杜 淋，王 聰

（河海大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京211100）

基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架的圖像恢復(fù)

杜 淋，王 聰

（河海大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京211100）

提出了一種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架的變分模型用于含有高斯脈沖混合噪聲的圖像恢復(fù)。該模型由包含L1-L2范數(shù)的擬合項(xiàng)和包含L1范數(shù)的光滑項(xiàng)構(gòu)成。然后，又提出了ALM-APG算法用于解該模型。最后，數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明所提出的模型與算法能夠有效地進(jìn)行圖像恢復(fù)并且具有一定的實(shí)用性。

圖像恢復(fù)；脈沖高斯混合噪聲；數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架；ALM-APG算法

當(dāng)在圖像采集、存儲(chǔ)或傳輸過(guò)程中，圖像像素被各種類型的噪聲污染，因此從觀測(cè)圖像中恢復(fù)原始圖像成為了圖像處理中的基本問(wèn)題之一。兩種最常見(jiàn)的圖像噪聲分別是加性高斯白噪聲和脈沖噪聲。其中，有關(guān)去除加性高斯白噪聲和去除脈沖噪聲的研究工作已開(kāi)展多年，并且誕生了一系列成熟的模型和算法。而對(duì)于去除高斯脈沖混合噪聲的研究工作至今依然很少。脈沖噪聲一般分為兩類，一種是椒鹽脈沖噪聲，另一種是隨機(jī)脈沖噪聲。這兩類脈沖噪聲通常是由于數(shù)據(jù)丟失、存儲(chǔ)器存儲(chǔ)缺陷和圖像傳播時(shí)發(fā)生涂擦而產(chǎn)生的。

1 預(yù)備知識(shí)

從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，通過(guò)將圖像的列逐一排列，圖像可以看作一個(gè)列向量x=(x1,…,xd)T∈Rd，其中d是圖片像素個(gè)數(shù)的總和?；叶葓D像像素的取值范圍通常假設(shè)為[0,255]。一個(gè)被高斯脈沖混合噪聲污染的觀測(cè)圖像y的表達(dá)式如下：

其中，Ω∈{1,…,d}未知，稱其為觀察域；nj,j∈Ω表示獨(dú)立同分布的零均值加性高斯白噪聲；zj,j∈Ω表示獨(dú)立同分布的脈沖噪聲（椒鹽脈沖噪聲或隨機(jī)脈沖噪聲）。對(duì)于椒鹽脈沖噪聲，噪聲像素zj∈{0,…,255}以相等的概率取值0或255。對(duì)于隨機(jī)值脈沖噪聲，zj以相等的概率隨機(jī)地從{0,…,255}取任意值。被脈沖噪聲污染的圖像域Ωc假設(shè)是未知的，且Ωc的每個(gè)元素是由整個(gè)圖像域{1,…,d}通過(guò)一個(gè)選擇的給定概率0≤p≤1的伯努利試驗(yàn)所得到的。

去除高斯脈沖混合噪聲的算法可大致分為兩類：基于正則化的方法[1-5]和基于patch的方法[6-8]?；谙袼赜虻姆椒ń?jīng)常使用空間非線性濾波和/或概率/統(tǒng)計(jì)技術(shù)來(lái)同時(shí)去除高斯和脈沖噪聲?；谡齽t化的方法將降噪問(wèn)題看作最優(yōu)化問(wèn)題。圖像處理的正則項(xiàng)可以是全變分模型，小波框架系數(shù)的L1范數(shù)等等。基于patch的方法利用patch之間的相似性從而達(dá)到圖像處理的目的，因此，這種方法往往更復(fù)雜和計(jì)算昂貴。

