berry相位具有獨(dú)特的幾何性質(zhì),Berry相可以表示為在閉合參數(shù)空間的線性積分,且與實(shí)際路徑的變化率無關(guān),Berry曲率的這種獨(dú)特的性質(zhì)使得其得到了廣泛的應(yīng)用.第三,Berry相位與規(guī)范場論和微分幾何有著密切的聯(lián)系,這使得Berry相成為一種直觀且意義十分重大的物理概念,尤其在今天的霍爾效應(yīng)以及拓?fù)湮锢韺W(xué)的研究中具有重要的意義[7].

2.1 絕熱循環(huán)演化

波函數(shù)的整體相位不會(huì)對(duì)物理觀測造成影響,然而量子態(tài)之間的相對(duì)相位與很多的物理現(xiàn)象有關(guān)系.1984年,英國布里斯托大學(xué)的科學(xué)家Michael Berry提出了關(guān)于量子力學(xué)中的“幾何相”概念,為了更好地詮釋這個(gè)相位的物理意義,以下對(duì)這個(gè)相位進(jìn)行簡單的推導(dǎo).

當(dāng)物理系統(tǒng)沿著參數(shù)空間中任意閉合回路做絕熱演化,其非簡并本征態(tài)的變化除了一個(gè)額定的相位之外,必然回到其本身,該相位就稱為Berry相位.設(shè)體系的哈密頓量算符是一組參量的R(R1,R2,···,RD)函數(shù):

而R隨著時(shí)間做周期性變化

R(t)的周期變化在參量空間定義了一條閉合曲線C,假設(shè)此時(shí)周期T足夠大,以致哈密頓算符隨時(shí)間的變化非常緩慢,從而使得這一過程被稱為絕熱演化過程,致使系統(tǒng)在每一瞬間都是靜止的.于是,對(duì)于某一瞬時(shí)t,瞬時(shí)定態(tài)薛定諤方程成立.在絕熱條件下,瞬時(shí)本征波函數(shù)的含時(shí)薛定諤方程為

乘以〈m(R(t))|化簡后得

考慮一般含時(shí)薛定諤方程

在絕熱近似條件下,將本征函數(shù)歸一化條件求導(dǎo)可得

所以絕熱近似下式含時(shí)薛定諤方程的解為

在引入R(t)的空間“矢勢”后,Berry相位可以寫成

其中Bm(R)=?R×Am(R)稱為參數(shù)空間的“磁場強(qiáng)度”.

從上式可以看到:第一,Berry相位γm是實(shí)量;第二,Berry相位是一個(gè)規(guī)范不變的量,即在物理上是一個(gè)可以觀測的量;第三,Berry相位不依賴于系統(tǒng)參數(shù)演化的快慢,只與演化的路徑有關(guān);第四,對(duì)于一維的參數(shù)空間,Berry相位為零,但是對(duì)于高維的參數(shù)空間,Berry相位不為零;第五,Berry相位是不可積的,也就是說它不能寫成一個(gè)關(guān)于參數(shù)R的連續(xù)函數(shù)[20].故Berry相位僅與閉合回路或者閉合曲面的幾何性質(zhì)有關(guān),與參數(shù)隨時(shí)間的變化率無關(guān),因此,Berry相位又稱為幾何相位.

2.2 Berry曲率

通過(8)式以及下面恒等式:

所以Berry曲率可以寫成本征態(tài)的求和[21]:

在這里,通常將A稱為Berry聯(lián)絡(luò)(Berry connection),將B稱為Berry曲率(Berry curvature).

在上述的公式推導(dǎo)過程中,最重要的就是絕熱假設(shè),即參數(shù)變化的足夠緩慢從而使體系一直約束在某個(gè)能級(jí)上.也就是說此時(shí)的取值空間已經(jīng)從整個(gè)完備的希爾伯特空間投影到某一個(gè)特定的能級(jí)上,這就是產(chǎn)生Berry相位的本質(zhì).

2.3 Berry曲率與對(duì)稱性的關(guān)系

上述已經(jīng)寫出的Berry曲率的表達(dá)式

滿足時(shí)間反演對(duì)稱時(shí)

滿足空間反演對(duì)稱時(shí)

若同時(shí)滿足空間和時(shí)間反演對(duì)稱

2.4 布洛赫能帶中的Berry相位

以上介紹了用哈密頓算子描述通用體系Berry相位的基本概念,現(xiàn)在考慮它在晶體中的實(shí)現(xiàn).我們知道,晶體的能帶結(jié)構(gòu)為研究Berry相效應(yīng)提供了一個(gè)天然的平臺(tái).在孤立電子近似下,首先可以寫出單電子情況下的哈密頓量:

其中V(r+a)=V(r),a是布拉伐晶格的格矢,通過布洛赫定理,周期性的哈密頓量的本征態(tài)滿足以下條件:

