陳新光 張 安

(福建師范大學(xué)附屬中學(xué)，福建 福州 350007)

2017年全國(guó)高考理綜(Ⅰ)第34題有多解嗎?

陳新光 張 安

(福建師范大學(xué)附屬中學(xué)，福建 福州 350007)

圍繞2017年全國(guó)高考理綜(I)卷第34題提供的標(biāo)準(zhǔn)答案展開(kāi),采用數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)證明和光學(xué)設(shè)計(jì)軟件Zemax進(jìn)行模擬驗(yàn)證其唯一性,并進(jìn)一步探討本題模型參數(shù)設(shè)置的合理性.

高考;標(biāo)準(zhǔn)答案;唯一性;光路模擬

每年高考物理試題的嚴(yán)謹(jǐn)性和合理性都備受關(guān)注.2017年全國(guó)高考理綜(Ⅰ)卷第34題的答案是否存在多解問(wèn)題一直困擾著學(xué)生和部分教師.針對(duì)這個(gè)疑惑,本文將通過(guò)數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)證明和利用光學(xué)設(shè)計(jì)軟件Zemax進(jìn)行光路模擬驗(yàn)證該題提供標(biāo)準(zhǔn)答案的唯一性,并進(jìn)一步探討本題模型參數(shù)設(shè)置合理性.

1 原題與解析

圖1 原題圖

原題.如圖1,一玻璃工件的上半部是半徑為R的半球體,O點(diǎn)為球心;下半部是半徑為R、高為2R的圓柱體,圓柱體底面鍍有反射膜.有一平行于中心軸OC的光線(xiàn)從半球面射入,該光線(xiàn)與OC之間的距離為0.6R.已知最后從半球面射出的光線(xiàn)恰好與入射光線(xiàn)平行(不考慮多次反射).求該玻璃的折射率.

圖2 解析圖

解析： 如圖2,根據(jù)光路的對(duì)稱(chēng)性和光路可逆性,與入射光線(xiàn)相對(duì)于OC軸對(duì)稱(chēng)的出射光線(xiàn)一定與入射光線(xiàn)平行.這樣,從半球面射入的折射光線(xiàn),將從圓柱體底面中心C點(diǎn)反射.

設(shè)光線(xiàn)在半球面的入射角為i,折射角為r.由折射定律有

sini=nsinr.

(1)

由正弦定理有

(2)

由幾何關(guān)系,入射點(diǎn)的法線(xiàn)與OC的夾角為i.由題設(shè)條件和幾何關(guān)系有

(3)

式中L是入射光線(xiàn)與OC的距離.由(2)(3)式和題給數(shù)據(jù)得

(4)

由(1)、(3)、(4)式和題給數(shù)據(jù)得

(5)

2 理論推導(dǎo)

圖3 非對(duì)稱(chēng)光路圖

如圖3所示,設(shè)光線(xiàn)從A點(diǎn)以θ1射入玻璃材料,折射角為α1,經(jīng)反射膜P點(diǎn)(任意點(diǎn))反射之后,在半球面B點(diǎn)以入射角為α2和折射角為θ2發(fā)生折射進(jìn)入空氣,且使得入射光線(xiàn)和出射光線(xiàn)保持平行.分別延長(zhǎng)入射光線(xiàn)交OE于E和反射膜MN于N,反向延長(zhǎng)出射光線(xiàn)交OF于F和反射膜MN于M.光線(xiàn)AP與輔助線(xiàn)AN的夾角為δ1,光線(xiàn)BP與輔助線(xiàn)BM的夾角為δ2.

由幾何關(guān)系可知:

δ1=θ1-α1,δ2=θ2-α2.

(1)

又由于在P點(diǎn)發(fā)生反射,且AN和BM都與P點(diǎn)法線(xiàn)平行,故

δ=δ1=δ2=θ1-α1=θ2-α2.

(2)

由折射定律可得，

在A點(diǎn):sinθ1=nsinα1.

(3)

在B點(diǎn):sinθ2=nsinα2.

(4)

將(2)式代入(3)和(4)式,

sinθ1=nsin(θ1-δ).

(5)

sinθ2=nsin(θ2-δ).

(6)

整理(5)、(6)式可得

(7)

進(jìn)一步整理,可得

tanθ1=tanθ2.

(8)

即在滿(mǎn)足本題背景下

θ1=θ2.

