徐彥輝

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，浙江溫州 325035)

淺談數(shù)學(xué)推廣
——以若干不等式為例

徐彥輝

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，浙江溫州 325035)

推廣是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的一種基本方式，也是數(shù)學(xué)家研究和創(chuàng)造的一種基本手段和策略，沒(méi)有推廣就沒(méi)有數(shù)學(xué)的發(fā)展，推廣是引導(dǎo)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種重要手段.本文以兩道習(xí)題的解答與推廣為例，展示了數(shù)學(xué)推廣的基本形式與過(guò)程.并提出：好的推廣應(yīng)具有滿意的廣泛性，而又保留了有趣的實(shí)例的味道.好的數(shù)學(xué)推廣是一項(xiàng)綜合性較強(qiáng)、難度較大的創(chuàng)造性研究工作，需要具備一定的經(jīng)驗(yàn)和運(yùn)用科學(xué)的思維方法.

數(shù)學(xué)推廣；數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展；推廣的過(guò)程

推廣是數(shù)學(xué)研究的一種基本方法，也是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段.數(shù)學(xué)自身的發(fā)展很大程度上依賴于推廣.數(shù)學(xué)家從不滿足于局部范圍的統(tǒng)一，而總是通過(guò)推廣原有的概念和理論去尋求更大范圍內(nèi)的統(tǒng)一，發(fā)展和構(gòu)建新的理論.用數(shù)學(xué)家Pierce C. S.的話說(shuō)：“數(shù)學(xué)思想的一個(gè)特征是當(dāng)它不能推廣時(shí)，它就沒(méi)有成功”[1].一當(dāng)有必要，數(shù)學(xué)家們總是力圖使概念一般化（推廣）.數(shù)學(xué)研究工作者若能成功地推廣已有的理論或方法，則其研究就推進(jìn)了一步.數(shù)學(xué)能用這個(gè)方法擴(kuò)大其范圍，這一工作確實(shí)是無(wú)可限量的[2].綜觀整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)程，基本上就是一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)、理論和方法不斷推廣的過(guò)程.可以說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)的進(jìn)步，大都建立在把所獲得的原則加以推廣的過(guò)程上.推廣是促進(jìn)數(shù)學(xué)理論及其應(yīng)用適用范圍擴(kuò)大的一種有效手段，數(shù)學(xué)中許多新概念、新理論、新學(xué)科的形成和發(fā)展，大都展示出推廣方法的重要作用.

從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的歷史進(jìn)程來(lái)看，我們也可以發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)的進(jìn)步常常不是出自于新的概念，而是由于認(rèn)識(shí)到可以把舊概念推廣到用于新的情況.波利亞（Polya G.）曾把許多數(shù)學(xué)結(jié)果的發(fā)現(xiàn)歸因于“幸運(yùn)的推廣”，并指出：推廣對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展非常重要[3].推廣是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種基本目標(biāo)和手段，也是數(shù)學(xué)家研究和創(chuàng)造的一種基本策略.在一定程度上可以說(shuō)，沒(méi)有推廣就沒(méi)有數(shù)學(xué)的發(fā)展，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中絕對(duì)必須要具有善于推廣的意識(shí)和能力.張慧欣[4]舉例說(shuō)明了數(shù)學(xué)上推廣的兩種形式與技巧.朱華偉、張景中[5]舉例說(shuō)明了兩種類型的推廣.筆者[6]曾舉例分析了數(shù)學(xué)推廣的四種常見(jiàn)形式.本文將再以兩道數(shù)學(xué)習(xí)題的解答與推廣為例，進(jìn)一步論述數(shù)學(xué)推廣的基本形式與過(guò)程，并基于此談一點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)推廣的看法.

