劉化普，劉慧卿，王敬，張快樂

（中國石油大學(xué)（北京）石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京102249）

微納米孔隙頁巖氣藏分形表觀滲透率計(jì)算模型

劉化普，劉慧卿，王敬，張快樂

（中國石油大學(xué)（北京）石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京102249）

微納米孔隙頁巖氣藏運(yùn)移機(jī)制多樣，孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜，分形理論能比較精確地描述復(fù)雜系統(tǒng)。基于單根直圓管質(zhì)量流量公式，推導(dǎo)出考慮迂曲分形維數(shù)的單根分形迂曲毛細(xì)管質(zhì)量流量表達(dá)式，進(jìn)一步推導(dǎo)出單位分形集內(nèi)考慮管徑分形維數(shù)與迂曲分形維數(shù)的總質(zhì)量流量表達(dá)式，從而獲得微納米孔隙頁巖氣藏分形表觀滲透率計(jì)算公式。通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，完成模型驗(yàn)證，對比分析文中模型與傳統(tǒng)模型的差異，進(jìn)行分形參數(shù)敏感性分析。結(jié)果表明：文中分形表觀滲透率計(jì)算模型計(jì)算結(jié)果略高于Javadpour模型，略低于Xiong X模型，但與實(shí)驗(yàn)結(jié)果最為接近；頁巖氣藏分形表觀滲透率隨有效壓力增大而逐漸減小，在壓力較低時，下降較快，壓力較高時，趨于平穩(wěn)；分形表觀滲透率受管徑分形維數(shù)與迂曲分形維數(shù)的影響，隨管徑分形維數(shù)的增大呈非線性增大，隨迂曲分形維數(shù)增大呈非線性減小。

頁巖氣藏；微納米孔隙；分形；運(yùn)移機(jī)制；表觀滲透率

0 引言

目前用來描述頁巖氣在微納米孔隙中運(yùn)移機(jī)制的模型主要為Javadpour模型、Civan模型和 DGM 模型［1-10］。然而，這3種模型均是只考慮了黏性流及Knudsen擴(kuò)散，且表觀滲透率是基于單根直毛細(xì)管模型推導(dǎo)得到，既沒有考慮吸附氣引起的表面擴(kuò)散的影響，也沒有考慮頁巖基質(zhì)毛細(xì)管孔徑復(fù)雜性的影響，勢必造成表觀滲透率預(yù)測結(jié)果不準(zhǔn)確。X.Xiong等［11］在Civan模型的基礎(chǔ)上得到的表觀滲透率計(jì)算公式，雖然考慮了表面擴(kuò)散，但也是在單根直毛細(xì)管和均勻直毛細(xì)管束的基礎(chǔ)上得到的，沒有考慮復(fù)雜毛細(xì)管徑及迂曲程度對計(jì)算結(jié)果的影響。

據(jù)研究，頁巖氣藏具有明顯的分形特征，分形理論恰好能對極度不規(guī)則、極度不均勻的復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行比較精確的描述［12-15］。分形通常被定義為“一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數(shù)個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀”［16-17］。陶軍等［18］雖然引入分形理論表征頁巖滲透率，但其考慮的頁巖運(yùn)移機(jī)制單一，無法完全描述頁巖孔隙氣體實(shí)際運(yùn)移特征。因此本文在前人研究基礎(chǔ)上，引入分形理論，考慮頁巖微納米孔道迂曲分形維數(shù)與管徑分形維數(shù)，表征頁巖儲層孔隙結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，推導(dǎo)出考慮黏性流、Knudsen擴(kuò)散及表面擴(kuò)散運(yùn)移機(jī)制的分形表觀滲透率計(jì)算模型，揭示頁巖氣藏在微納米孔隙中的運(yùn)移機(jī)制，進(jìn)一步認(rèn)識頁巖氣藏微觀滲流規(guī)律。