(9)

在滿(mǎn)足(9)式的出射光線(xiàn)可有以下兩種情況.

圖4 n=1時(shí)光路圖

情況1:光線(xiàn)原路返回到入射點(diǎn)A,如圖4所示.這種情況下折射率n=1.但在通常情況下認(rèn)為玻璃材料的折射率大于1,可忽略.

情況2:光線(xiàn)在反射膜的反射點(diǎn)必然在中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C上,而不可能出現(xiàn)在P點(diǎn)位置.入射光線(xiàn)和出射光線(xiàn)關(guān)于OC軸對(duì)稱(chēng),即標(biāo)準(zhǔn)答案提供的光路圖,此時(shí)玻璃折射率為1.43,滿(mǎn)足要求.

3 光路模擬

圖5 n=1.43模擬光路圖

本文采用光學(xué)設(shè)計(jì)軟件Zemax進(jìn)行模擬,當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)如表1所示時(shí),對(duì)應(yīng)光路圖如圖5所示.此時(shí),入射光線(xiàn)與光軸平行,出射光線(xiàn)與光軸的夾角為0.006°,可視為平行光出射.該數(shù)值模擬結(jié)果滿(mǎn)足題目要求,與理論計(jì)算結(jié)果一致.

表1 Zemax模擬系統(tǒng)設(shè)置參數(shù)

圖6 n=1.3模擬光路圖

當(dāng)介質(zhì)折射率n′不是1.43,且平行光入射時(shí),出射光線(xiàn)與光軸的夾角將會(huì)增大,即不是平行光出射.以折射率n′=1.3為例,將表1數(shù)據(jù)中的玻璃折射率1.43改為1.3,對(duì)應(yīng)的光路圖如圖6所示.此時(shí),入射光線(xiàn)與光軸平行,出射光線(xiàn)與光軸的夾角為6.0246°.

4 模型深究

根據(jù)近軸光學(xué)單個(gè)折射面的像方焦距公式為,[1]

(10)

式中n為入射介質(zhì)折射率,n′為出射介質(zhì)折射率,r為折射面曲率半徑.當(dāng)n和n′分別為1和1.43,r為10 mm時(shí),像方焦距f′為33.25 mm.在近軸近似情況下,通過(guò)公式(10)計(jì)算得到的像方焦距f′為33.25 mm與本題模型中OC距離為3r近似相等,即本題設(shè)中的3r可當(dāng)作是該折射面的像方焦距.

根據(jù)題意及單個(gè)反射面的性質(zhì),圖1表示的光路可等效為一個(gè)厚透鏡結(jié)構(gòu)且像方焦距等于物方焦距,即平行光入射必匯聚于焦點(diǎn)(圖1中的C點(diǎn)),從焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)過(guò)折射面后平行出射.厚透鏡結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示,對(duì)應(yīng)光路圖如圖7所示.

表2 厚透鏡結(jié)構(gòu)Zemax模擬設(shè)置參數(shù)

圖7 厚透鏡結(jié)構(gòu)光路圖

此時(shí),入射光線(xiàn)與光軸平行,出射光線(xiàn)與光軸的夾角為0.006°,即可認(rèn)為是平行光出射.由此可見(jiàn),筆者認(rèn)為本題背景可視為厚透鏡模型改造而來(lái),考查學(xué)生的對(duì)稱(chēng)性思想,實(shí)為一題融合經(jīng)典物理模型與核心素養(yǎng)考查的一道好題.

5 結(jié)論

針對(duì)2017年全國(guó)高考理綜(Ⅰ)卷第34題提供的標(biāo)準(zhǔn)答案唯一性的疑惑,本文利用數(shù)學(xué)公式證明和光學(xué)設(shè)計(jì)軟件Zemax進(jìn)行光路模擬的方法證實(shí)題目所給條件的科學(xué)性和標(biāo)準(zhǔn)答案的合理性.因此,筆者認(rèn)為本題提供的標(biāo)準(zhǔn)答案不存在多解情況.以上僅是筆者的一些拙見(jiàn),歡迎各位同仁批評(píng)指正.

1 李曉彤,岑兆豐.幾何光學(xué)·像差·光學(xué)設(shè)計(jì)(第2版)[M].杭州:浙江大學(xué)出版社, 2003: 14～15.

2017-06-12)