變分模型在圖像恢復(fù)中的應(yīng)用是最廣的。最常用的一種變分模型是Rudin-Osher-Fatemi（ROF）模型。ROF在恢復(fù)具有分段時(shí)長(zhǎng)的圖像如二進(jìn)制圖像（文本和條碼）時(shí)十分有效。在ROF模型被提出之后，許多學(xué)者又衍生出了許多其他類型的變分模型。其中，基于小波框架的變分模型[9-11]被成功應(yīng)用于圖像恢復(fù)中。研究表明，基于小波框架的變分模型比其他變分模型如ROF模型更好，這是因?yàn)樾〔蚣艿亩喾直媛式Y(jié)構(gòu)和冗余。此外，Cai等[12]最近建立了小波框架和變分模型之間的聯(lián)系。這種聯(lián)系給出了基于小波框架的變分模型優(yōu)于其他某些變分模型的理論依據(jù)，即基于小波框架的變分模型可以根據(jù)潛在的解的奇點(diǎn)的順序，在給定圖像的不同區(qū)域中自適應(yīng)地選擇微分算子。最近，在小波緊框架的思想鼓舞下，Cai等[12]又基于圖像數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特征，提出了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架，該框架比以往的模型更能精確地重構(gòu)圖像。

本文采用基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架的變分模型去除灰色圖像中的高斯脈沖混合噪聲。其中，變分模型的擬合項(xiàng)由L1-L2范數(shù)項(xiàng)構(gòu)成，光滑項(xiàng)由包含小波框架的L1范數(shù)項(xiàng)構(gòu)成。本文又提出了ALM-APG（Augmented Lagrangian Method-Accelerated Proximal Gradient）算法解決該變分模型。最后，本文又進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)對(duì)所提出的模型和算法進(jìn)行了驗(yàn)證。

2 變分模型理論

圖像恢復(fù)問(wèn)題通常被看作反問(wèn)題。一個(gè)含有噪聲的圖像b∈Rn通常表示為原始未知圖像u∈Rn與噪聲ε的累加和，即

為了恢復(fù)原始未知圖像u，最常用的方法是解下面的變分模型

其中，R1(u)為擬合項(xiàng)，用于逼近含噪圖像；R2(u)為光滑項(xiàng)，用于保持圖像的邊界、紋路等細(xì)節(jié)。

一般地，光滑項(xiàng)R2(u)由強(qiáng)加于潛在的解的先驗(yàn)假設(shè)決定，這些假設(shè)的一個(gè)普遍應(yīng)用就是在某些變換域的潛在的解的稀疏性。這些變換通常是梯度變換，小波變換等。本文采用小波緊框架變換域的稀疏性作為潛在的解的先驗(yàn)假設(shè)。因此，我們?nèi)2(u)=‖Wu‖1，W是小波緊框架變換。

通常，數(shù)據(jù)擬合項(xiàng)R1(u)的選取依賴于指定的噪聲分布。例如，當(dāng)噪聲為加性高斯白噪聲時(shí)，R1(u)取

當(dāng)圖像被脈沖噪聲污染時(shí)，R1(u)取

但是，由于觀測(cè)圖像中的噪聲很少來(lái)源于單一分布，所以由給定的噪聲所設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)擬合項(xiàng)可能對(duì)混合噪聲不起作用。本文提出了一個(gè)簡(jiǎn)單的模型，可以有效地去除高斯脈沖混合噪聲。該模型表達(dá)式如下：

其中，λ1，λ2，ρ是非負(fù)參數(shù)，用于平衡擬合項(xiàng)和光滑項(xiàng)。

接下來(lái)，文中提出了一種解決該模型的新算法，即ALM-APG算法。對(duì)于該算法的介紹詳見(jiàn)第3節(jié)。雖然模型（6）看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但數(shù)值仿真結(jié)果表明，該模型，結(jié)合提出的數(shù)值算法，可有效地消除脈沖高斯混合噪聲。

3 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架

數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架根據(jù)輸入圖像的結(jié)構(gòu)特征，更加精確地稀疏逼近輸入圖像。Cai等[12]將數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架已經(jīng)成功應(yīng)用到了圖像恢復(fù)中。數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架的設(shè)計(jì)流程具體如下：

數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架

輸入：圖像g（未污染或污染）

主程序：

（II）fork=0,1,…,K-1do

通過(guò)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架，可以得到一組低通和高通濾波器。在此基礎(chǔ)上，可以建立緊框架分解算子和重構(gòu)算子。此部分的理論由Cai等[12]提出，故具體理論在此不多贅述。

