呂欣潤(rùn)，張士誠(chéng)，張勁，鐘子堯，廖凱

（中國(guó)石油大學(xué)（北京）石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249）

壓裂過程中瞬態(tài)井筒-地層耦合溫度場(chǎng)半解析模型

呂欣潤(rùn)，張士誠(chéng)，張勁，鐘子堯，廖凱

（中國(guó)石油大學(xué)（北京）石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249）

壓裂過程中，井筒溫度的變化會(huì)影響壓裂液到達(dá)井底時(shí)的流變性以及在地層中的濾失性，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)井筒及地層溫度分布可以指導(dǎo)施工方案的設(shè)計(jì)。關(guān)于壓裂過程井筒溫度場(chǎng)的研究主要集中在數(shù)值模型方面，目前還沒有合適的解析模型。文中在Hasan采氣井筒瞬態(tài)傳熱解析模型的基礎(chǔ)上建立了壓裂過程井筒瞬態(tài)傳熱方程，通過Laplace變換進(jìn)行求解，消除了Hasan采用穩(wěn)態(tài)假設(shè)求解溫度梯度所引起的高排量時(shí)的誤差，使之能夠準(zhǔn)確地模擬壓裂過程的瞬態(tài)井筒溫度。通過與Hasan模型和數(shù)值模型的對(duì)比，驗(yàn)證了該方程的準(zhǔn)確性。結(jié)果顯示，在相同精度下Hasan模型計(jì)算效率遠(yuǎn)高于數(shù)值模型。之后，通過將井筒瞬態(tài)解析解與地層二維瞬態(tài)傳熱數(shù)值解結(jié)合，建立了壓裂過程瞬態(tài)井筒-地層耦合溫度場(chǎng)半解析模型，并應(yīng)用該模型分析了排量及注入溫度對(duì)壓裂井筒-地層溫度場(chǎng)的影響。

壓裂；井筒；耦合溫度場(chǎng)；半解析解；瞬態(tài)

0 引言

隨著頁(yè)巖氣以及致密油氣資源的廣泛開發(fā)，儲(chǔ)層壓裂技術(shù)的地位和作用變得越來越重要。在壓裂施工過程中，壓裂液從井口注入地層，期間井筒與流體之間存在熱交換，壓裂液的溫度會(huì)發(fā)生變化，這對(duì)壓裂液的流變性［1-4］和濾失能力有明顯的影響［5］。目前關(guān)于井筒傳熱解析解的研究主要是基于Ramey提出的半穩(wěn)態(tài)方法［6］建立的，但Ramey模型中對(duì)井筒流體采用穩(wěn)態(tài)處理，對(duì)注入時(shí)間不敏感，因此無法給出早期精確解［7］。

Hasan和Kabir等學(xué)者修正了Ramey模型，建立了采出過程的井筒瞬態(tài)傳熱解析模型［8-11］，應(yīng)用于采氣井溫度預(yù)測(cè)，取得了良好的效果［12-13］。但Hasan等在求解井筒瞬態(tài)傳熱方程時(shí)，引入了穩(wěn)態(tài)假設(shè)求解溫度梯度，使其得到的解析解在高流速時(shí)計(jì)算的誤差較大，因此不適用于壓裂過程。本文在Hasan模型基礎(chǔ)上推導(dǎo)了壓裂過程井筒瞬態(tài)傳熱方程，應(yīng)用Laplace變換方法求解，避免了Hasan求解過程中的穩(wěn)態(tài)假設(shè)，建立了能夠模擬壓裂過程的瞬態(tài)井筒傳熱解析模型，并通過與數(shù)值方法對(duì)比，說明了模型的準(zhǔn)確性與優(yōu)越性。之后將井筒傳熱解析解與地層二維非穩(wěn)態(tài)傳熱方程結(jié)合，建立了壓裂過程瞬態(tài)井筒-地層耦合的半解析溫度場(chǎng)模型，并對(duì)排量和注入溫度進(jìn)行了參數(shù)分析。