這里n是能帶的數(shù)目,?q是晶體的動(dòng)量,通過進(jìn)一步變換可得

在這里,unq(r)=e?iq·rψnq(r) 是布洛赫函數(shù)的周期性部分,滿足嚴(yán)格的周期性邊界條件unq(r+a)=unq(r).Berry相位以及Berry曲率可以寫成:

3 聲子霍爾效應(yīng)

3.1 霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)

霍爾效應(yīng)是電磁效應(yīng)的一種,這一現(xiàn)象是美國物理學(xué)家霍爾于1879年在研究金屬的導(dǎo)電機(jī)理時(shí)發(fā)現(xiàn)的:即當(dāng)電流垂直于外磁場通過導(dǎo)體時(shí),載流子發(fā)生偏轉(zhuǎn),在垂直于電流和磁場的方向會(huì)產(chǎn)生一附加電場,從而在導(dǎo)體的兩端產(chǎn)生電勢差,這個(gè)電勢差也被稱為霍爾電勢差.

圖1 (a)聲子霍爾效應(yīng)示意圖,熱流方向在磁場作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)[24];(b)在Tb3Ga5O12薄膜樣品測得的橫向溫差隨磁場大小和方向的變化關(guān)系[12]Fig.1.(a)Phonon Hall e ff ect:the direction of the heat flow is de flected by the magnetic field[24];(b)magnetotransverse temperature di ff erence in a nonoriented sample of Tb3Ga5O15for heat currents perpendicular(circles)and parallel to the field(squares)[12].

近些年來,半導(dǎo)體材料和低維物理學(xué)的發(fā)展推動(dòng)了許多霍爾效應(yīng)的發(fā)展.在電絕緣的晶體中,聲子是熱流的載體,由于聲子不能直接和磁場相互作用,所以通常認(rèn)為不存在聲子霍爾效應(yīng).最近,Strohm等[12]在順磁介質(zhì)Tb3Ga5O12薄膜樣品中發(fā)現(xiàn)了聲子霍爾效應(yīng)現(xiàn)象,如圖1所示,即在有縱向溫度梯度的順磁絕緣體薄膜上,加上垂直于薄膜平面的磁場后,測得橫向溫度差.當(dāng)磁場方向平行于縱向熱流時(shí),橫向溫度差可以忽略,然而當(dāng)磁場方向垂直于縱向熱流(縱向溫差為1 K)時(shí),可以觀察到200μK的溫度差.由于電子不參與熱輸運(yùn),所以Strohm等將之命名為聲子霍爾效應(yīng).此后該實(shí)驗(yàn)并被Inyushkin和Taldenkov[13]所重復(fù).科學(xué)家們試圖提出幾種理論來解釋這一現(xiàn)象[14,22],但是相對(duì)復(fù)雜并且有相互矛盾之處.另外,文獻(xiàn)[23]利用非平衡態(tài)格林函數(shù)方法研究了具有自旋聲子相互作用的四終端的二維薄膜的聲子霍爾溫差,從另一角度解釋了聲子霍爾效應(yīng).Zhang等[15]的工作從拓?fù)涮匦缘慕嵌仁状螌?duì)對(duì)聲子霍爾效應(yīng)進(jìn)行了揭示,下面首先從聲子霍爾體系的哈密頓量講起.

3.2 哈密頓量以及二次量子化

在有磁場存在的情況下[14],離子晶體中晶格格點(diǎn)的動(dòng)能可以寫成

所以,上式可以寫成

如果此時(shí)沿z方向施加強(qiáng)度為B的磁場,前提是只考慮二維情況下的運(yùn)動(dòng)(即只沿x和y方向),此時(shí)離子α的動(dòng)能可以寫成:

之前的理論中,科學(xué)家們考慮到拉曼相互作用的影響,基于量子理論和基本對(duì)稱性的自旋-聲子相互作用[26?28],得到了HI=h.(u×p),這里h=gcM,M與磁場B成正比.如果磁場沿z方向的作用,此時(shí)自旋-聲子相互作用可以寫成所以整個(gè)晶格的哈密頓量可以寫成[29]

這和(25)式類似.然而此哈密頓量并不總是正定的,我們應(yīng)該選用(25)式,其始終是正定的.