4 ALM-APG算法

由于模型（6）是一個(gè)包含L1擬合項(xiàng)和L1光滑項(xiàng)的最小二乘問(wèn)題，所以該模型不能直接被傳統(tǒng)方法解決。鑒于此，本文采用ALM解模型（6），其內(nèi)子問(wèn)題由APG解決[13-14]。

首先，將模型（6）變形為如下問(wèn)題

接下來(lái)，通過(guò)引入新的變量z將模型（7）轉(zhuǎn)化為以下等價(jià)問(wèn)題：

ALM（Augmented Lagrangian Method），被廣泛用于解決凸規(guī)劃問(wèn)題。首先，定義與給定參數(shù)σ＞0相關(guān)聯(lián)的原問(wèn)題（P）的增廣拉格朗日函數(shù)：

利用ALM迭代主要解決以下內(nèi)部子問(wèn)題，即對(duì)于給定的yk∈Rm,σk＞0，尋找

首先考慮最小化z：

其中，η=σk(c-Au)+yk。并且，φε(t)是Huber函數(shù)，定義如下：

式（10）中關(guān)于u的最優(yōu)解z由下式給定

對(duì)于給定的非負(fù)向量ν∈Rn，軟閾值算子Sν:Rn→Rn表達(dá)式如下：

其次，應(yīng)用 APG（Accelerated Proximal Gradient）算法計(jì)算最優(yōu)值u，即解下列問(wèn)題：

h的梯度由下式給定：

這里，A列滿秩且h(x)為嚴(yán)格凸函數(shù)。因此，最小化問(wèn)題（2.19）有唯一解。

綜合ALM算法和APG算法，本文用ALM-APG算法解決原問(wèn)題（P）的流程總結(jié)如下：

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為對(duì)本文提出的去除脈沖高斯混合噪聲的模型與算法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，本小節(jié)共進(jìn)行了兩組數(shù)值實(shí)驗(yàn)，所選取的圖片分別為“Lena.png”和“Peppers.png”。高斯脈沖混合噪聲的參數(shù)分別?。悍讲?.1，脈沖占比40%。為了數(shù)值上強(qiáng)有力地說(shuō)明數(shù)值實(shí)驗(yàn)效果，本文選取評(píng)價(jià)指標(biāo)PSNR對(duì)圖像恢復(fù)效果進(jìn)行評(píng)價(jià)，PSNR表達(dá)式如下：

其中，u為原始圖像，u?為恢復(fù)圖像，N為像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

圖1 Lena圖像（第一行）與Peppers圖像（第二行）恢復(fù)效果圖（自左而右：原始圖像，含噪圖像，恢復(fù)圖像）

Lena圖像（第一行）與Peppers圖像（第二行）的PSNR值分別為30.97、29.78。由圖1和PSNR值，可以得出，本文所提的模型與算法能夠有效地去除高斯脈沖混合噪聲。

接下來(lái)，文中又將該方法與Model Outlier[15]和Gong[13]進(jìn)行了比較，具體的比較結(jié)果如表1所示。

表1 PSNR值對(duì)比表

由表1可以清晰地看出，本文所提出的方法優(yōu)越于其他兩種方法，能夠更加有效地去除圖像中的高斯脈沖混合噪聲。因此，該方法更適合在工程或者醫(yī)學(xué)圖像背景中應(yīng)用。

6 結(jié) 論

文中首先提出了一種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架的變分模型用于含有高斯脈沖混合噪聲的圖像恢復(fù)。然后又提出了ALM-APG算法用于解該模型。本文首次完成了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架與變分模型的結(jié)合，并且將所提出的模型應(yīng)用到了圖像恢復(fù)中。另外，數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明所提出的模型與算法能夠有效地進(jìn)行圖像恢復(fù)并且具有一定的實(shí)用性。這也說(shuō)明了本文所提的模型和算法適合向其他相似研究領(lǐng)域推廣。

[1]Dong B，Ji H，Li J，et al.Wavelet frame based blind image inpainting[J].Applied and Computational Harmonic Analysis，2012，32（2）:268-279.

