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(1.河海大學(xué) a.水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室; b.水資源高效利用與工程安全國家工程研究中心,南京 210098; 2.上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院 水利水運(yùn)設(shè)計(jì)研究院，上海 200092)

一種空間誤差模型在混凝土拱壩變形預(yù)測中的應(yīng)用

胡添翼1a,1b,2,許樸2

(1.河海大學(xué) a.水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室; b.水資源高效利用與工程安全國家工程研究中心,南京 210098; 2.上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院 水利水運(yùn)設(shè)計(jì)研究院，上海 200092)

混凝土拱壩作為一種高次超靜定結(jié)構(gòu),具有較強(qiáng)的自適應(yīng)性和整體性，但傳統(tǒng)混凝土拱壩變形統(tǒng)計(jì)模型主要考察單個(gè)測點(diǎn)的變形序列，不能體現(xiàn)不同測點(diǎn)之間的相互作用?；趥鹘y(tǒng)混凝土拱壩變形統(tǒng)計(jì)模型，用空間計(jì)量方法挖掘了拱壩不同測點(diǎn)同一時(shí)刻誤差項(xiàng)空間面板數(shù)據(jù)的空間關(guān)聯(lián)特性；進(jìn)一步采用空間面板自回歸模型擬合變形序列誤差項(xiàng)面板數(shù)據(jù)，建立了混凝土拱壩變形預(yù)測空間誤差模型。小灣拱壩壩體34個(gè)監(jiān)測點(diǎn)水平向變形監(jiān)測序列分析結(jié)果表明：誤差面板數(shù)據(jù)之間存在很強(qiáng)的正空間關(guān)聯(lián)性質(zhì)，空間誤差模型的預(yù)測效果優(yōu)于傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型，具有一定應(yīng)用前景。

混凝土拱壩；空間面板數(shù)據(jù)；空間誤差模型；空間自相關(guān)；變形預(yù)測

1 研究背景

應(yīng)力和變形觀測數(shù)據(jù)是了解水工建筑物運(yùn)行工況的重要參考，兩者之中又以變形觀測數(shù)據(jù)最可靠直觀[1]，直接表征大壩安全狀態(tài)?；炷凉皦巫鳛橐环N高次超靜定空間殼體結(jié)構(gòu)[2]，其變形預(yù)測相當(dāng)復(fù)雜。常用的拱壩變形預(yù)測模型主要有變形統(tǒng)計(jì)模型、變形確定性模型和變形混合模型[3]。其中，變形統(tǒng)計(jì)模型[4-6]在實(shí)際中應(yīng)用最為廣泛，主要根據(jù)力學(xué)及壩工原理推導(dǎo)變形的多參數(shù)表達(dá)式；變形確定性模型則建立大壩結(jié)構(gòu)計(jì)算分析模型，采用數(shù)值仿真等方法對大壩進(jìn)行計(jì)算和反演[7]獲得相應(yīng)系數(shù)；變形混合模型一部分因子采用確定模型，一部分因子采用統(tǒng)計(jì)模型，最終確定模型的表達(dá)式[8]。

近年來，隨智能算法的進(jìn)一步發(fā)展，新的預(yù)測模型不斷涌現(xiàn)，如謝國權(quán)等[9]用小波變換提取影響大壩變形的主要因子，建立了拱壩變形BP監(jiān)控預(yù)測分析網(wǎng)絡(luò)模型；殷詳詳?shù)萚10]以HDNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型為基礎(chǔ)，運(yùn)用馬爾科夫鏈對殘差進(jìn)行計(jì)算和狀態(tài)劃分，改善了模型精度。但這些算法主要考察單個(gè)測點(diǎn)的變形序列，且需要針對每個(gè)測點(diǎn)分別建模，造成模型冗余。隨著時(shí)空數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展[11-16]，時(shí)間數(shù)據(jù)或空間數(shù)據(jù)中與時(shí)間或空間相關(guān)的有價(jià)值的模式被進(jìn)一步發(fā)掘，如顧沖時(shí)等[17]通過引入測點(diǎn)位置坐標(biāo)作為變形的影響因子，建立了大壩時(shí)空分布模型；李波等[18]詳細(xì)考察了碾壓混凝土壩各種時(shí)空影響因素的表達(dá)式，提出了碾壓混凝土壩變形時(shí)空監(jiān)控模型；李廣春等[19]考慮測點(diǎn)間的空間相關(guān)性，建立了重力壩變形時(shí)空自回歸模型(STARMA)。

本文基于傳統(tǒng)變形統(tǒng)計(jì)模型的基本思想和空間計(jì)量分析方法，挖掘了混凝土拱壩傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型不同測點(diǎn)同一時(shí)刻誤差項(xiàng)空間面板數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)性質(zhì),建立了混凝土拱壩變形空間誤差分析模型，并探討了這種模型的實(shí)際預(yù)測效果。