1 頁巖多尺度運(yùn)移機(jī)制

由于吸附層厚度的影響，游離氣有效流動半徑不再是頁巖氣藏微納米孔隙半徑，結(jié)合Langmuir等溫吸附定律，對氣體有效流動半徑進(jìn)行修正［11］：

式中：Re為有效孔道半徑，m；Rh為毛細(xì)管半徑，m；dm為氣體分子直徑，m；p為有效壓力，Pa；pL為Langmuir壓力，Pa。

1.1 黏性流

當(dāng)頁巖氣分子的平均自由程遠(yuǎn)小于頁巖孔隙直徑時，主要由頁巖氣分子間碰撞引起氣體運(yùn)移，此種運(yùn)移方式為黏性流，其質(zhì)量流量表達(dá)式為

式中：Jv為黏性流引起的質(zhì)量流量，kg/（m2·s）；ρg為氣體密度，kg/m3；Ki為多孔介質(zhì)固有滲透率，m2；μ為氣體黏度，Pa·s。

1.2 Knudsen擴(kuò)散

頁巖氣分子的平均自由程與頁巖孔隙直徑接近時，頁巖氣分子與壁面的碰撞引起氣體運(yùn)移，此種運(yùn)移方式為Knudsen擴(kuò)散，其質(zhì)量流量表達(dá)式為［19］

式中：JK為Knudsen 擴(kuò)散引起的質(zhì)量流量，kg/（m2·s）；M為摩爾質(zhì)量，kg/mol；DK為Knudsen 擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；CK為氣體濃度，mol/m3。由于，可得，因此Knudsen擴(kuò)散質(zhì)量流量也可表示為

式中：R為氣體常數(shù)，J/（mol·K）；Z為氣體壓縮系數(shù)。

1.3 表面擴(kuò)散

在頁巖儲層中，吸附氣體積通常占總孔隙體積的20%～85%，所以頁巖氣藏微納米孔隙中存在著吸附氣表面擴(kuò)散，表面擴(kuò)散質(zhì)量流量表達(dá)式為

式中：Js為表面擴(kuò)散引起的質(zhì)量流量，kg/（m2·s）；Ds為表面擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；Cs為吸附氣濃度，mol/m3。

若頁巖氣在微納米孔隙中滿足Langmuir等溫吸附定律，則：

式中：Csmax為最大吸附濃度，mol/m3。

表面擴(kuò)散質(zhì)量流量表達(dá)式也可表示為

1.4 單根微納米管中氣體質(zhì)量流量

由微納米孔隙頁巖氣藏運(yùn)移機(jī)制，可得單根微納米管中考慮黏性流、Knudsen擴(kuò)散、表面擴(kuò)散的總質(zhì)量流量的表達(dá)式：

將式（1）—式（7）代入式（8）可得：

2 分形表觀滲透率計(jì)算模型

頁巖孔隙大小分布與孔道迂曲程度可以用分形標(biāo)度律來描述［20-21］：

式中：Nc為孔道數(shù)目；λmax為最大孔道直徑，m；λ為孔道直徑，m；Dm為管徑分形維數(shù)；L為彎曲孔道長度，m；L0為外觀孔道長度，m；Dτ為迂曲分形維數(shù)。

用頁巖分形迂曲長度修正孔道外觀長度，可得考慮迂曲分形維數(shù)的單根彎曲毛細(xì)管質(zhì)量流量表達(dá)式：

由于孔道直徑λe=2Re，因此單根分形迂曲毛細(xì)管中質(zhì)量流量也可表示為

傳統(tǒng)頁巖孔隙模型多是均質(zhì)等徑毛細(xì)管模型，而實(shí)際頁巖孔道直徑是不規(guī)則的，本文采用分形迂曲毛細(xì)管模型描述頁巖微納米孔道的形態(tài)。模型考慮管徑分形維數(shù)、迂曲分形維數(shù)分別描述微納米孔隙毛細(xì)管管徑的復(fù)雜程度和彎曲復(fù)雜程度，模型中不同彎曲毛細(xì)管間彼此獨(dú)立，單根彎曲毛細(xì)管管徑相同。