1 壓裂過程中井筒瞬態(tài)傳熱解析解

1.1 壓裂過程井筒能量方程

壓裂過程中井筒及地層溫度場(chǎng)物理模型如圖1所示（井筒包括井筒內(nèi)流體及井筒介質(zhì)）。

圖1 物理模型

假設(shè)條件：1）各傳熱介質(zhì)以油管為中心成軸對(duì)稱分布；2）井筒內(nèi)為一維流動(dòng)，忽略軸向熱傳導(dǎo)；3）壓裂介質(zhì)為液體，不可壓縮，忽略壓力做功；4）注入方式為油管注入壓裂液，環(huán)空內(nèi)為靜止的水；5）井口壓裂液注入速率為恒定值；6）巖石物性均質(zhì)，且各向同性；7）初始時(shí)井筒內(nèi)流體靜止，且與地層溫度相同。

據(jù)能量守恒定律，可得到井筒瞬態(tài)傳熱方程［11，14-16］：

1.2 井筒流體傳熱方程Laplace求解

Hasan在求解過程中采用了穩(wěn)態(tài)假設(shè)來求解溫度梯度表達(dá)式，然后代入式（1）進(jìn)行常微分方程求解，最終得到式（1）的解析解（Hasan在文獻(xiàn)［11］給出的解僅適用于注入溫度等于入口初始溫度的情況。為適應(yīng)不同的入口溫度，在此作了修正，△T為入口初始溫度與注入溫度之差）為

穩(wěn)態(tài)假設(shè)的應(yīng)用使得Hasan解在預(yù)測(cè)壓裂井筒溫度時(shí)誤差偏大。式（1）是一個(gè)溫度關(guān)于時(shí)間和空間的一階偏微分方程，可通過Laplace變換轉(zhuǎn)化為常微分方程求解，這樣避免了Hasan方法中引入的穩(wěn)態(tài)假設(shè)。

為簡(jiǎn)化推導(dǎo)過程，對(duì)Tf作變量代換：f=Ti+gGsinθ-Tf，代入式（1）可得：

式（3）兩邊對(duì)f（t，z）取t的Laplace變換，并假設(shè)L［f（t，z）］=F（t，z），可得到Laplace空間的定解：

求解式（4）可得在Laplace空間下的解為

對(duì)式（2）兩邊進(jìn)行Laplace逆變換，可得壓裂過程瞬態(tài)井筒傳熱方程的解為

1.3 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文模型的正確性，對(duì)式（1）采用有限差分的方法進(jìn)行數(shù)值求解，離散格式為隱式迎風(fēng)格式，空間步長(zhǎng)10 m，時(shí)間步長(zhǎng)10 s。在輸入同樣的參數(shù)（見表1）下，本文解、Hasan解以及數(shù)值解結(jié)果對(duì)比見圖2。

表1 基礎(chǔ)參數(shù)

圖2 模型驗(yàn)證

從圖2a中可以看出，施工1000 s后，Hasan解計(jì)算的井筒溫度與原始地溫梯度相比變化很小，但注入排量3m3/min、注入1000 s時(shí)，壓裂液已到達(dá)井底。同時(shí)，考慮到對(duì)流換熱的效率遠(yuǎn)大于熱傳導(dǎo)，因此Hasan解與實(shí)際情況不符。而本文解和數(shù)值解計(jì)算的井筒溫度一致，在施工1000 s后井筒溫度已經(jīng)接近注入溫度，這與現(xiàn)場(chǎng)的經(jīng)驗(yàn)相符合。

從圖2b中可以看出，當(dāng)施工時(shí)間超過4d（3.5×105s）時(shí)，Hasan解計(jì)算的井底溫度與本文解接近，在此之前則差別較大，而本文解則在整個(gè)時(shí)段內(nèi)與數(shù)值解吻合。這說明，Hasan解預(yù)測(cè)長(zhǎng)期注入過程井筒溫度的結(jié)果是可靠的，但不適用于壓裂酸化等短期注入的施工過程。此外，從圖2b中還可以看出，在階躍函數(shù)躍變處，數(shù)值解與本文解差別較大。這是由于在此處解析解不可導(dǎo)，數(shù)值解只能通過相對(duì)光滑的曲線來逼近造成的，當(dāng)所取的計(jì)算步長(zhǎng)較大時(shí)，數(shù)值解誤差會(huì)顯著增加。

