景 弘，王思華

（蘭州交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，蘭州730070）

基于時(shí)域差分法的雷擊回?fù)敉ǖ乐車臻g電磁場(chǎng)研究

景 弘，王思華

（蘭州交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，蘭州730070）

由于雷擊回?fù)暨^程發(fā)生了強(qiáng)烈的電荷中和，會(huì)在周圍空間形成強(qiáng)烈的電磁脈沖，對(duì)各種電氣設(shè)備產(chǎn)生干擾。為此，對(duì)回?fù)敉ǖ乐車碾姶艌?chǎng)進(jìn)行模擬，提出了基于時(shí)域有限差分法的電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法。雷電流模型采用雙指數(shù)函數(shù)與Heidler函數(shù)組合的函數(shù)模型，回?fù)敉ǖ啦捎酶倪M(jìn)型的DU模型。將模擬的結(jié)果與已有文獻(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行比較，得出時(shí)域有限差分法在模擬雷擊回?fù)敉ǖ乐車姶艌?chǎng)上具有一定有效性。模擬結(jié)果表明：雷電回?fù)敉ǖ乐車臻g的電磁場(chǎng)受到回?fù)羲俣?、大地相?duì)介電常數(shù)、大地電導(dǎo)率等因素的影響。電場(chǎng)的初始峰值隨回?fù)羲俣鹊脑黾佣鴾p小，磁場(chǎng)隨回?fù)羲俣鹊脑龃笞兓淮?，只是略微有所上升；電?chǎng)隨著大地相對(duì)介電常數(shù)的增加而增加，波形變?cè)絹碓蕉盖?；電?chǎng)的初始峰值隨著電導(dǎo)率的減小而增大，波形上升變的越來越陡峭，這些模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)雷電電磁場(chǎng)變化是一致的。

雷電流模型；回?fù)敉ǖ溃焕纂婋姶艌?chǎng)；回?fù)羲俣龋淮蟮叵鄬?duì)介電常數(shù)；大地電導(dǎo)率

0 引言

雷電是一種常見的大氣放電現(xiàn)象，主要分為云層內(nèi)部，云層與云層之間，云層與大地間放電。其中，云層與大地間放電對(duì)人類生活危害最大。雷電放電時(shí)會(huì)在周圍產(chǎn)生強(qiáng)大的電磁感應(yīng)效應(yīng)、高電壓波入侵和電磁輻射效應(yīng)，對(duì)附近的建筑物、人員和電子設(shè)備構(gòu)成嚴(yán)重的威脅。因此，對(duì)雷電電磁脈沖進(jìn)行研究顯得尤為重要。傳統(tǒng)的雷電電磁場(chǎng)理論計(jì)算有Quasi-Images算法（也稱頻域法）和偶極子方法，偶極子方法中，將有限電導(dǎo)大地假定為理想導(dǎo)體，忽略了大地對(duì)雷電電磁場(chǎng)的影響，當(dāng)電磁場(chǎng)在有限電導(dǎo)的地面上傳播時(shí)，它的高頻分量會(huì)被有選擇地衰減，用偶極子方法得到的電磁場(chǎng)將會(huì)與實(shí)際的電磁場(chǎng)有較大的差異；頻域法考慮了大地電導(dǎo)率的影響，但是其公式中積分存在極點(diǎn)且收斂速度很慢，也很難用數(shù)值計(jì)算得到精確的結(jié)果。在過去10年，F(xiàn)DTD（時(shí)域有限差分法）作為麥克斯韋方程解的一種數(shù)值計(jì)算方法，贏得了極為廣泛的應(yīng)用，它是基于簡單的公式迭代，不需要復(fù)雜的漸進(jìn)逼近和格林函數(shù)，并且可以通過改變網(wǎng)格的大小來提高精度。

一直以來，人們對(duì)雷電電磁場(chǎng)進(jìn)行大量的研究，文獻(xiàn)[1-3]采用偶極子方法對(duì)Maxwell方程進(jìn)行求解，得到不同高度不同水平距離處雷電電磁場(chǎng)的分布規(guī)律，而對(duì)于雷電電磁場(chǎng)微分方程如何求解并沒有給出具體的方法。文獻(xiàn)[4-6]分析了幾種常用的閃電回?fù)艄こ棠Ｐ偷挠行?，得到MTLL回?fù)裟Ｐ途哂邢鄬?duì)更高的精確度和有效性，但是DU模型具有較為明確的物理意義，對(duì)DU模型加以改善將得到與實(shí)際模型相吻合的理論模型。文獻(xiàn)[7-13]采用時(shí)域有限差分法分析了雷電電磁場(chǎng)，但對(duì)雷電流的選型、雷電模型的選型并沒有給出具體的說明，仿真精度有待于提高。

