石有山

2017年高考天津卷壓軸題第12題，綜合了電容器，導體棒切割磁感線，動量定理等知識，是一道綜合性很強的習題。但該題實質是由幾道簡單經典試題組合而來，熟練掌握原始模型，重視平時的基礎，壓軸題也有似曾相識的感覺，有原題的味道，解出壓軸題并沒有想象中的難度。

（一）經典原題

【例1】如圖所示，金屬棒ab的質量m=5g，放置在寬L=1m光滑平行金屬軌道邊緣處，兩金屬導軌處于水平面內，該處有豎直向上的勻強磁場，磁感強度B=0.5T，電容器的電容C=200uF，電源電動勢V，導軌平面距地面高度h=0.8m，g取10m/s2。在開關k與1接通穩(wěn)定后，再把k扳到2接通，則金屬棒被拋到s=0.064m的地面上，試求電容器兩極板的剩余電量是多少？

解析：金屬棒拋出后水平方向v=■

豎直方向h=■gt2

金屬棒被拋出的瞬間過程BIL？駐t=mv

q=I？駐t

原來電容器上的電量Q=CE

金屬棒被拋出電容器上剩余的電量為Q-q=1.6×10-3C

結論1：應用動量定理可以求變力的沖量，這時可以求出該力作用下物體動量的變化量，用動量的變化量等效代替變力的沖量。若導體棒只受安培力或安培力遠大于其它外力，則由動量定理得：BIL？駐t=mv2-mv1，又因為q=I？駐t，故BqL=mv2-mv1，利用動量定理可以求得安培力作用下通過某個截面的電量。

【例2】如圖2所示，長平行導軌PQ、MN光滑，相距l(xiāng)=0.5m，處在同一水平面中，磁感應強度B=0.8T的勻強磁場豎直向下穿過導軌平面。橫跨在導軌上的直導線ab的質量m=0.1kg、電阻R=0.8？贅，導軌電阻不計。導軌間通過開關S將電動勢E=1.5V、內電阻r=0.2？贅的電池接在M、P兩端，試計算分析：導體ab的加速度的最大值和速度的最大值是多少？

解析：在S剛閉合的瞬間，導線ab速度為0，沒有感應電流，由a到b的電流I0=■=1.5A，ab受安培力水平向右，此時ab瞬時加速度最大，加速度a0=■=■=6m/s2。

導體棒ab向右運動切割磁感線，產生感應電動勢，根據右手定則，感應電動勢產生的電流方向與電動勢E產生的電流方向相反，回路電流減小，導體棒ab受水平向右的安培力減小，導體棒做加速度逐漸減小的加速運動。當感應電動勢E/與電池電動勢E相等時，ab的速度達到最大值。此時回路內的電流為0，導體棒做勻速運動。根據上述的分析可知E-Blvm=0，所以vm=■=3.75m/s。

結論2：在勻強磁場中導體棒不受其它外力時，導體棒外接直流電源，導體棒做加速度逐漸減小的加速運動，最大加速度為導體棒接通瞬間，終極狀態(tài)為導體棒做勻速運動，導體棒由于電磁感應帶來的電動勢和原電動勢大小相等，回路內的電流為0，安培力為0。

（二）2017年天津卷壓軸第12題

【例3】電磁軌道炮利用電流和磁場的作用使炮彈獲得超高速度，其原理可用來研制新武器和航天運載器。電磁軌道炮示意如圖3所示，圖中直流電源電動勢為E，電容器的電容為C。兩根固定于水平面內的光滑平行金屬導軌間距為l，電阻不計。炮彈可視為一質量為m、電阻為R的金屬棒MN，垂直放在兩導軌間處于靜止狀態(tài)，并與導軌良好接觸。首先開關S接1，使電容器完全充電。然后將S接至2，導軌間存在垂直于導軌平面、磁感應強度大小為B的勻強磁場（圖中未畫出），MN開始向右加速運動。當MN上的感應電動勢與電容器兩極板間的電壓相等時，回路中電流為零，MN達到最大速度，之后離開導軌。問：

