初穎，呂堂紅

（長春理工大學(xué) 理學(xué)院，長春 130022）

以滯量為參數(shù)的廣義Lienard方程的數(shù)值逼近

初穎，呂堂紅

（長春理工大學(xué) 理學(xué)院，長春 130022）

利用歐拉方法研究了對以滯量為參數(shù)的具有Hopf分支的廣義Lienard方程的數(shù)值逼近問題。首先，利用歐拉方法將得到的時(shí)滯差分方程表示為映射，然后以時(shí)滯r為分支參數(shù)，利用離散動(dòng)力系統(tǒng)的分支理論，在廣義Lienard方程具有Hopf分支的條件下，給出了差分方程Hopf分支存在的條件，及連續(xù)系統(tǒng)與其數(shù)值逼近間的關(guān)系，證明了當(dāng)該系統(tǒng)在r=r0產(chǎn)生Hopf分支時(shí)，其數(shù)值逼近也在相應(yīng)的參數(shù)rh處具有Hopf分支，并且rh=r0+o(h)，最后給出了一個(gè)數(shù)值仿真的例子，仿真結(jié)果表明Euler離散后的系統(tǒng)依舊保持了原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，從而驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性.

廣義Lienard方程；歐拉方法；Hopf分支；數(shù)值逼近

近年來，廣義Lienard方程解的型態(tài)受到許多學(xué)者的關(guān)注。而滯量是引起時(shí)滯微分方程和常微分方程差異的關(guān)鍵，因而，以滯量為參數(shù)研究Hopf分支問題是很有意義的。

關(guān)于系統(tǒng)（1）的Hopf分支問題，已經(jīng)有很多學(xué)者做了深入研究［1-3］。例如，1998年，文獻(xiàn)［1］以時(shí)滯r為參數(shù)研究了系統(tǒng)（1）的Hopf分支問題，證明了Hopf分支的存在性，同時(shí)給出了計(jì)算Hopf分支的公式；文獻(xiàn)［2］利用指數(shù)多項(xiàng)式的τ-D劃分法討論了系統(tǒng)（1）的以k為分支參數(shù)的Hopf分支問題；而文獻(xiàn)［3］則以參數(shù)b討論了系統(tǒng)（1）的Hopf分支情況，并給出了在r-b參數(shù)平面上的Hopf分支圖。

本文將利用歐拉方法，以滯量r為分支參數(shù)繼續(xù)討論系統(tǒng)（1）的Hopf分支的數(shù)值逼近問題。文獻(xiàn)［4-7］率先開始了對時(shí)滯Logistic方程Hopf分支的數(shù)值逼近問題的研究，并得到了一系列令人滿意的結(jié)果。所謂“數(shù)值逼近”，就是研究當(dāng)用數(shù)值方法對系統(tǒng)進(jìn)行離散化時(shí)，考察其數(shù)值解能否保持該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性的問題。

1 廣義Lienard方程的Hopf分支的存在性

對于系統(tǒng)（1），假設(shè)時(shí)滯r＞0為常數(shù)，f,g∈C2,并且g(x)滿足g(0)=0，xg(x)＞0。

記f(0)=a，g′(0)=b,并且a＞0,b＞0。

系統(tǒng)（1）等價(jià)于下面的二階時(shí)滯系統(tǒng)：

記?=y，再作時(shí)間變換t=rs，并將x(rs),y(rs)仍記為x(t),y(t)，則（2）化為其等價(jià)系統(tǒng)：

其中，線性部分為：

（4）的特征方程為：

引理1 設(shè)r為參數(shù)，則當(dāng)r=r0時(shí)，方程（3）有Hoof分支，其中r0滿足以下條件：

（i）方程（5）有一對共軛復(fù)根λ1,2=α(r)±iβ(r)，此處α,β是實(shí)數(shù)，且α(r0)=0，β(r0)=ω0＞0；

（ii）方程（5）在r=r0時(shí)的根，除λ(r0),λˉ(r0)外其余根都具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部；

2 廣義Lienard方程的Hopf分支的數(shù)值逼近

引入新向量Xn=(xn,yn,xn-1,yn-1,…,xn-m,yn-m)T，將（7）表示為

其中，F(xiàn)(x)=(F0,F1,…,Fm)T是一個(gè)2(m+1)維的向量值函數(shù)，即：

將（8）式在（0，0）處展開，

其線性部分為：

其中，

I為二階單位陣，

的特征方程為：

為了方便討論方程（3）的數(shù)值解的分支問題，引入下面方程：

類似于文獻(xiàn)［8］中的引理4.1，有引理2。

引理2 若特征方程（5）滿足條件（6），則D(μ,r,h)=0滿足：

（i）D(μ,r,h)=0 有一對共軛復(fù)根μ1,2=σ(r)±iω(r)；

（ii）存在rh滿足rh=r0+o(h)，σ(rh)=0,ω(rh)≠0 ；

證 明 ：（i-iii） 由 于D(μ,r,0)=d(μ,r) ，故D(iω0,r,0)=d(iω0,r). 在 (iω0,r0,0) 處

故dμ(iω0,r0)≠0.由隱函數(shù)存在定理，在 (r0,0)鄰域內(nèi)存在唯一函數(shù)σ(r,h),ω(r,h)使得μ1,2=

（iv）令 {μm},rm,hm使 得D(μm,rm,hm)=0,(rm,hm)∈N(r0,0),那么 |μm|一致有界。從而存在mj，使得μmj→μ0，rmj→r0，hmj→0。由D(μ0,r0,0)=0的連續(xù)性，有μ0=iω0,rh=r0。故：