筆者將基于DU模型研究雷電回?fù)敉ǖ乐車姶艌?chǎng)的分布規(guī)律，在求解電磁場(chǎng)微分方程時(shí)，采用時(shí)域差分法，對(duì)比偶極子方法，得到時(shí)域有限差分法的有效性，并分析了回?fù)羲俣龋蟮叵鄬?duì)介電常數(shù)，大地電導(dǎo)率對(duì)回?fù)敉ǖ乐車臻g電磁場(chǎng)的影響，這對(duì)于雷電防護(hù)及預(yù)防雷電電磁干擾具有指導(dǎo)意義。

1 通道雷電流選擇

目前回?fù)敉ǖ赖撞侩娏魍ǔ２捎秒p指數(shù)函數(shù)和Heidler函數(shù)來表示[14-15]，然而雙指數(shù)函數(shù)在初始時(shí)刻電流的導(dǎo)數(shù)最大，不符合閃電物理機(jī)制，Heidler函數(shù)不可直接積分，不便于雷電磁場(chǎng)的計(jì)算。這里對(duì)標(biāo)準(zhǔn)雷電流進(jìn)行拆分、擬合，得到下式雷電流函數(shù)：

式中前半部分表示擊穿電流，后半部分表示電暈電流，η為擊穿電流峰值的修正因子，τ1、τ2為時(shí)間常數(shù)，α為波頭衰減常數(shù)，β為波尾的衰減常數(shù)，IBD為擊穿電流的峰值，IC為電暈電流的峰值。對(duì)于擊穿電流和電暈電流相關(guān)參數(shù)典型的取值為：IBD=28 kA，τ1=0.0612 μs，τ2=15.2312 μs，α=198.5 μs，β=6.4125 μs，IC=20.5 kA。

由該函數(shù)得到典型回?fù)敉ǖ赖撞康睦纂娏骷捌鋵?dǎo)數(shù)波形如圖1所示。

圖1 回?fù)敉ǖ赖撞侩娏骷捌鋵?dǎo)數(shù)波形Fig.1 The bottom current and its derivative waveform of the return stroke

對(duì)比雷電流回?fù)敉ǖ乐械墓こ棠Ｐ蚚16-17]，發(fā)現(xiàn)DU模型具有較為明確的物理意義，其電磁場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果也能反映實(shí)測(cè)波形的大部分特征。DU模型的電流表達(dá)式如下：

式中，τD為電流放電時(shí)間常數(shù)，v為雷電流的傳播速度，一般?。?/3～1/2）c，c為光速。

將（1）式得到的回?fù)敉ǖ赖撞坷纂娏鞔胧剑?），得到回?fù)敉ǖ赖睦纂娏?，其波形如圖2所示。

圖2 DU回?fù)敉ǖ离娏鞑ㄐ蜦ig.2 The DU current waveform of the return stroke

2 空間電磁場(chǎng)計(jì)算

從Maxwell方程組出發(fā)，根據(jù)偶極子理論，可以推導(dǎo)出空間任意一點(diǎn)P（r，φ，z）的電磁場(chǎng)：

式中，r，φ，z分別為P點(diǎn)在柱坐標(biāo)系中的徑向坐標(biāo)，方位角和軸向坐標(biāo)；R為電流原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離，其中R=（（z-z’）2+r2）1/2；ε0，μ0和c分別為真空電導(dǎo)率、磁導(dǎo)率和光速；Er，Ez和Hφ分別為P點(diǎn)水平電場(chǎng)、垂直電場(chǎng)和磁場(chǎng)。（3）和（4）式的第一項(xiàng)為靜電場(chǎng)分量，第二項(xiàng)為感應(yīng)電場(chǎng)分量，第三項(xiàng)為輻射電場(chǎng)分量；（5）式第一項(xiàng)為感應(yīng)磁場(chǎng)分量，第二項(xiàng)為輻射磁場(chǎng)分量。圖3是基于偶極子理論的雷電回?fù)敉ǖ离姶艌?chǎng)計(jì)算模型。

圖3 雷電回?fù)敉ǖ赖奶炀€模型Fig.3 The antenna model of lightning return stroke channel

通過上面3個(gè)式子可知，空間任意一點(diǎn)電磁場(chǎng)即有與通道電流和電流導(dǎo)數(shù)有關(guān)的項(xiàng)，又有與電流對(duì)時(shí)間的積分有關(guān)的項(xiàng)，很難直接積分得到解析公式。因此，必須采用數(shù)值方法進(jìn)行計(jì)算。