1 問(wèn)題1的解答及推廣

證明：由柯西不等式得

而

即

故

證明：由柯西不等式得

推廣2 設(shè)a, b, c∈R+，且求證

證明：由柯西不等式得

證明：由柯西不等式得

推廣4 設(shè)a, b, c∈R+，且求證

證明：由柯西不等式得

2 問(wèn)題2的解答及推廣

解：

（1）開(kāi)始.初看到這個(gè)問(wèn)題，想到運(yùn)用均值不等式，可是如何運(yùn)用均值不等式呢?想到設(shè)一個(gè)參數(shù)λ＞0，即即猜想可化為則必須有

因?yàn)?/p>

所以

又由柯西不等式得：

即

（4）得出結(jié)論（評(píng)價(jià)）.通過(guò)對(duì)原始問(wèn)題的解答，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，得到其變式和拓展問(wèn)題，這是數(shù)學(xué)家常用的一種思維方式，學(xué)生必須掌握和學(xué)會(huì)這種思維方式.由于推廣命題時(shí)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示，有些不太符合常規(guī)習(xí)慣，為此將推廣命題改為：若求證：

3 結(jié) 語(yǔ)

可見(jiàn)，作出一個(gè)推廣，其目的并不僅僅在于把更多的情況包括進(jìn)來(lái)，而且還在于把不必要的假設(shè)丟棄掉[7].這樣，就能進(jìn)一步突現(xiàn)其本質(zhì)特征和性質(zhì)（如問(wèn)題1與問(wèn)題2的推廣），致使其適用范圍將會(huì)更廣闊.但如果沒(méi)有新的想法而進(jìn)行推廣，那將只是沒(méi)有意義的玩弄，從而導(dǎo)致產(chǎn)生大量越來(lái)越多無(wú)用的定理.假如我們只是為了一般化而去尋求一般性，那么我們就誤解了這種趨勢(shì).這種廉價(jià)的一般化并沒(méi)有給數(shù)學(xué)增添實(shí)質(zhì)性的東西，而只不過(guò)是用水沖淡了美味和富有營(yíng)養(yǎng)的濃湯，如此而已[8]（如問(wèn)題1的推廣）.菲爾茨獎(jiǎng)獲得者高爾斯也指出[9]：“要將一個(gè)概念一般化，我們應(yīng)當(dāng)先找出與其相聯(lián)系的一些性質(zhì)，再將這些性質(zhì)進(jìn)行一般化.這樣做通常只有一種自然的方式，但有時(shí)，不同的性質(zhì)組合會(huì)導(dǎo)致不同的一般化，而多種一般化方法有時(shí)會(huì)碩果累累”.

好的推廣不是單純地將一個(gè)命題簡(jiǎn)單的一般化，而是抓住命題的本質(zhì)，用簡(jiǎn)單優(yōu)美的方法把其隱含的本質(zhì)規(guī)律揭示出來(lái)，把大量先天彼此毫無(wú)關(guān)系的個(gè)別情況加以綜合，這種有價(jià)值推廣所得的命題及其證法，往往不是簡(jiǎn)單照搬原命題而輕易得到，這種推廣要求在一般化的情景中提煉新想法而不是已有結(jié)論的規(guī)范化，需要具有深刻的洞察力和高度的抽象能力，還需要具有豐富的知識(shí)、理論、方法和工具（如問(wèn)題2的推廣）.好的推廣應(yīng)具有滿意的廣泛性，而又保留了有趣的實(shí)例的味道[10].好的推廣常能給人以啟迪，結(jié)果也往往十分有用.好的推廣（如問(wèn)題2的推廣）是不容易得到的，實(shí)踐中，所研究的對(duì)象如果彼此過(guò)分相似，它們的推廣就稍欠情趣.但是，對(duì)于彼此面貌迥異的對(duì)象，只要可以辨認(rèn)出它們共同的性質(zhì)，則推廣就非常有價(jià)值.