從而引理3得證。

定理1 若微分方程（3）在r=r0處有Hopf分支，則當(dāng)步長h充分小時(shí)，差分方程（8）在rh=r0+o(h)處也產(chǎn)生Hopf分支。

3 數(shù)值模擬

本小節(jié)對系統(tǒng)（1）給出了一個(gè)數(shù)值仿真的例子。仿真結(jié)果表明Euler離散后的系統(tǒng)依舊保持了原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，從而驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性。

令f′(0)=a1=0.8，g′(0)=b=1.則系統(tǒng)（1）變?yōu)椋?/p>

此時(shí)系統(tǒng)（13）存在唯一平衡點(diǎn)E*=(0,0).由文獻(xiàn)［3］的定理4.1易計(jì)算：r0≈0.378 316 029 857 13,于是，系統(tǒng)（13）在r=r0處產(chǎn)生Hopf分支。

圖1 當(dāng)r=0.2＜r0時(shí)，系統(tǒng)（13）的相圖和波圖

圖2 當(dāng)r=r0時(shí)，系統(tǒng)（13）的相圖和波圖

圖3 當(dāng)r=0.55＞r0時(shí)，系統(tǒng)（13）的相圖和波圖

圖4 當(dāng)r=0.2＜r0,h=0.02時(shí)，離散系統(tǒng)（8）的相圖和波圖

圖5 當(dāng)r=r0,h=0.02時(shí)，離散系統(tǒng)（8）的相圖和波圖

圖6 當(dāng)r=0.55＞r0,h=0.02時(shí)，系統(tǒng)（8）的相圖和波圖

圖1-3分別表示未離散前解的系統(tǒng)（13）的波形圖及軌線圖。圖4-6分別表示用Euler法離散后的系統(tǒng)（8）的波形圖及軌線圖。從圖1中可以看出，當(dāng)r＜r0時(shí)系統(tǒng)零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的，從圖2可以看出r=r0時(shí)系統(tǒng)在原點(diǎn)處經(jīng)歷Hopf分支，并在平衡點(diǎn)附近有穩(wěn)定的分支周期解產(chǎn)生，從圖3可以看出當(dāng)r＞r0時(shí)系統(tǒng)零解不穩(wěn)定。由圖4-6可知，當(dāng)r＜r0時(shí)，系統(tǒng)（8）零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的，在r=r0附近時(shí)，有穩(wěn)定周期解產(chǎn)生，當(dāng)r＞r0時(shí)，系統(tǒng)（8）零解不穩(wěn)定，說明Euler離散后的系統(tǒng)（8）依舊保持了原系統(tǒng)（1）的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。

［1］唐風(fēng)軍，黃振勛，阮炯.以滯量為參數(shù)的廣義Lienard方程的Hopf分支［J］.數(shù)學(xué)年刊，1998，19A：（4）：469-476.

［2］馬蘇奇，陸啟韶.一類具有時(shí)滯的Lienard方程的Hopf分支［J］.中國農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，8（4）：1-4.

［3］唐明.具有限時(shí)滯的廣義Lienard方程的Hopf分［D］.長春：東北師范大學(xué)，2002.

［4］Lambert J D.Numerical method for ordinary differential equations［M］.Chichester：John Wiley，1991.

［5］Kazarino N，Wan Y H，Van den Driessche P.Hopf bifurcation and stability of periodic solutions of differential-difference and integro-differential equations［J］.Journal of the Institute of Mathematical Appliations，1978（21）：461-467.

［6］Halej，Lunel S V.Introduction to functional differential equations［M］.New York：Spring-Verlag，1993.

［7］Guckenheimer J，Holmes P J.No linear oscillations，dynamical systems and bifurcation of vector fields［M］.New York：Spring-Verlag，1983.

［8］Neville Ford，Volker Wulf.Numerical Hopf bifurcation for a class of delay differential equations［J］.JCAM，2000（115）：601-616.

Numerical Approximation of Generalized Lienard Equation with Delay As a Parameter

CHU Ying，LV Tanghong
（School of Science，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022）

The numerical approximation of the generalized Lienard equation which has Hopf bifurcations and with delay as parameter is considerd by using Euler method.Firstly，the delay deference equation obtained by using Euler method is written as a mapping.Then，under the condition that the generalized Lienard equation has Hopf bifurcation，by taking time delay ras the bifurcation parameter and using the bifurcation theory of discrete dynamical systems，we give the conditions for the existence of Hopf bifurcation of difference equations and the relationship between continuous system and numerical approximation of the continuous system，furthermore，we proved that the numerical approximation also has Hopf bifurcations at corresponding parametersrhand rh=r0+o(h)when the system has Hopf bifurcations atr=r0.Finally，an example of numerical simulation is given，the simulation results show that the system which is discretized by Euler till keeps the dynamical property of the original system，which verifies the correctness of the theoretical results.

the generalized Lienard equation；Euler method；Hopf bifurcation；numerical approximation

O175

A

1672-9870（2017）05-0128-04

2017-09-29

國家自然科學(xué)基金（10726062）

初穎（1984-），女，博士，講師，E-mail：chuying_12345@sina.com

呂堂紅（1979-），女，副教授，E-mail：lvtanghong@163.com