哈密頓量是關(guān)于u和p二次型方程,可以寫出線性運(yùn)動(dòng)方程:

上式并不是標(biāo)準(zhǔn)的本征值問題,重新定義一個(gè)新的向量x=(μ,ε)T.然后,通過布洛赫定理,(28)式可以寫成[15]:

I是單位矩陣.因此,上式的本征值問題可以寫成

在這里,由于該有效哈密頓量是非厄米的,需要計(jì)(算右本征矢量為xk和左本征矢量對(duì)于本征矢εk的歸一化條件即為

對(duì)于上式中的本征值問題,可知完備基包括負(fù)的分支等.從聲子霍爾效應(yīng)的拓?fù)湫再|(zhì)可知[15],聲子霍爾熱導(dǎo)率的公式可以寫成包括正負(fù)頻的所有分支的貢獻(xiàn)形式,為了簡化符號(hào),對(duì)于所有的分支,定義含時(shí)算子變換為變換關(guān)系為故由以上可以得到[15]:

這里的f(ωk)為玻色-愛因斯坦分布方程.

在上述變化后,位移和動(dòng)量運(yùn)算符可以用二次量子化算符寫成[30]:

這里|ωk|=ωksign(σ).通過上述,系統(tǒng)的哈密頓量可以寫成

通過一系列變換后,哈密頓量最終可以化為[30]

系統(tǒng)的熱流可以寫為[30]

這里V是N個(gè)基本原胞的總體積.通過對(duì)上述式的求導(dǎo)并引入Berry聯(lián)絡(luò)得出最終的熱流公式:

通過格林-庫珀公式,可以計(jì)算得到霍爾熱導(dǎo)線性響應(yīng)貢獻(xiàn)κKubo:

其中:

是σ?guī)У溅摇鋷У膶?duì)Berry曲率的貢獻(xiàn).另外我們還必須考慮能量磁化貢獻(xiàn)ME[16],總的霍爾熱導(dǎo)率可以寫為

最終可以得到聲子熱導(dǎo)率公式[16]

這里[16]

從上述公式中可以看出聲子的霍爾熱導(dǎo)率由其色散關(guān)系和Berry曲率所決定,這與量子霍爾電導(dǎo)有一定的類比性[4].

此外,通過半經(jīng)典的波包動(dòng)力學(xué)方法,可以研究熱霍爾效應(yīng),包括電子熱霍爾效應(yīng)、磁振子霍爾效應(yīng)以及聲子霍爾效應(yīng).在熱霍爾效應(yīng)中,可以定義粒子磁矩為

故體系的能量和熱磁矩分別為

這里εn是布洛赫能帶的能量,μ是化學(xué)勢.類比于電子軌道磁化,熱軌道磁化MQ有兩個(gè)部分,一個(gè)來自于波包的自轉(zhuǎn)有關(guān),記為;另一個(gè)是波包中心的運(yùn)動(dòng)的貢獻(xiàn),將其表示為[18].

可以得到總的熱流為

此公式是電子霍爾熱導(dǎo)、磁振子霍爾熱導(dǎo)以及聲子霍爾熱導(dǎo)的通用公式.其中對(duì)于聲子可以進(jìn)一步寫成:

其中n,d分別是原胞內(nèi)的原子數(shù)和每一個(gè)原子的自由度.

3.3 聲子霍爾效應(yīng)的拓?fù)湫再|(zhì)

由于本證矢量的波矢依賴性,可以計(jì)算其Berry相效應(yīng).通過 Berry近似,首先設(shè)x(t)=, 并代入上式中. 由于 Berry相,所以Berry曲率可寫成

然后通過將第一布里淵區(qū)域上的Berry曲率整合得到相關(guān)的拓?fù)潢悢?shù):

如果沒有拉曼自旋聲子的影響,也就是說當(dāng)h=0時(shí),此時(shí) Berry曲率處處為零,聲子的霍爾熱導(dǎo)率消失.當(dāng)外加磁場作用時(shí),Berry曲率不為零,因此,聲子霍爾效應(yīng)也隨之出現(xiàn).另外研究發(fā)現(xiàn),如果體系出現(xiàn)對(duì)稱性滿足SDS?1=D,SAS?1=?A,此時(shí)聲子的霍爾熱導(dǎo)為零[31],此時(shí)如果磁場改變了,Berry曲率也會(huì)改變,但是陳數(shù)在很大的范圍內(nèi)并不改變.盡管陳數(shù)被量化了,但是由于(40)式中f(ωσ)(ωσ+ωσ′)2項(xiàng)的存在,聲子的霍爾熱導(dǎo)率并沒有被量化.

