汪文+沙元霞

摘要： 本文以三圈圖中的特殊一類(lèi)為研究對(duì)象，描述了這類(lèi)三圈圖的構(gòu)造特點(diǎn)，通過(guò)代數(shù)學(xué)方法，研究了該圖類(lèi)的譜以及零度，并分析了具有這類(lèi)圖的生物結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。

Abstract： In this paper， we study a kind of three cyclic graphs. Firstly we give the structure of these graphs； Secondly， we study the nullity by algebra theorem； At the same time we analyze the stability of this kind of graphs.

關(guān)鍵詞： 三圈圖；懸掛點(diǎn)；零度

Key words： three cyclic graphs；one-valent vertices；nullity

中圖分類(lèi)號(hào)：O157.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2017）34-0223-02

0 引言

圖論作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)應(yīng)用廣泛的分支，其研究成果越來(lái)越多的被應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域中。其中關(guān)于圖的譜和零度的研究在生物領(lǐng)域以及化學(xué)領(lǐng)域中都具有十分重要的意義，尤其是圖的零度，能標(biāo)志著某種化學(xué)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。圖的譜是指圖的鄰接矩陣的特征值，而譜半徑是指所有特征值中絕對(duì)值的最大者，圖的零度是指圖的譜中零特征值的數(shù)目。在文獻(xiàn)[1] 中，已經(jīng)對(duì)三圈圖的結(jié)構(gòu)劃分為14類(lèi)，這里我們將借助三圈圖的分類(lèi)研究一種特殊三圈圖的零度性質(zhì)，并分析其穩(wěn)定性。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[2]：設(shè)G=（V，E）為一個(gè)簡(jiǎn)單圖，其頂點(diǎn)集為V={v1，v2，…，vn}，邊集為E。它的鄰接矩陣定義為n階矩陣A（G）=（aij），當(dāng)點(diǎn)vi與vj點(diǎn)相鄰時(shí)，aij=1；當(dāng)點(diǎn)vi與點(diǎn)vj不相鄰時(shí)，aij=0。

定義1.2[3]：圖G的鄰接矩陣A（G）的所有特征值的最大絕對(duì)值叫做圖G的譜半徑，記作？籽（G），圖G的零度用符號(hào)？濁（G）表示。

引理1.1[4]：設(shè)G含有1度頂點(diǎn)，若G的導(dǎo)出子圖H是通過(guò)刪除這個(gè)1度頂點(diǎn)及其鄰點(diǎn)所得到的，那么？濁（H）=？濁（G）。

引理1.2[4]：設(shè)r（A（G））表示A（G）的秩，則？濁（G）=n-r（A（G））。

2 圖的結(jié)構(gòu)

在眾多的三圈圖中，有一類(lèi)三圈圖同時(shí)含有C4，C5，C6由這三個(gè)圈所生成的三圈圖是構(gòu)成頭孢類(lèi)藥物的基本結(jié)構(gòu)，其化學(xué)結(jié)構(gòu)圖見(jiàn)圖1，下文中將其記為圖G。對(duì)于這類(lèi)圖，研究其譜及零度等性質(zhì)，對(duì)分析該種化學(xué)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性具有重要指導(dǎo)意義。

3 主要結(jié)果

定理3.1： 記圖G1滿(mǎn)足下列條件： ①G1是含有C4，C5，C6的三圈圖； ②C4，C6具有兩個(gè)公共頂點(diǎn)； ③C4，C5之間由P4進(jìn)行連接，則？濁（G1）=？濁（G）。

證明：

因?yàn)閳DG1是含有C4，C5，C6的三圈圖并且C4，C5之間有4長(zhǎng)路相連，則A（G1）=，其中分塊矩陣C1為由C5圈所構(gòu)成的鄰接矩陣，矩陣C2為由P4連接5長(zhǎng)圈和4長(zhǎng)圈所構(gòu)成的鄰接矩陣，矩陣C3為由具有兩個(gè)公共頂點(diǎn)C4，C6的構(gòu)成的鄰接矩陣；B=，D=。

記V2=V（G）-V（G1），由圖G1結(jié)構(gòu)可知，V2中的點(diǎn)為懸掛點(diǎn)。

應(yīng)用引理1.1，刪除掉V2中的一個(gè)懸掛點(diǎn)，則G（V1）相對(duì)應(yīng)的圖記為H1，則有？濁（H1）=？濁（G）；此時(shí)如果V2中仍然有懸掛點(diǎn)，則重復(fù)應(yīng)用引理1.1，在V2后，得到圖H，則有？濁（H）=？濁（G）；由于V2=V（G）-V（G1），因此？濁（G1）=？濁（G1）

證畢

定理3.2：若圖G1滿(mǎn)足下列條件：①G1是含有C4，C5，C6的三圈圖； ②C4，C6具有兩個(gè)公共頂點(diǎn)； ③C4，C5之間由P4進(jìn)行連接，則？濁（G1）=0

證明：考慮det（A（G1））=，因?yàn)镃1為由C5圈所構(gòu)成的鄰接矩陣，故按照矩陣C1的第一列進(jìn)行展開(kāi)，

A（G）==（-1），其中C4=

因?yàn)锽=，針對(duì)其矩陣特點(diǎn)，將其第一列進(jìn)行列變換并按照矩陣的第一列進(jìn)行展開(kāi)，可得det（A（G1））=，其中B12以及C12表示由矩陣B的第一列乘（-1）加到BT，C1的第4列，并進(jìn)行展開(kāi)后所得到的新矩陣。

因?yàn)镈=，針對(duì)其矩陣特點(diǎn)，將其第3行進(jìn)行行變換并按照矩陣D的第三列進(jìn)行展開(kāi)，可得det（A（G1））=，其中D13以及C33表示由矩陣D的第三行乘（-1）加到C3中所有第一列存在1的那些行，并進(jìn)行展開(kāi)后所得到的新矩陣。

因此，det（A（G1））被轉(zhuǎn)化為上三角矩陣，故det（A（G1））=CCC，其中這三個(gè)矩陣分別是圈的鄰接矩陣，故可得det（A（G1））≠0，即r（A（G1））為滿(mǎn)秩。

由引理1.2，可得？濁（G1）=n-r（A（G1））=0。

證畢

推論：已知圖G1的結(jié)構(gòu)如定理3.1所示，圖G是由C1增加若干懸掛點(diǎn)所生成的圖，則？濁（G）=0。

證明：由定理3.1可知，？濁（G）=？濁（G1），又由定理3.2可知？濁（G1）=0，故可得？濁（G）=0。

參考文獻(xiàn)：

[1]Chang-xiang He ， Yue Liu ， Jia-yu Shao ， On the spectral radius of bicyclic graphs[J]. ournal of Mathematics Research and Exposition，2007.

[2]Bondy J.A，Murty USR. GraphTheory and Applications[M].New York：Academic press，1976：4-15.

[3]C.Godsil ， G.Royle ， Algebraic Graph Theory[M]. Springer—Verlag， 2001.

[4]沙元霞 .一類(lèi)free圖極小零度的圖結(jié)構(gòu)[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，25（3）：77-78.endprint