3 雷電電磁場(chǎng)時(shí)域有限差分計(jì)算

20世紀(jì)60年代K.S.Yee提出了時(shí)域有限差分法，并首先運(yùn)用到解決電磁散射問題。時(shí)域有限差分法（FDTD）從Maxwell方程組出發(fā)，將時(shí)間和空間離散化，在時(shí)間和空間上構(gòu)建網(wǎng)格，用過去時(shí)刻的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量來計(jì)算下一時(shí)間步的電場(chǎng)磁場(chǎng)分量，進(jìn)而得到整個(gè)空間隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)。圖4是基于FDTD的計(jì)算模型。

圖4 雷電電磁場(chǎng)的計(jì)算模型Fig.4 The calculation model of lightning electromagnetic field

對(duì)于圖4雷電電磁場(chǎng)的計(jì)算模型，一般取雷電回?fù)敉ǖ栏叨菻=7.5 km，回?fù)羲俣葀=1.3×108，吸收邊界條件采用一階Mur吸收邊界條件。在圖5采用的二維坐標(biāo)系下，相應(yīng)的麥克斯韋方程組為：

圖5 二維雷電電磁場(chǎng)的FDTD模型Fig.5 Two dimensional FDTD model of lightning electromagnetic field

將上式的3個(gè)方程中心離散可以轉(zhuǎn)換為如下3個(gè)方程：

由于計(jì)算機(jī)內(nèi)存有限，時(shí)域差分問題的空間也是有限的，需要用特殊的邊界條件來截?cái)?，這里采用一階Mur吸收邊界條件，其對(duì)應(yīng)的表達(dá)式如下。

在z軸方向：

在r軸方向：

在軸線上的差分方程：

（1）如果為無源區(qū)域：

（2）如果為有源區(qū)域：

其中I（0，j+1/2）為在回?fù)敉ǖ栏叨葹棣（j+0.5）處的電流元。

在進(jìn)行時(shí)域有限差分法求解雷電流周圍空間的電磁場(chǎng)時(shí)，雷電流回?fù)敉ǖ啦捎肈U模型，通道基部電流采用雙指數(shù)函數(shù)和Heidler函數(shù)結(jié)合的函數(shù)表示，坐標(biāo)軸上空間間隔Δr=Δz=0.5 m，地面的電導(dǎo)率σ=2.5×10-4S/m，相對(duì)介電常數(shù)εr=10，計(jì)算距離雷電回?fù)敉ǖ纑=15 m處的垂直電場(chǎng)，垂直電場(chǎng)的波形圖如圖6所示。

通過對(duì)比圖6可以發(fā)現(xiàn)，（a）、（b）兩圖的波形幾乎一致，這就說明時(shí)域有限差分法在計(jì)算雷電空間電磁場(chǎng)的有效性。

為了進(jìn)一步說明FDTD有限差分法在計(jì)算雷電空間電磁場(chǎng)的正確性，這里分別用FDTD有限差分法和偶極子方法計(jì)算地面50 m的垂直電場(chǎng)和磁場(chǎng)，計(jì)算結(jié)果如圖7所示。

圖6 FDTD方法計(jì)算和來自文獻(xiàn)[13]實(shí)測(cè)的r=15 m處的電場(chǎng)Fig.6 Calculation of the electric field at r=15 m by the FDTD methodandTheelectricfieldfromther=15mmeasuredbythe[13]

圖7 地面50 m處切向磁場(chǎng)和垂直電場(chǎng)Fig.7 Tangential magnetic field on the ground 50 m and Vertical electric field at the ground 50 m

通過圖7可以看出，兩種方法的計(jì)算結(jié)果基本一致，這也進(jìn)一步說明時(shí)域有限差分法在計(jì)算雷電周圍空間電磁場(chǎng)的正確性。

4 基于FDTD的計(jì)算結(jié)果

從式（9）-（13）可以看出雷電周圍的電磁場(chǎng)與雷電流模型、通道高度、回?fù)羲俣?、大地介電常?shù)、大地電導(dǎo)率有著密切的關(guān)系。下面采用FDTD數(shù)值方法分析上述因素對(duì)雷電周圍空間電磁場(chǎng)結(jié)果的影響效果。圖8（a）、（b）是r=15 m處，回?fù)羲俣葀=1.5×108，1.9×108，2.1×108m/s時(shí)，電磁場(chǎng)的變化情況。

圖8 不同的回?fù)羲俣葧r(shí)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)Fig.8 Electric field at different speed of return stroke

從圖8（a）中可以看出回?fù)羲俣葘?duì)電場(chǎng)的影響較大，隨著回?fù)羲俣鹊脑龃?，電?chǎng)的初始峰值在減小，陡度在增大，說明電場(chǎng)的高頻分量在增大；從圖8（b）中可以看出回?fù)羲俣葘?duì)磁場(chǎng)的影響較小，隨著回?fù)羲俣鹊脑龃?，磁?chǎng)初始峰值有略微的上升，說明磁場(chǎng)的高頻分量在下降。這與實(shí)際觀察雷電電磁場(chǎng)變化是一致的。