圖2 (a)—(d)當(dāng)臨界磁場hc? =hc?10?2rad/ps時(shí)能帶1到4的Berry曲率輪廓圖;(e)—(h)當(dāng)臨界磁場hc+=hc+10?2rad/ps時(shí)能帶1到4的Berry曲率輪廓圖;從(a)—(h)水平軸和垂直軸分別對(duì)應(yīng)于波矢kx和ky;(i)在不同磁場中的Berry曲率,實(shí)線和虛線分別對(duì)應(yīng)于在臨界磁場為hc?時(shí)?2和?3,相應(yīng)的實(shí)點(diǎn)和虛點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)于臨界磁場為hc+時(shí)?2和?3;(j)四種能帶的陳數(shù)C1(實(shí)線),C2(虛線),C3(點(diǎn)線),C4(虛點(diǎn)線);(k)在臨界磁場為hc附近的不同磁場下能帶2和能帶3的色散關(guān)系圖,其中虛線、實(shí)線以及點(diǎn)線分別對(duì)應(yīng)于在臨界磁場為hc?,hc,hc+時(shí)的帶[15]Fig.2.(a)–(d)The contour map of Berry curvatures for bands 1–4 at hc? =hc? 10?2rad/ps;(e)–(h)the contour map of Berry curvatures for bands 1–4 at hc+=hc+10?2rad/ps;for(a)–(h),the horizontal and vertical axes correspond to wave vector kxand ky;(i) ? at di ff erent magnetic fields,the solid and dashed lines correspond to ?2and ?3at hc?,respectively,while dotted and dash-dotted lines correspond to those at hc+;(j)Chern numbers of four bands,C1(solid line),C2(dashed line),C3(dotted line),and C4(dashdotted line);(k)the dispersion relation of bands 2 and 3 at di ff erent magnetic fields in the vicinity of hc,the dashed,solid and dotted lines correspond to the bands at hc?,hcand hc+,respectively[15].

隨著磁場的增加,在臨界磁場hc的附近,發(fā)現(xiàn)存在拓?fù)湎嘧?不同頻帶在靠近臨界磁場的Berry曲率由圖2(a)—(f)給出,當(dāng)hc附近磁場變化非常小時(shí),在Γ點(diǎn)附近的能帶2和能帶3的Berry曲率幾乎是完全不同的,而能帶1和能帶4卻保持不變.如圖2(i)所示,在臨界磁場上方和下方Berry曲率發(fā)生了急劇的變化,從而導(dǎo)致能帶2和3的陳數(shù)發(fā)生跳躍,如圖2(j)所示,這個(gè)跳躍表明兩條帶的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在臨界磁場下突然改變,這與能帶結(jié)構(gòu)的相變有著重要的聯(lián)系[15].

為了進(jìn)一步研究聲子拓?fù)鋷ЫY(jié)構(gòu)變化的機(jī)理,同樣給出了在臨界磁場附近的聲子的色散關(guān)系圖,如圖2(k)所示,可以看到當(dāng)磁場增加到hc時(shí),在Γ點(diǎn)附近能帶2和能帶3彼此的相互靠近.同樣,在臨界磁場區(qū)域,兩條能帶發(fā)生了簡并且兩條帶的形狀出現(xiàn)了錐形.而在臨界點(diǎn)hc上方,兩條能帶發(fā)生了分裂.也就是說在臨界磁場附近的聲子的色散關(guān)系直接影響了Berry曲率,從而導(dǎo)致拓?fù)湎嘧?

這里提出的聲子霍爾熱導(dǎo)率的拓?fù)鋵W(xué)方法是一般的,可以應(yīng)用于低溫下的真實(shí)材料.最近的研究發(fā)現(xiàn)它也可以用于磁霍爾效應(yīng)[32].從拓?fù)湫再|(zhì)和色散關(guān)系來解釋的聲子霍爾效應(yīng)相變也可以推廣到研究其他霍爾效應(yīng)或非平衡運(yùn)輸中的相變.

4 聲子谷霍爾效應(yīng)

4.1 谷電子霍爾效應(yīng)

由于空間反演對(duì)稱性的破壞,動(dòng)量空間里分開的不等價(jià)的能谷K,K′,通過Berry曲率或軌道磁矩可以來描述這種不等價(jià)性.因此這兩處不等價(jià)的能谷便構(gòu)成了除電荷和自旋以外電子的另一個(gè)自由度,這也導(dǎo)致了能谷電子學(xué)的出現(xiàn).

自然界大量存在類似于石墨烯的六角蜂窩狀晶格層狀材料,例如氮化硼、硒化鎵、過渡金屬二硫化物等.不同于石墨烯,這些材料中的A和B子格是由不同的原子構(gòu)成,從而體系破壞了空間反演對(duì)稱性.這些材料也為研究能谷電子學(xué)提供了條件.

在A/B堆積的雙層石墨烯材料中,通過施加垂直與二維平面的電場來打破石墨烯的空間反演對(duì)稱性,從而在K和K′能谷處產(chǎn)生大小相等但反向的并且與能谷相關(guān)的Berry曲率及軌道磁矩[33].因此也帶來了一系列新奇的效應(yīng),如能谷霍爾效應(yīng)[34].如圖3,在非零的Berry曲率和外加面內(nèi)電場的作用下,谷電子獲得反常的大小與Berry曲率成正比[35,36]的橫向速度,不同的谷電子偏轉(zhuǎn)方向相反.因此在樣品兩端可探測到谷極化電流,圖中Berry曲率的反差使得K和K′能谷電子在垂直外加電場方向的運(yùn)動(dòng)發(fā)生橫向相反方向的偏轉(zhuǎn),這就是谷電子霍爾效應(yīng).最近,實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)在單層二硫化鉬三極管[37]和石墨烯超晶格[38]中觀測到了谷電子霍爾效應(yīng).