好的推廣（如問(wèn)題2的推廣）其實(shí)是一項(xiàng)綜合性較強(qiáng)、難度較大的創(chuàng)造性研究工作，它需要具有一定的經(jīng)驗(yàn)，需要充分科學(xué)地運(yùn)用模擬、抽象、聯(lián)想、想象、實(shí)驗(yàn)、猜想、歸納、類比等方法，通過(guò)抓住原命題的本質(zhì)特征，深入挖掘和發(fā)現(xiàn)隱含信息，進(jìn)一步將一類對(duì)象或情境轉(zhuǎn)換到另一類與之關(guān)聯(lián)的對(duì)象或一般化的情境中來(lái)，提出假設(shè)和新的構(gòu)思，并運(yùn)用科學(xué)的方式進(jìn)行驗(yàn)證，從而得到更深刻的數(shù)學(xué)命題[11].做“數(shù)學(xué)推廣”有時(shí)也是一種“好的”數(shù)學(xué)，需要具有一定的數(shù)學(xué)美的驅(qū)動(dòng)，才能發(fā)現(xiàn)隱藏在問(wèn)題中的數(shù)學(xué)模式，才能發(fā)現(xiàn)隱藏在問(wèn)題中的一種特征化性質(zhì)，通過(guò)改變這種特定的特征化性質(zhì)或聯(lián)系其他的問(wèn)題（如問(wèn)題2的推廣），就會(huì)產(chǎn)生一連串相應(yīng)的問(wèn)題（推廣）.只有長(zhǎng)期做這樣類似的工作，才能養(yǎng)成數(shù)學(xué)推廣的意識(shí)和能力，才能在新的情境中識(shí)別出有利于推廣的因素，抓住問(wèn)題的關(guān)鍵和本質(zhì)，嘗試推廣得到新的命題及其證明.

[1] 劉培杰.數(shù)學(xué)奧林匹克試題背景研究[M].上海：上海教育出版社，2006：272.

[2] 米山國(guó)蔵.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[M].毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986：23-24.

[3] Polya G. How to solve it [M]. 2nd ed. Princeton: Princeton University Press, 1957: 117.

[4] 張慧欣.淺談數(shù)學(xué)上的推廣[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2000，39（1）：17.

[5] 朱華偉，張景中.論推廣[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2005，44（4）：55-56.

[6] 徐彥輝.數(shù)學(xué)推廣及其常見(jiàn)形式舉例分析[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2010，49（4）：17-20.

[7] 戴維?蓋爾.蟻跡尋蹤及其他數(shù)學(xué)探索[M].朱惠霖，譯.上海：上海教育出版社，2001：224.

[8] H?外爾.詩(shī)魂數(shù)學(xué)家的沉思[M].袁向東，譯.南京：江蘇教育出版社，2008：196.

[9] 蒂莫西·高爾斯.數(shù)學(xué)[M].劉熙，譯.南京：譯林出版社，2014：84.

[10] Kapur J N.數(shù)學(xué)家談數(shù)學(xué)本質(zhì)[M].王慶人，譯.北京：北京大學(xué)出版社，1989：92.

[11] 熊光漢.推廣數(shù)學(xué)命題的幾種思考方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，1999（4）：15-17.

(編輯：封毅)

Brief Exploration on Mathematical Generalization——Take Several Inequalities as an Example

XU Yanhui
(College of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

Generalization is a kind of basic way of mathematical knowledge development and is also a common approach and strategy to research and even create mathematics by mathematicians. Without the generalization, there will be no development of mathematics. Generalization is an important means to guide the mathematical discovery. It is demonstrated in this paper that the basic form and process of the mathematical generalization based on the generalization of two mathematics problems. And the excellent generalization with satisfactory generality and full of the character of living examples. All in all, a perfect mathematical generalization is a kind of creative research work with stronger comprehensiveness and greater difficulty, thus such a job needs a certain experience as well as a scientific method of thinking.

Mathematical Generalization; Development of Mathematical Knowledge; Process of Generalization

O1-0

A

1674-3563(2017)04-0001-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.04.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2016-11-24

教育部人文社科2012年青年基金項(xiàng)目(12YJC880131)

徐彥輝(1975- )，男，江西豐城人，副教授，博士，研究方向：數(shù)學(xué)教育的理論與實(shí)踐