綜上所述，在不同的工況下，本文解與數(shù)值解均吻合，而Hasan解則在施工排量高，施工時(shí)間短時(shí)存在較大偏差，因此本文解更適用于壓裂施工過程井筒溫度計(jì)算。

1.4 模型精度及計(jì)算效率對(duì)比

數(shù)值算法能夠無限逼近方程的真實(shí)解，但它的精度受到計(jì)算步長(zhǎng)的限制，而解析解則對(duì)計(jì)算步長(zhǎng)不敏感，在大步長(zhǎng)的情況下仍能得到非常精確的結(jié)果。固定注入溫度為0℃，取不同的計(jì)算步長(zhǎng)分別應(yīng)用本文解析解和數(shù)值解進(jìn)行計(jì)算，得到的結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出，本文解析解在3種計(jì)算步長(zhǎng)下的結(jié)果幾乎重合，而數(shù)值解則隨著步長(zhǎng)的增大逐步偏離解析解的結(jié)果，最大步長(zhǎng)下數(shù)值解的最大誤差達(dá)到了10℃。

圖3 入口0℃時(shí)不同步長(zhǎng)計(jì)算結(jié)果對(duì)比

減小步長(zhǎng)可以增加數(shù)值解的精度，但會(huì)顯著增加計(jì)算成本。計(jì)算步長(zhǎng)為η=0.5 m，τ=0.05 s時(shí)，計(jì)算所需時(shí)間為21779.04 s，比計(jì)算步長(zhǎng)為η=10 m，τ=10 s時(shí)所需的時(shí)間（4.55 s）增加了近5000倍。而本文解析解精度不受計(jì)算步長(zhǎng)影響，因此在取得相同精確度情況下，本文解的計(jì)算效率遠(yuǎn)高于數(shù)值解。

2 地層二維瞬態(tài)傳熱方程

仍考慮地層為徑向軸對(duì)稱分布（見圖1），并假設(shè)：1）地層為徑向和軸向二維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)；2）地層內(nèi)不存在流體流動(dòng)；3）地層物性參數(shù)均質(zhì)且各向同性。

根據(jù)能量守恒原理，可以得到地層傳熱方程及邊界條件為

根據(jù)r=rh處的邊界條件可以將井筒傳熱方程與地層傳熱方程耦合起來。井筒傳熱方程采用本文解析解進(jìn)行求解，地層傳熱方程采用數(shù)值方法求解，建立井筒-地層耦合溫度場(chǎng)半解析模型。

3 參數(shù)分析

3.1 排量影響

根據(jù)表1的輸入數(shù)據(jù)，改變注入排量進(jìn)行模擬，將達(dá)到穩(wěn)定的條件設(shè)為

圖4a顯示：排量從1m3/min增大到9m3/min時(shí)，井底穩(wěn)定溫度只降低了13.34%（3.91℃），但穩(wěn)定時(shí)間減小了80.37%（86 min）。這是因?yàn)椋壕材芰糠匠讨?，熱?duì)流效應(yīng)占主導(dǎo)地位，即使排量較小時(shí)，井底穩(wěn)定溫度也會(huì)與注入溫度比較接近，但排量的增加會(huì)明顯加快注入流體流向井底的速度；因此，穩(wěn)定時(shí)間會(huì)大幅縮短，而井底穩(wěn)定溫度和穩(wěn)定時(shí)間隨排量的增加都會(huì)趨于定值。

不同排量下井底附近地層溫度分布如圖4b所示。隨著排量的增加，地層溫度有所降低，但排量從1m3/min升至9m3/min時(shí)，地層溫度最大降幅僅為1.8℃，而溫度波及范圍基本一致，因此排量對(duì)地層溫度的影響很小。

圖4 排量對(duì)壓裂井筒溫度場(chǎng)的影響

3.2 注入溫度影響

根據(jù)表1的輸入數(shù)據(jù)，改變注入溫度分別進(jìn)行模擬。圖5a顯示，在對(duì)流傳熱占主導(dǎo)的井筒傳熱過程中，隨著注入溫度的改變，井底穩(wěn)定溫度變化明顯。注入溫度的提高，井筒流體與地層溫差減小，穩(wěn)定時(shí)間下降。隨著注入溫度的升高，井口到井底的升溫幅度減小。這是由地層溫度與流體之間溫差縮小，熱傳導(dǎo)效率降低導(dǎo)致的。