通過對(duì)稱性分析可知,破壞時(shí)間反演對(duì)稱性或破壞空間反演對(duì)稱性的系統(tǒng)中聲子攜帶非零的角動(dòng)量.在這一部分,我們引入非磁性的六角AB晶格體系,即破壞空間反演對(duì)稱性,但保留時(shí)間反演對(duì)稱性.在兩個(gè)不等價(jià)的能谷處手性的聲子大量集中,即谷上的聲子是左旋或者右旋圓極化的,且非簡并的聲子?？梢杂昧孔拥内I角動(dòng)量標(biāo)記[17].所以,類比谷電子霍爾效應(yīng),對(duì)于谷聲子,自然要提出兩個(gè)問題:谷聲子的Berry曲率是否為零？如果Berry曲率是非零的,是否存在谷聲子霍爾效應(yīng)？

圖3 谷電子霍爾效應(yīng)示意圖[34]Fig.3.Valley electronic Hall e ff ect diagram[34].

4.2 聲子Berry曲率

之前計(jì)算聲子的Berry曲率,采用傳統(tǒng)的晶格動(dòng)力學(xué)周期解

這里的u和ε是維度為2(二維運(yùn)動(dòng))或3(三維運(yùn)動(dòng))的列向量.接著可以得到運(yùn)動(dòng)方程

而實(shí)際上,為了準(zhǔn)確地得到聲子的Berry曲率,必須考慮到原胞內(nèi)格點(diǎn)的相位差,因此這里采取布洛赫波形式的聲子波函數(shù)

其中dα是第α原子相較于第l個(gè)原胞的平衡位置,因此可以得出

所以動(dòng)力學(xué)矩陣變?yōu)?/p>

此時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程為

這與之前的運(yùn)動(dòng)方程是等價(jià)的,它們具有相同的色散關(guān)系,僅僅是波函數(shù)相差了一個(gè)相位.

在第二節(jié)已經(jīng)計(jì)算過聲子的Berry曲率,這里由于具有時(shí)間反演對(duì)稱性,只需考慮所有正的聲子模.

由于ε(k,σ)=ε?(?k,?σ), 在時(shí)間反演對(duì)稱性的保護(hù)下, 有ε(k,σ)=ε?(?k,σ), 所以因此

類比于電子的Berry曲率計(jì)算Hψn=Enψn,聲子的Berry曲率為

這一形式也與第二節(jié)所給的聲子Berry曲率相符合.

4.3 谷聲子霍爾效應(yīng)

非磁性的六角A/B晶格體系破壞了空間反演對(duì)稱性,如圖4(a),在能谷處觀察到了非零的聲子Berry曲率.能帶1和能帶4在能谷處擁有較大的Berry曲率,而能帶2和能帶3在能谷處的Berry曲率較小.正因?yàn)槟芄忍幋嬖诜橇愕腂erry曲率,施加縱向的應(yīng)變梯度Estrain,類比于谷電子霍爾效應(yīng),會(huì)出現(xiàn)與應(yīng)變梯度和Berry曲率的叉矢成正比的反常速度,νanom∝?Estrain×B.因此,被左旋或者右旋極化光子激發(fā)的位于不同能谷處的聲子會(huì)沿橫向移動(dòng).如圖4(b)和圖4(c),如果光子的極性反轉(zhuǎn),那么橫向聲子流的方向也會(huì)翻轉(zhuǎn).隨著聲子在某條邊的積累,可以測得橫向的溫度差.很顯然,如果圓極化的受激光子極性反轉(zhuǎn),則橫向溫差也會(huì)相反.

圖4 六角A/B晶格的聲子貝里曲率和谷聲子霍爾效應(yīng) (a)能帶1(底部二維圖)和能帶2(頂部三維圖)的Berry曲率;(b),(c)谷聲子被右旋或左旋極化光激發(fā)(霍爾熱流由紅色箭頭標(biāo)出),在應(yīng)力梯度下產(chǎn)生相應(yīng)的聲子[17]Fig.4.Phonon Berry curvature and valleyphonon Hall e ff ect in a honeycomb of A/B lattice:(a)Berry curvatureof band 1(bottom contour plot)and band 2(top 3D plot);(b),(c)schematic of the valley phonon hall e ff ect(the Hall current denoted by the olive curve arrows)undera strain gradient(the orange arrows),where valley phononsare excited by a ray of right-handed or left-handed polarizedlight(the red wave lines)[17].