（1）磁場的方向；

（2）MN剛開始運動時加速度a的大小；

（3）MN離開導軌后電容器上剩余的電荷量Q是多少。

解析：（1）MN開始向右加速運動，電流方向從M到N，根據左手定則，磁場方向垂直于導軌平面向下

（2）電容器完全充電后，兩極板間電壓為E，當開關S接2時，電容器放電，設剛放電時流經MN的電流為I，有

I=■①

設MN受到的安培力為F，有

F=IlB②

由牛頓第二定律有

F=ma③

聯(lián)立①②③式得

a=■ ④

（3）當電容器充電完畢時，設電容器上電量為Q0，有

Q0=CE ⑤

開關S接2后，MN開始向右加速運動，速度達到最大值vmax時，設MN上的感應電動勢為E′，有

E′=Blvmax ⑥

依題意有

E′=■ ⑦

設在此過程中MN的平均電流為■，MN上受到的平均安培力為F，有

F=■lB ⑧

由動量定理，有

F？駐t=mvmax-0 ⑨

又■？駐t=Q0-Q ⑩

聯(lián)立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得

Q=■ ？輥？輯？訛

點評：本題的模型和例1的模型非常相似，即先給電容器充電，后電容器通過導體棒放電，導體棒由于安培力的作用運動，電容器的放電量都通過動量定理求出。所不同的是例1導體棒的末速度通過平拋運動求得，天津高考題的導體棒的末速度，通過導體棒在勻強磁場中的運動模型求出。從例2可以看出，在勻強磁場中導體棒不受其它外力時，導體棒最大加速度為導體棒接通瞬間，導體棒終極狀態(tài)為導體棒兩端的電動勢大小與外接電源的電動勢大小相同，對于天津高考題，導體棒兩端的電動勢與放電后電容器兩端的電壓相等。本題求解（2）問與例2完全相同，求解（3）問結合了例1和例2兩種思想。

（三）變式鞏固

【例4】如圖4所示，水平導軌兩端接有電容C，一有效長度為l的導體棒跨接在導軌上，不計導體棒與導軌間的摩擦，現(xiàn)給導體棒一個向右的初速度，則在導體棒向右運動的運動中，下列說法正確的是（ ）endprint

A. 開始時導體棒的加速度最大

B. 導體棒最后做勻速運動

C. 導體棒最后靜止在導軌上

D. 回路中最終的感應電流為0

解析：導體棒相當于電源，導體棒向右運動的過程中，電容器被充電，極板上的電壓U逐漸增大，導體棒受到向左的安培力，導體棒的運動速度減小，導體棒的感應電動勢減小，設導體棒的速度減小為v時，U=Blv，此時回路內的電流為0，導體棒受到的安培力為0，導體棒做勻速運動，選項BD正確、C錯誤，導體棒向右做加速度逐漸減小的減速運動，開始時導體棒的加速度最大，選項A正確。

點評：本題和例2的區(qū)別在于例2有直流電源，導體棒運動過程中產生的電動勢為反電動勢，本題導體棒為電源，電容器上的電壓為反電動勢，但問題的本質都相同，當回路內的感應電流為0時，即總電動勢為0時，導體棒的速度取極值。

【例5】如圖5所示，“質量m=3.0×10-3kg的“ ■ ”型金屬細框豎直放置在兩水銀槽中，“ ■ ”型框的水平細桿CD長l=0.20m，處于磁感應強度大小B=1.0T、方向水平向右的勻強磁場中，電源電動勢E= 16V，通過通過開關k，電容C=2mF，與兩水銀槽相連，在開關k與1接通穩(wěn)定后，再把k扳到2接通，瞬間細框跳起（細線跳起瞬間安培力遠大于重力），跳起的最大高度h=0.20m。試求

（1）跳起過程通過CD棒的電量為多少？

（2）跳起后電容器兩極板的電壓是多少？

解析：根據動量定理細線跳起瞬間B1Il？駐t-mg？駐t=mv

細線跳起瞬間安培力遠大于重力，重力沖量忽略不計

q=I？駐t

跳起后機械能守恒mgh= ■mv2

解得 q=0.03C（2分）

（2）原來電容器上的電量Q=CE

金屬棒被拋出電容器兩極板的電壓 U=■

解得U=1V

答案：（1）0.03C （2）1V

點評：本題和例1情景、求法基本一致，只不過該題用豎直上拋，求導體棒離開水銀槽的速度。

天津卷壓軸題第21題，看似一道新情景習題，實際是可以轉化為上面兩個重要結論的應用，有原題的味道，解題時要學會轉化。題目設計和兩種經典習題相比，創(chuàng)設新穎，構思巧妙，導體棒的終極速度通過兩個電動勢大小相等聯(lián)系了電容器上的剩余帶電量，導體棒的終極速度通過動量定理聯(lián)系了電容器的放電量，從而根據電量守恒建立方程求解。本題考查學生提取、加工信息，并利用相關信息進行轉換的能力。

責任編輯 李平安endprint