圖5b為不同注入溫度下井底附近地層的溫度。從圖中可以看出，由于注入溫度的不同使得井筒與地層交界處的溫差變化較大，注入溫度為0與40℃時(shí)井底處井筒相鄰地層的溫差可達(dá)17.7℃。而由于地層傳熱較慢，井筒溫度在地層中的波及范圍變化不大。

圖5 注入溫度對(duì)壓裂井筒溫度場(chǎng)的影響

4 結(jié)論

1）應(yīng)用Laplace變換得到了壓裂過程井筒瞬態(tài)傳熱解析解，并與Hasan解和數(shù)值解進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果顯示：Hasan解得到的溫度變化緩慢，不符合壓裂過程井筒溫度變化實(shí)際情況；而本文解與數(shù)值解的計(jì)算結(jié)果一致，均能較好地反映壓裂過程中快速對(duì)流引起的溫度變化，且在相同精度下，本文解在計(jì)算效率上明顯優(yōu)于數(shù)值解。

2）根據(jù)地層二維瞬態(tài)傳熱方程推導(dǎo)了地層溫度場(chǎng)模型，并通過邊界條件將其與井筒瞬態(tài)傳熱方程耦合，利用本文解析方法對(duì)井筒溫度場(chǎng)進(jìn)行求解，利用數(shù)值方法對(duì)地層溫度場(chǎng)進(jìn)行求解，建立了壓裂過程瞬態(tài)井筒-地層耦合溫度場(chǎng)半解析模型。

3）應(yīng)用半解析模型對(duì)注入排量和注入溫度的敏感性分析顯示：排量增加，會(huì)降低井底穩(wěn)定溫度和穩(wěn)定時(shí)間，但對(duì)地層溫度分布影響較??；注入溫度增加，會(huì)明顯增大井底穩(wěn)定溫度及井底附近地層溫度，同時(shí)縮短穩(wěn)定時(shí)間，但溫度在徑向方向的傳播范圍變化不大。

5 符號(hào)注釋

η為空間步長(zhǎng)，τ為時(shí)間步長(zhǎng)；Tf為流體溫度，℃；CT為熱存儲(chǔ)系數(shù)；θ為井筒與水平面夾角，（°）；m為單位長(zhǎng)度上的流體質(zhì)量，kg/m；w為質(zhì)量流量，kg/s；Ti為井口原始地層度，℃；LR為松弛距離，m-1；cp為壓裂液定壓比熱容，J/（kg·℃）；z為井筒深度，m；t為時(shí)間，s；gG為地溫梯度，℃/m； Te為地層溫度，℃；Tei為地層初始溫度，℃；r為地層徑向距離，m；ρe為地層有效密度，kg/m3；ce為地層有效比熱容，J/（kg·℃）；Ke為地層導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·℃）；rh為水泥環(huán)外徑，m；Th為水泥環(huán)與地層交界面溫度，℃。

［1］米強(qiáng)波，伊向藝，羅攀登，等.塔中超深致密砂巖油藏水平井分段壓裂技術(shù)［J］.西南石油大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，37（2）：144-188.

［2］韓烈祥，朱麗華，孫海芳，等.LPG無水壓裂技術(shù)［J］.天然氣工業(yè)，2014，34（6）：48-54.

［3］宋振云，蘇偉東，楊延增，等.CO2干法加砂壓裂技術(shù)研究與實(shí)踐［J］.天然氣工業(yè)，2014，34（6）：55-59.

［4］陳林，孫雷，彭彩珍，等.注 CO2井溫剖面分布規(guī)律模擬研究［J］.斷塊油氣田，2009，16（6）：82-84.

［5］張燁，楊勝來，焦克波.塔河油田超大型復(fù)合酸壓降濾失技術(shù)研究［J］.西南石油大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，36（3）：121-126.

［6］RAMEY H J.Wellbore heat transmission［J］.Journal of Petroleum Technolog，1962，14（4）：427-435.