聲子霍爾效應(yīng)已在實(shí)驗(yàn)上證實(shí)[39],在順磁絕緣體中,磁場可以改變聲子的輸運(yùn),因此可以測得橫向的溫度差,但是其效應(yīng)受限于及其微弱的自旋聲子相互作用.在破壞空間反演對(duì)稱性而保持時(shí)間反演對(duì)稱性的體系中,非零的Berry曲率誘發(fā)的谷聲子霍爾效應(yīng)確實(shí)廣泛存在于六角晶格中,將會(huì)有更大范圍的應(yīng)用.

5 同時(shí)破壞時(shí)間和空間反演對(duì)稱的聲子模型

由于時(shí)間反演對(duì)稱破缺會(huì)產(chǎn)生具有非零拓?fù)潢悢?shù)的聲子態(tài),即聲子霍爾效應(yīng),其具有單向?qū)ǖ牟皇苌⑸涞穆曌舆吔缒Ｊ?空間反演對(duì)稱破缺會(huì)產(chǎn)生具有非零的Berry相的谷,可用作調(diào)控聲子輸運(yùn)的新型量子自由度,即谷聲子霍爾效應(yīng);如果兩種對(duì)稱性破缺同時(shí)存在,則能產(chǎn)生新的拓?fù)湎嘧儾⒀萆鲐S富的聲子拓?fù)淞孔討B(tài).

圖5 (a)由A/B晶格組成的蜂窩狀晶格示意圖,以及在K和K′聲子谷附近的狄拉克錐;(b)當(dāng)同時(shí)破壞掉時(shí)間反演和空間反演對(duì)稱兩個(gè)谷的頻率不變,其中A/B晶格聲子態(tài)A由紅色標(biāo)出,B由藍(lán)色標(biāo)出[19]Fig.5.(a)A honeycomb lattice composed of A/B sublattices,and the Dirac cones of phonons near the K and K′valleys;(b)the two valleys that arenondegenerate in frequency caused by breaking P and T simultaneously[19].

Liu等[19]的最新研究中,利用類似于Haldane蜂窩晶格模型,研究并探索Berry相與聲子的拓?fù)湫?yīng).在這種晶格中,縱向光學(xué)和聲學(xué)模式在K處形成線性交叉條帶和 Dirac點(diǎn),如圖5所示.當(dāng)破壞空間反演對(duì)稱性以及時(shí)間反演對(duì)稱時(shí),哈密頓量可以寫成:

在上述的介紹中,我們已經(jīng)了解了單獨(dú)破壞時(shí)間反演對(duì)稱或者空間反演對(duì)稱對(duì)Berry曲率的影響,此時(shí)Berry通量在每個(gè)谷中的值為±π,且陳數(shù)CK(K′)=±1/2. 由于C=CK+CK′,故在單獨(dú)破壞時(shí)間反演時(shí),Berry曲率B(k)=B(?k),陳數(shù)為C=±1,此系統(tǒng)中可以觀測到聲子霍爾效應(yīng);在單獨(dú)破壞空間反演對(duì)稱時(shí),B(k)=?B(?k),陳數(shù)C=0,可以觀測到谷聲子霍爾效應(yīng).如圖5所示,當(dāng)同時(shí)破壞時(shí)間反演和空間對(duì)稱性時(shí),兩聲子谷之間的頻率簡并消失,K和K′之間的能帶帶隙打開且相互獨(dú)立,即在極端情況下,只能在一個(gè)谷中實(shí)現(xiàn)零帶隙能帶,這種發(fā)現(xiàn)可以應(yīng)用在聲子谷濾波器中.

6 Berry相效應(yīng)在其他聲學(xué)體系中的應(yīng)用

近幾年,關(guān)于Berry曲率在聲學(xué)體系中的應(yīng)用的研究很多,例如在低溫的情況下,磁絕緣體中的自旋激發(fā)的熱導(dǎo)率可超過聲子的自發(fā)激發(fā)的熱導(dǎo)率,但由于其電荷為中性的,故自旋波不會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的熱霍爾效應(yīng).然而,在戈薇晶格,Berry曲率與熱導(dǎo)率之間有著緊密的聯(lián)系,在實(shí)驗(yàn)中觀察到κ隨著溫度或磁場的變化而發(fā)生符號(hào)反轉(zhuǎn),其與金屬帶之間的陳數(shù)通量的符號(hào)交替相關(guān)[40].其次,在電子和聲子相互作用的系統(tǒng)中,量子霍爾效應(yīng)與無耗散電流情況下霍爾電導(dǎo)率之間也有著緊密的聯(lián)系,最近已經(jīng)觀察到,當(dāng)電流增加到一個(gè)臨界值時(shí),對(duì)應(yīng)于聲速的載波漂移速度出現(xiàn)了一個(gè)戲劇性的耗散[41].在反轉(zhuǎn)對(duì)稱性破壞的非磁性系統(tǒng)中,Berry曲率誘導(dǎo)橫向谷聲子霍爾效應(yīng)將產(chǎn)生一些新的應(yīng)用.