為了分析大地相對(duì)介電常數(shù)，大地電導(dǎo)率對(duì)電場(chǎng)的影響效果，這里分別取大地相對(duì)介電常數(shù)εr=3，5，10、大地電導(dǎo)率σ=1×10-2，1×10-3，2.5×10-4S/m，運(yùn)用FDTD分析觀測(cè)點(diǎn)離場(chǎng)點(diǎn)r=15 m處電場(chǎng)的變化情況。圖8（c）、（d）是電場(chǎng)的變化情況。

從圖8（c）中可以看出相對(duì)介電常數(shù)對(duì)電場(chǎng)有一定的影響，隨著相對(duì)介電常數(shù)的增加，電場(chǎng)的初始峰值在增加，波形上升越來越陡峭，且上升的時(shí)間在下降；隨著大地電導(dǎo)率的增加，電場(chǎng)的初始峰值在下降，波形變得越來越陡峭，說明電場(chǎng)的高頻分量在增加。

5 結(jié)論

1）采用雙指數(shù)函數(shù)和Heidler函數(shù)組合表示的回?fù)敉ǖ阑侩娏髂Ｐ湍軌蚝芎玫姆从匙匀粭l件下雷電機(jī)理，方便計(jì)算回?fù)敉ǖ乐車臻g的電磁場(chǎng)；采用改進(jìn)型的DU回?fù)敉ǖ滥Ｐ?，能夠很好的再現(xiàn)雷電回?fù)魷y(cè)量場(chǎng)的4個(gè)特征，得出與實(shí)測(cè)結(jié)果相吻合的模型。

2）與傳統(tǒng)的偶極子方法相比，F(xiàn)DTD數(shù)值計(jì)算方法能夠很容易計(jì)算回?fù)敉ǖ乐車臻g的電磁場(chǎng)，并且隨著空間步長的縮小，計(jì)算結(jié)果的精度可以進(jìn)一步的提高。用FDTD計(jì)算的回?fù)敉ǖ乐車碾姶艌?chǎng)能夠反映回?fù)羲俣?、大地相?duì)介電常數(shù)、大地電導(dǎo)率等因數(shù)對(duì)電磁場(chǎng)的影響效果。

3）隨著回?fù)羲俣鹊脑黾?，r=15 m處電場(chǎng)初始峰值在下降，電場(chǎng)的高頻分量在增加；磁場(chǎng)隨回?fù)羲俣鹊脑黾幼兓淮螅跏挤逯抵皇锹晕⑸仙?；隨著相對(duì)介電常數(shù)的增加，電場(chǎng)的初始峰值逐漸增加，波形上升越來越陡峭；隨著大地電導(dǎo)率的增加，電場(chǎng)的初始峰值逐漸下降，波形也變得越來越陡峭，這與實(shí)測(cè)結(jié)果基本上是一致的。

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Research of Electromagnetic Field around the Lightning Return-Stroke Channel based on FDTD Method

JING Hong，WANG Sihua
（School of Automatic and Electrical Engineering,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China）

The electromagnetic pulse,caused by lightning,will be produced around the return stroke space during the process of Lightning discharge which disturbs electrical equipment.To this end,the elec?tromagnetic field around the channel is simulated,and the numerical method of electromagnetic field based on finite difference time domain method(FDTD)is proposed.The lightning current model adopts the function model of the combination of the double exponential function and the Heidler function,and the improved DU model is adopted for the lightning return-stroke channel.The simulation result is com?pared with existing literature,and obtained that the effectiveness of the FDTD method is effectiveness on simulating the electromagnetic field around the lightning return-stroke channel.The simulation result shows:The electromagnetic field around the lightning strikes channel is affected by the factors such as the speed of the return strike,the relative permittivity of the earth,the earth's conductivity and other fac?tors.The initial peak of the electric field decreases with the increase of the return strike speed,and the magnetic field increases little with the increase of the return strike speed.The electric field increases with the increase of the relative permittivity of the earth,and the wave shape becomes more and more steep.The initial peak of the electric field increases with the decrease of the conductivity,and the waveform will become steeper and steeper.The simulation results are consistent with the measured lightning electromag?netic field.

lightning current model；lightning return-stroke channel；lightning electromagnetic field；return stroke speed；relative permittivity of the earth；conductivity of the earth

10.16188/j.isa.1003-8337.2017.05.012

2016-06-02

景弘（1988—），男，碩士，研究方向：高電壓與絕緣技術(shù)。

國家自然科學(xué)基金（編號(hào):51567014）；中國鐵路總公司科技研究開發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目（編號(hào):2016J010－C）。