單位橫截面積內(nèi)，微納米孔隙毛細(xì)管管徑從λe到λe+dλe無窮小范圍內(nèi)的孔道數(shù)目為

由式（12）可得到單根分形迂曲毛細(xì)管質(zhì)量流量的表達(dá)式，通過質(zhì)量流量積分，可得單位橫截面積內(nèi)總質(zhì)量流量計(jì)算公式：

將式（12），（13）代入到式（14）中，可得：

通過對式（15）進(jìn)行積分，可得單位面積內(nèi)微納米孔隙頁巖氣藏質(zhì)量流量表達(dá)式：

由等值滲流原理可知，必然存在一個等效滲透率（分形表觀滲透率），則氣體質(zhì)量流量可表示為

聯(lián)立式（16）與式（17），可得微納米孔隙頁巖氣藏分形表觀滲透率Kapp表達(dá)式：

3 分形表觀滲透率模型驗(yàn)證

本文基于文獻(xiàn)［22］中實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到頁巖巖心表觀滲透率與有效壓力關(guān)系的數(shù)據(jù)點(diǎn)，利用本文計(jì)算模型計(jì)算分形表觀滲透率隨有效壓力的變化，并且將本文模型、Javadpour模型、Xiong X模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比。

基于實(shí)驗(yàn)樣品基本參數(shù)（見表1），分別用本文分形模型、Javadpour模型及Xiong X模型計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算，并將對比結(jié)果繪于圖1中。

表1 實(shí)驗(yàn)巖樣及氣體物性參數(shù)

圖1 模型計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比

從對比結(jié)果可以看出，本文分形表觀滲透率計(jì)算模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)室測定結(jié)果基本一致。由于本文考慮了表面擴(kuò)散運(yùn)移機(jī)制，所計(jì)算滲透率略高于未考慮表面擴(kuò)散運(yùn)移機(jī)制的Javadpour模型；由于考慮了孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜特性，受孔道非均勻程度與迂曲程度的影響，所計(jì)算滲透率略低于均質(zhì)毛細(xì)管下的Xiong X模型。綜上說明，運(yùn)用本文計(jì)算模型可以對微納米孔隙頁巖氣藏表觀滲透率進(jìn)行計(jì)算，且計(jì)算精度較高。

4 分形參數(shù)敏感性分析

分形表觀滲透率計(jì)算模型計(jì)算結(jié)果受分形參數(shù)的影響，在通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證模型正確性的前提下，進(jìn)一步分析微納米孔隙頁巖氣藏表觀滲透率與分形參數(shù)之間的關(guān)系，明確管徑分形維數(shù)與迂曲分形維數(shù)對頁巖表觀滲透率的影響，進(jìn)行模型計(jì)算時，參數(shù)取值參照表1。

4.1 管徑分形維數(shù)

分別取管徑分形維數(shù) Dm=1.0，1.3，1.6，1.9，借助MATLAB編程，繪制不同管徑分形維數(shù)下頁巖氣藏分形表觀滲透率與有效壓力關(guān)系曲線，如圖2所示。

圖2 不同管徑分形維數(shù)下表觀滲透率與壓力關(guān)系

由圖2分析可得，微納米孔隙頁巖氣藏分形表觀滲透率隨有效壓力增大而逐漸減小，這是受應(yīng)力敏感效應(yīng)影響，隨著有效壓力增大，頁巖微納米孔隙受壓縮作用，孔道直徑減小，滲流阻力增大，導(dǎo)致滲透率下降。

管徑分形維數(shù)越大，表觀滲透率與有效壓力關(guān)系曲線位置越靠上，相同有效壓力下，表觀滲透率隨管徑分形維數(shù)的增大而增大。這是由于，管徑分形維數(shù)主要影響微納米孔隙大小分布。管徑分形維數(shù)越大，單位分形集內(nèi)微納米孔道數(shù)目越多，單位面積內(nèi)滲流阻力越小，導(dǎo)致表觀滲透率增大。