對(duì)于谷贗自旋,由于其作為新型信息載體的潛力巨大且在動(dòng)量空間中能標(biāo)注能量極值的量子狀態(tài)而引起了人們的關(guān)注[37,38,42,43].在最近的一項(xiàng)研究中,武漢大學(xué)劉正猷研究組從實(shí)驗(yàn)上在聲波晶體中觀察到了聲音的拓?fù)涔容斶\(yùn)現(xiàn)象[44],他們除了通過聲場的空間掃描直接觀察谷選擇性邊緣模式之外,還在急劇彎曲的界面中觀察到抗反射現(xiàn)象.與傳統(tǒng)聲波導(dǎo)相比,拓?fù)浔Ｗo(hù)的聲音傳輸與其明顯不同,這一發(fā)現(xiàn)可以作為設(shè)計(jì)具有非常規(guī)功能設(shè)備的基礎(chǔ).

另外,近期劉正猷教授研究組在聲子晶體中首次引入谷自由度的概念,預(yù)測了聲學(xué)谷態(tài)所具有的渦旋聲場分布并提出了產(chǎn)生特定手性聲渦旋場的方法,在此基礎(chǔ)上,他們進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)了谷束分離和基于谷態(tài)的粒子操控.可以預(yù)期其潛在的應(yīng)用與聲學(xué)渦旋及物質(zhì)的異乎尋常的相互作用,例如觸發(fā)俘獲的微粒的旋轉(zhuǎn)而不接觸.這一發(fā)現(xiàn)具有重要的科學(xué)意義[45].

此外,通過剛性鍵或者彈簧連接起來的質(zhì)點(diǎn)組成的框架或格子模型構(gòu)造在結(jié)構(gòu)工程、建筑和材料科學(xué)等不同領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用.在這類晶格中,剛性鍵的數(shù)量與格子自由度之間的差異決定了它們的“零頻率”軟盤模式的數(shù)量.當(dāng)這些平衡時(shí),系統(tǒng)處于機(jī)械不穩(wěn)定的邊緣,被稱為等靜壓.由于某些擴(kuò)展的等靜壓晶格在其邊界的軟盤模式呈現(xiàn)局部化,這些邊界模式對(duì)局部擾動(dòng)不敏感,似乎具有拓?fù)淦鹪?可聯(lián)想到在量子霍爾效應(yīng)和拓?fù)浣^緣子中發(fā)生的受保護(hù)的電子邊界模式.由此科學(xué)家們建立了拓?fù)錂C(jī)械模式和電子系統(tǒng)的拓?fù)鋷Ю碚撝g的聯(lián)系,并預(yù)測了具有不同邊界模式的新的拓?fù)浯篌w積機(jī)械相的存在[46].

最近,科學(xué)家在機(jī)械拓?fù)浣^緣子中觀察到聲子的螺旋邊緣態(tài),這一發(fā)現(xiàn)使得利用表面聲子的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)可靠的波導(dǎo)的拓?fù)渎晫W(xué)材料成為可能[47].在具有單向彈性邊緣波的拓?fù)渎曌泳w中,科學(xué)家們通過使用陀螺慣性效應(yīng)來打破時(shí)間反演對(duì)稱,實(shí)現(xiàn)電子量子(反常)霍爾效應(yīng)的聲子模擬,研究結(jié)果激發(fā)了新型表面波器件的設(shè)計(jì)熱潮,將廣泛應(yīng)用于電子、電信和聲學(xué)成像[48].

7 展 望

拓?fù)湮锢韺W(xué)是一個(gè)方興未艾的領(lǐng)域,有著很廣泛的前景等待著科學(xué)家們?nèi)ラ_發(fā).自從量子霍爾效應(yīng)發(fā)現(xiàn)以來,凝聚態(tài)物理中的拓?fù)洮F(xiàn)象層出不窮,如拓?fù)浣^緣體、拓?fù)涑瑢?dǎo)體等.拓?fù)渑c聲子學(xué)的結(jié)合才剛剛開始,已有的相關(guān)研究工作中已可看到很大的發(fā)展空間和廣闊的應(yīng)用前景.