[2]Li Y R，Shen L，Dai D Q，et al.Framelet algorithms for deblurring images corrupted by impulse plus Gaussian noise[J].IEEE Transactions on Image Processing A Publication of the IEEE Signal Processing Society，2011，20（7）:1822-37.

[3] Yan M.Restoration of Images Corrupted by Impulse Noise and Mixed Gaussian Impulse Noise using Blind Inpainting[J].SIAM Journalon Imaging Sciences，2013，6（3）:1227-1245.

[4]Dong B，Jiang Q T，Liu C Q，et al.Multiscale Representation ofSurfacesby TightWavelet Frames with Applications to Denoising[J]，Applied and Computational and Harmonic Analysis，2016，41（2）:561-589.

[5]Hao N，Dong B，F(xiàn)an J Q.Sparsifying the Fisher Linear Discriminant by Rotation[J]，Journal of the Royal Statistical Society Series B，2015，77（4）:827-851.

[6]Delon J，Desolneux A.A patch-based approach for removing mixed Gaussian-impulse noise[J].SIAM Journal on Imaging Sciences，2013，6（2），1140-1174.

[7]Liu J，Tai X C，Huang H，et al.A weighted dictionary learning model for denoising imagescorrupted by mixed noise[J].IEEE Transactions on Image Processing A Publication of the IEEE Signal Processing Society，2013，22（3）:1108-1120.

[8]Wang Y，Szlam A，Lerman G.Robust locally linear analysis with applications to image denoising and blind inpainting[J].SIAM Journal on Imaging Sciences，2013，6（1）:526-562.

[9]Osher St，Mao Y，Dong B，et al.Fast linearized Bregman iterations for compressive sensing and sparse denoising[J]，Communications in Mathematical Sciences，2010，8（1）:93-111.

[10]Cai J F，Osher S，Shen Z.Linearized Bregman Iterations for Frame-Based Image Deblurring[J].SIAM Journal on Imaging Sciences，2010，2（1）:226-252.

[11]CaiJ F，Shen Z.Image restorations:total variation，wavelet frames and beyond[J].Journal of the American Mathematical Society，2012，25（4）:1033-1089.

[12]Cai J F，Ji H，Shen Z，et al.Data-driven tight frame construction and image denoising [J].Applied and Computational Harmonic Analysis，2013，37（1）:89-105.

[13]Gong Z，Shen Z，Toh K C.Image Restoration with Mixed or Unknown Noises[J].SIAM Journal on Multiscale Modeling and Simulation，2014，12（2）:458-487.

[14]Yang J B，Wang C.A wavelet frame approach for removal of mixed Gaussian and impulse noise on surfaces[J]. Inverse Problems and Imaging，manuscript，2016.

[15]Dong B，Ji H，Li J，et al.Wavelet frame based blind image inpainting[J].Applied and Computational Harmonic Analysis，2012，32（2）:268-279.

Data?driven tight frame based image restoration

DU Lin，WANG Cong
（College of Science，Hohai University，Nanjing211100，China）

This paper proposed a data?driven tight based variational model to deal with image restoration with mixed Gaussian?impulse noise.This model consists of the fitting term withL1-L2norm and the smoothing term withL1norm.Then，we also proposed ALM?APG algorithm to solve this model.Finally，supporting numerical experiments were preformed，which verified that our model and algorithm are able to remove mixed Gaussian?impulse noise.

image restoration；mixed Gaussian?impulse noise；data?driven tight frame；ALM ?APG algorithm

TN919.8

A

1674-6236（2017）22-0178-04

2016-09-22稿件編號(hào)：201609200

中央高?；緲I(yè)務(wù)科研費(fèi)專項(xiàng)基金（2015B38014，2015B19514）

杜淋（1992—），女，貴州貴陽(yáng)人，碩士研究生。研究方向：小波分析及應(yīng)用、圖像處理。