但是隨著管徑分形維數(shù)等間距增大，分形表觀滲透率并不是等間距上升，可見分形表觀滲透率與管徑分形維數(shù)并不是簡單的線性關(guān)系，因此繪制分形表觀滲透率與管徑分形維數(shù)關(guān)系曲線（見圖3），由此進(jìn)一步分析微納米孔隙頁巖氣藏分形表觀滲透率與管徑分形維數(shù)之間的關(guān)系。

圖3 Kapp與 Dm和 Dτ關(guān)系

分析圖3可得，分形表觀滲透率隨管徑分形維數(shù)的增大呈非線性增大，且增幅逐漸變大，遞增曲線呈凹形，管徑分形維數(shù)越接近2，其表觀滲透率增幅越明顯。由此說明管徑分形維數(shù)是影響分形表觀滲透率的主要參數(shù)，而管徑分形維數(shù)主要影響頁巖氣藏微納米孔道大小分布，說明微納米孔道大小分布影響頁巖氣藏表觀滲透率，因此在頁巖氣藏表觀滲透率計(jì)算過程中，不可忽略微納米孔隙孔道大小分布的復(fù)雜性。

4.2 迂曲分形維數(shù)

在前人研究過程中，通常籠統(tǒng)地引入迂曲度表征頁巖孔道迂曲長度，而實(shí)際頁巖氣藏孔道特征復(fù)雜多樣，迂曲度系數(shù)并不能表征頁巖儲層微納米孔道實(shí)際特征。本文引入迂曲分形維數(shù)表征頁巖微納米孔道迂曲程度的復(fù)雜性，研究微納米孔道迂曲特征對表觀滲透率的影響。分別取 Dτ=1.0，1.3，1.6，1.9，借助 MATLAB編程，繪制不同迂曲分形維數(shù)下頁巖氣藏分形表觀滲透率與有效壓力關(guān)系曲線，如圖4所示。

分析圖4可知：迂曲分形維數(shù)越大，表觀滲透率曲線位置越靠下；相同有效壓力下，表觀滲透率隨迂曲分形維數(shù)的增大而減小。這是由于迂曲分形維數(shù)主要影響微納米孔道的迂曲長度，孔道迂曲長度越大，滲流阻力越大，導(dǎo)致表觀滲透率減小。類似于管徑分形維數(shù)對表觀滲透率的影響，隨著迂曲分形維數(shù)等間距變化，分形表觀滲透率并不是等間距變化，因此繪制表觀滲透率與迂曲分形維數(shù)關(guān)系曲線（見圖3），進(jìn)一步分析分形表觀滲透率與迂曲分形維數(shù)之間的關(guān)系。

圖4 不同迂曲分形維數(shù)下表觀滲透率與壓力關(guān)系

由圖3可以看出，分形表觀滲透率隨迂曲分形維數(shù)的增大呈非線性減小，隨著迂曲分形維數(shù)增大，表觀滲透率下降幅度逐漸減小，遞減曲線呈凹形，說明迂曲分形維數(shù)與分形表觀滲透率呈負(fù)相關(guān)。而迂曲分形維數(shù)主要影響微納米孔道迂曲長度，說明微納米孔道迂曲長度對頁巖氣藏表觀滲透率有影響。結(jié)合前文管徑分形維數(shù)對表觀滲透率的影響，說明在頁巖氣藏表觀滲透率計(jì)算過程中，微納米孔隙結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性是一個不可忽略的因素。

5 結(jié)論

1）微納米孔隙頁巖氣藏運(yùn)移機(jī)制包括黏性流、Knudsen擴(kuò)散、表面擴(kuò)散等，本文基于頁巖氣藏微納米孔隙多重運(yùn)移機(jī)制，推導(dǎo)出考慮黏性流、Knudsen擴(kuò)散與表面擴(kuò)散的單根直圓管質(zhì)量流量表達(dá)式。