［7］趙金洲，彭瑀，李勇明，等.基于雙層非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的井溫剖面半解析模型［J］.天然氣工業(yè)，2016，36（1）：68-75.

［8］HASAN A R，KABIR C S.Determination of static reservoir temperature from transient data following mud circulation［J］.SPE Drillingamp;Completion，199，9（1）：17-24.

［9］HASAN A R，KABIR C S，ZHU D.Analytic wellbore temperature model for transient gas-well testing ［J］.SPE Reservoir Evaluationamp;Engineering，2005，8（3）：240-247.

［10］HASAN A R，KABIR C S.Modeling two-phase fluid and heat flows in geothermal wells［J］.Journal of Petroleum Science and Engineering，2010，71（1/2）：77-86.

［11］HASAN A R，KABIR C S.Wellbore heat-transfer modeling and applications［J］.Journal of Petroleum Science and Engineering，2012，87（5）：127-136.

［12］HASAN A R，KABIR C S，WANG X.A robust steady-state model for flowing-fluid temperature in complex wells［J］.SPE Productionamp;Operations，2009，24（24）：269-276.

［13］NOJABAEI B，KABIR C S.Establishing key reservoir parameters with diagnostic fracture injection testing［J］.SPE Reservoir Evaluationamp;Engineering，2012，15（5）：563-570.

［14］唐海雄，張俊斌，王堂青等.海上高溫油井的井筒溫度剖面預(yù)測(cè)［J］.大慶石油學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，34（3）：96-100.

［15］DROPKIN D，SOMERSCALES E.Heat transfer by nature convection in liquids confined by two parallel plates which are inclined at various angles with respect to the horizontal［J］.Journal of Heat Transfe，1965，87（1）：77-82.

［16］陳林.注CO2井筒及油層溫度場(chǎng)分布規(guī)律模擬研究［D］.成都：西南石油大學(xué)，2008.

（編輯 徐深謀）

Transient semi-analytic model for wellbore-formation temperature of fracturing management

LYU Xinrun,ZHANG Shicheng,ZHANG Jin,ZHONG Ziyao,LIAO Kai
(MOE Key Laboratory of Petroleum Engineering,China University of Petroleum,Beijing 102249,China)

The rheological and filtration properties of the fracturing fluid could be affected heavily by the variation of the wellbore temperature during fracturing.Accurate prediction of wellbore and formation temperature can be used to guide the scheme of fracturing.Nowadays,the research is focused on the numerical aspects and there is still a lack of an appropriate transient analytical method to model the temperature variation of the fracturing process.In this paper,a transient heat transferring model for production process established by Hasan was modified into a model for fracturing process.And the Laplace method is used here to solve the model,which eliminates the error of the Hasan′s model in light of the removal of the steady assumption when solving the gradient of temperature.The validation of the model is verified by comparing Hasan′s model with numerical model.The results also show that the efficiency of our model is much better than numerical method under the same accuracy.A semi-analytical temperature prediction model for fracturing process is established based on our wellbore analytical model and two-dimensional transient heat transfer equation of formation.Then the effects of the injection rate,injection temperature and thermal-storage parameter on the temperatures of wellbore and formations are analyzed by the semi-analytical model.

fracturing;wellbore;coupledtemperature;semi-analyticsolution;transient

中國(guó)石油天然氣股份公司項(xiàng)目“致密砂巖油藏超臨界CO2壓裂增產(chǎn)機(jī)理與工藝技術(shù)研究”（JS14-W-14-JZ-10-17）

TE357.1+4

A

10.6056/dkyqt201706019

2017-06-14；改回日期：2017-09-23。

呂欣潤(rùn)，男，1991年生，在讀博士研究生，主要從事油氣田儲(chǔ)層改造技術(shù)研究。E-mail：1094301159@qq.com。

呂欣潤(rùn)，張士誠(chéng)，張勁，等.壓裂過程中瞬態(tài)井筒-地層耦合溫度場(chǎng)半解析模型［J］.斷塊油氣田，2017，24（6）：822-826.

LYU Xinrun，ZHANG Shicheng，ZHANG Jin，et al.Transient semi-analytic model for wellbore-formation temperature of fracturing management［J］.Fault-Block Oilamp;Gas Field，2017，24（6）：822-826.