在磁性體系中,聲子霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)給聲子輸運(yùn)與控制提供了新的方法,但至今沒有更多的實(shí)驗(yàn)研究聲子霍爾效應(yīng).由于絕大部分順磁材料自旋聲子相互作用很小,所以測得霍爾效應(yīng)很弱,如何尋找更大效應(yīng)的順磁材料是一個(gè)挑戰(zhàn).另外鐵磁絕緣體,由于更大的磁化率和更大的自旋聲子相互作用,可以存在更強(qiáng)的的聲子霍爾效應(yīng),但是由于其中的磁振子霍爾效應(yīng)也很強(qiáng),所以區(qū)分鐵磁絕緣材料中熱霍爾效應(yīng)中磁振子和聲子的貢獻(xiàn)也是一個(gè)很有意義的課題,由于磁振子和聲子的拓?fù)湫再|(zhì)不一樣,拓?fù)渎曌訉W(xué)在鐵磁材料中聲子霍爾效應(yīng)可以發(fā)揮更大的作用.

塊體能譜的拓?fù)涮匦詫?shí)際上也對(duì)應(yīng)著非平凡的邊界態(tài),那么對(duì)于這里的聲子霍爾效應(yīng),理論上應(yīng)該存在相應(yīng)的拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài)或者邊界模式,和磁振子一樣聲子等玻色子體系中都沒有費(fèi)米面的概念,所以真正意義上的玻色子拓?fù)浣^緣體不存在,但是可以通過波導(dǎo)選擇帶隙中的模式,這樣磁振子和聲子拓?fù)浣^緣體也可以存在.拓?fù)浯耪褡咏^緣體已經(jīng)發(fā)現(xiàn),但是拓?fù)渎曌咏^緣體還沒有真正發(fā)現(xiàn),尋找拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界聲子模對(duì)于無耗散的聲子輸運(yùn)控制及相關(guān)能量科學(xué)將具有潛在的應(yīng)用價(jià)值.

谷聲子霍爾效應(yīng)為聲子的控制提供了一個(gè)新的自由度.由于電子的谷間散射與谷聲子緊密聯(lián)系,如最近發(fā)現(xiàn)的谷聲子具有確定的手性并且決定電子谷間散射的選擇定則[16],因而谷聲子對(duì)谷電子學(xué)的發(fā)展意義重大.對(duì)于谷聲子相關(guān)理論,以及不同模型和材料中的手性聲子計(jì)算還需廣泛深入的研究.另外實(shí)驗(yàn)直接觀測谷聲子以及谷聲子霍爾效應(yīng)也是一項(xiàng)具有重大意義的研究.

對(duì)于同時(shí)破壞時(shí)空對(duì)稱性的體系,谷聲子的能量簡并打開,為實(shí)現(xiàn)單谷聲子的選擇與應(yīng)用提供了思路.而如何找到這樣的材料還有待進(jìn)一步的探索研究.

拓?fù)渎曌訉W(xué)才剛剛開始.而拓?fù)渑c自旋電子學(xué)的結(jié)合已經(jīng)引領(lǐng)了凝聚態(tài)物理幾十年.我們相信,由于聲子在凝聚態(tài)物理中廣泛存在,如超導(dǎo)、電聲相互作用、布里淵區(qū)及拉曼散射、熱電效應(yīng)、熱效應(yīng)等,拓?fù)渎曌釉谶@些領(lǐng)域中不可回避并起到關(guān)鍵作用,也將引領(lǐng)凝聚態(tài)物理學(xué)的蓬勃發(fā)展.

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PACS:66.70.–f,03.65.Vf,72.10.Bg,72.15.GdDOI:10.7498/aps.66.226601

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11574154).

?Corresponding author.E-mail:phyzlf@njnu.edu.cn

Topological phonons and phonon Hall e ff ects?

Xing Yu-Heng Xu Xi-Fang Zhang Li-Fa?

(School of Physics and Technology,Nanjing Normal University,Nanjing 210023,China)

28 September 2017;revised manuscript

6 November 2017)

The combination of topology and physics is a new field of physics development in recent decades.It is not only active in quantum field theory and high energy physics,but also widely exists in condensed matter physics,including quantum(anomalous,spin)Hall e ff ect and topological insulators(superconductors)etc.Phonon,as the main carrier of heat transport in the crystal,recently,due to the discovery of various phonon devices,phonons has been widely concerned by scientist.In this paper,we introduce the topological properties of phonons and the phonon hall e ff ect.We have reviewed the related physical research progress of phonon hall e ff ect,phonon valley hall e ff ect and so on,which are generated by breaking the time reversal symmetry,spatial inversion symmetry,both breaking the time and spatial inversion symmetry.Finally,the application of topology in other acoustic systems is brie fly introduced,and the future development direction is discussed too.

topology,Berry phase,Berry curvature,phonon Hall e ff ect

10.7498/aps.66.226601

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11574154)資助的課題.

?通信作者.E-mail:phyzlf@njnu.edu.cn