2）基于單根毛細(xì)管質(zhì)量流量表達(dá)式，引入分形理論，得出考慮迂曲分形維數(shù)的單根彎曲毛細(xì)管質(zhì)量流量表達(dá)式，進(jìn)一步推導(dǎo)出單位分形集內(nèi)考慮管徑分形維數(shù)與迂曲分形維數(shù)的總質(zhì)量流量表達(dá)式，從而獲得微納米孔隙頁巖氣藏分形表觀滲透率計(jì)算公式。

3）采用文獻(xiàn)［22］的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，完成模型驗(yàn)證。本文模型計(jì)算分形表觀滲透率略高于Javadpour模型，略低于Xiong X模型，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果最為接近。

4）通過分形參數(shù)敏感性分析表明，微納米孔隙頁巖氣藏分形表觀滲透率受管徑分形維數(shù)與迂曲分形維數(shù)的影響。表觀滲透率隨管徑分形維數(shù)的增大呈非線性增大，隨迂曲分形維數(shù)增大呈非線性減小。

［1］李亞洲，李勇明，羅攀，等.頁巖氣滲流機(jī)理與產(chǎn)能研究［J］.斷塊油氣田，2013，20（2）：186-190.

［2］胡璐宇，朱炎銘，周曉剛.寧武盆地構(gòu)造演化及頁巖氣成藏［J］.斷塊油氣田，2016，23（3）：290-293.

［3］王敬，羅海山，劉慧卿，等.頁巖氣吸附解吸效應(yīng)對基質(zhì)物性影響特征［J］.石油勘探與開發(fā)，2016，43（1）：145-152.

［4］封欽亞，許藝博，張欣，等.頁巖氣藏三重介質(zhì)模型壓力動態(tài)分析及其應(yīng)用［J］.斷塊油氣田，2015，22（5）：600-605.

［5］樊冬艷，姚軍，孫海，等.考慮多重運(yùn)移機(jī)制耦合頁巖氣藏壓裂水平井?dāng)?shù)值模擬［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，2015，47（6）：906-915.

［6］姚軍，孫海，樊冬艷，等.頁巖氣藏運(yùn)移機(jī)制及數(shù)值模擬［J］.中國石油大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，37（1）：91-98.

［7］劉化普.微納米孔隙頁巖氣藏表觀滲透率計(jì)算模型研究進(jìn)展［J］.中外能源，2017，22（2）：33-40.

［8］JAVADPOUR F.Nanopores and apparent permeability of gas flow in Mudrocks（Shales and Siltstone）［J］.Journal of Canadian Petroleum Technology，2009，48（8）：16-21.

［9］CIVAN F.Effective correlation of apparent gas permeability in tight porous media［J］.Transport in Porous Media，2010，82（2）：375-384.

［10］CLIFFORD K H，WEBB S W.Gas transport in porous media［J］.Encyclopedia of Ecology，2006，14（8/9）：3576-3582.

［11］XIONG X，DEVEGOWDA D，VILLAZON G G M，et al.A fullycoupled free and adsorptive phase transport model for shale gas reservoirs including non-darcy flow effects［R］.SPE 159758，2012.

［12］YANG F，NING Z，LIU H.Fractal characteristics of shales from a shale gas reservoir in the Sichuan Basin，China［J］.Fuel，2014，115（1）：378-384.

［13］TURCIO M，REYES J M，CAMACHO R，et al.Calculation of effective permeability for the BMP model in fractal porous media［J］.Journal of Petroleum Scienceamp;Engineering，2013，103（3）：51-60.

［14］CHANG J，YORTSOS Y C.Pressure-transient analysis of fractal reservoirs［J］.SPE Reservoir Evaluationamp;Engineering，1990，5（1）：31-38.

［15］LIU X，XIONG J，LIANG L.Investigation of pore structure and fractal characteristics of organic-rich Yanchang formation shale in central China by nitrogen adsorption/desorption analysis［J］.Journal of Natural Gas Scienceamp;Engineering，2015，22（7）：62-72.

［16］MANDELBROT B B，AIZENMAN M.Fractals：form，chance，and dimension［J］.Encyclopedia of Physical Scienceamp;Technology，1979，1（5）：185-207.

［17］劉化普，劉慧卿，王敬.縫洞型三重介質(zhì)油藏分形滲流規(guī)律［J］.新疆石油地質(zhì)，2017，38（2）：204-208.

［18］陶軍.頁巖氣分形滲流模型研究［D］.成都：西南石油大學(xué)，2014.

［19］FLORENCE F A，RUSHING J，NEWSHAM K E，et al.Improved permeability prediction relations for low permeability sands［J］.Rocky Mountain Oilamp;Gas Technology Symposium，2007.

［20］YU B，CHENG P.A fractal permeability model for bi-dispersed porous media［J］.International Journal of Heatamp;Mass Transfer，2002，45（14）：2983-2993.

［21］YU B.Analysis of flow in fractal porous media［J］.Applied Mechanics Reviews，2008，61（5）：1239-1249.

［22］陳志明，汪偉英，蔡雨桐，等.致密砂巖和頁巖滲透率實(shí)驗(yàn)研究［J］.斷塊油氣田，2013，20（1）：80-84.

（編輯 孫薇）

Fractal apparent permeability calculation model of micro/nano porous shale gas reservoir

LIU Huapu,LIU Huiqing,WANG Jing,ZHANG Kuaile
(MOE Key Laboratory of Petroleum Engineering,China University of Petroleum,Beijing 102249,China)

The micro/nano porous shale gas reservoirs have the characteristics of multiple migration mechanism and complex pore structure.However,fractal theory provides a method to describe the complex system.Therefore,fractal approach is introduced.According to single straight capillary mass flow formula,a fractal capillary mass flow formula that considers tortuosity fractal dimension was derived.And then,expression of total mass flow per unit area that considers tortuosity fractal dimension and diameter fractal dimension was obtained.Furthermore,a formula for calculating the apparent permeability of micro nano/pore gas reservoir was obtained.The model was verified by experimental data.The differences between the model and the traditional model were compared and analyzed.Finally,the sensitivity of fractal parameters was analyzed.The results show that fractal apparent permeability of this model is slightly higher than the Javadpour model and is slightly lower than the Xiong X model;however,it is the closest to the experimental results.Besides,the apparent permeability of shale gas reservoir decreases with the increase of effective stress.At lower pressures,the apparent permeability decreases rapidly with increasing pressure.When the pressure is high,the apparent permeability tends to be stable.Fractal apparent permeability is affected by tortuosity fractal dimension and diameter fractal dimension.The fractal apparent permeability increases nonlinearly with the increase of diameter fractal dimension,and decreases nonlinearly with the increase of tortuosity fractal dimension.

shale gas reservoir;micro/nano pore;fractal;migration mechanism;apparent permeability

國家科技重大專項(xiàng)專題“流固耦合作用下的致密氣藏滲流機(jī)理研究”（2016ZX05047-004-001）

TE312

A

10.6056/dkyqt201706021

2017-05-19；改回日期：2017-09-11。

劉化普，男，1993年生，在讀碩士研究生，研究方向?yàn)橛筒財(cái)?shù)值模擬與提高采收率。E-mail：liuhuapu@foxmail.com。

劉化普，劉慧卿，王敬，等.微納米孔隙頁巖氣藏分形表觀滲透率計(jì)算模型［J］.斷塊油氣田，2017，24（6）：831-835.

LIU Huapu，LIU Huiqing，WANG Jing，et al.Fractal apparent permeability calculation model of micro/nano porous shale gas reservoir［J］.Fault-Block Oilamp;Gas Field，2017，24（6）：831-835.