2 拱壩變形統(tǒng)計(jì)模型

工程上一般把大壩的位移分解成水平向x、側(cè)向水平向y和豎直向z3個(gè)方向。根據(jù)變形主要成因，傳統(tǒng)變形監(jiān)控理論一般將拱壩的變形分為水壓分量δH、溫度分量δT和時(shí)效分量δθ3個(gè)部分，即

δ=δH+δT+δθ+u。

(1)

式中:u為其他因素引起的變形誤差項(xiàng);δ=δx或δy或δz。

水壓力造成的大壩任意一個(gè)測點(diǎn)產(chǎn)生的水平向變形δx由3個(gè)部分組成[1]：靜水壓力作用在壩體上而引起的變形δ1H；水壓在地基面上引起的變形δ2H；及庫水重力作用使地基面轉(zhuǎn)動而引起的變形δ3H，即

δH=δ1H+δ2H+δ3H。

(2)

針對拱壩特性，對式(2)每個(gè)部分進(jìn)行力學(xué)分析[1]，合并得

(3)

式中:ai為回歸系數(shù);H為水深。

通過力學(xué)分析可知[1]，拱壩上任一測點(diǎn)的溫度變形分量δT與各點(diǎn)的溫變Ti呈線性關(guān)系。常常用組合多種諧波的方法模擬溫度周期項(xiàng)。表達(dá)式為

(4)

式中：i=1代表年周期項(xiàng);i=2代表半年周期項(xiàng);bi為回歸系數(shù)。

拱壩的時(shí)效分量δθ十分復(fù)雜。根據(jù)實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)，一般采用式(5)模擬拱壩時(shí)效分量,即

δθ=clnθ。

(5)

式中:θ為大壩初始監(jiān)測日t0到當(dāng)前監(jiān)測日t的時(shí)間;c為回歸系數(shù)。

綜上，可以用以下統(tǒng)計(jì)模型表達(dá)混凝土拱壩任一測點(diǎn)m在t時(shí)刻的變形大小,即

cmlnθt+dm+umt。

(6)

式中：dm為m測點(diǎn)的常數(shù)項(xiàng)；umt為m測點(diǎn)t時(shí)刻時(shí)的誤差項(xiàng)。

根據(jù)式(6)，以拱壩的水位、溫度、時(shí)間等參數(shù)為解釋變量，以變形實(shí)測值為被解釋變量采用最小二乘法進(jìn)行線性回歸，得到模型各個(gè)回歸系數(shù)。得到回歸系數(shù)后，針對各點(diǎn)分別用實(shí)測值減去預(yù)測值，計(jì)算出所有測點(diǎn)的誤差序列。因?yàn)檎`差序列具有時(shí)間和測點(diǎn)號2個(gè)維度，同時(shí)具有空間性質(zhì)，可將其看成一個(gè)空間面板數(shù)據(jù)[2]。

3 拱壩變形空間誤差模型

空間誤差模型基于空間自回歸模型，其主要思想是將空間相關(guān)關(guān)系看作一種干擾，即假設(shè)模型的誤差是在空間內(nèi)相關(guān)的。拱壩作為一種大型混凝土結(jié)構(gòu)，不同測點(diǎn)的變形在扣除水壓分量、溫度分量、時(shí)效分量之后，其誤差項(xiàng)之間是否存在隱秘的、未被挖掘的關(guān)聯(lián)性質(zhì)有待研究。

3.1 空間權(quán)重矩陣

(7)

其中，因同一測點(diǎn)和自身的距離為0，矩陣主對角線上元素w11=w22=…=wkk=0，矩陣為一個(gè)對稱矩陣。為提高精度，采用考慮測點(diǎn)三維坐標(biāo)的距離權(quán)重矩陣，wij一般用距離的冪值表示。假設(shè)測點(diǎn)i和測點(diǎn)j的空間距離為dij，則表達(dá)式為

(8)

式中：d為事先給定的距離臨界值；γ為參數(shù)值，一般取1或2。

對權(quán)重矩陣進(jìn)行行標(biāo)準(zhǔn)化，公式為

(9)

行標(biāo)準(zhǔn)化矩陣每行的元素總和都等于1，如果將行標(biāo)準(zhǔn)化矩陣W乘ut，可以很方便地得到每個(gè)測點(diǎn)鄰近測點(diǎn)的加權(quán)平均。

3.2 空間自相關(guān)指數(shù)

空間自相關(guān)指位置相近的測點(diǎn)具有相似的變量數(shù)值，一般采用莫蘭指數(shù)(Moran’sI)度量空間整體自相關(guān)程度,即

(10)

莫蘭指數(shù)的取值在-1到1之間。指數(shù)gt;0表示正相關(guān)，lt;0表示負(fù)相關(guān)，絕對值越接近1表示數(shù)據(jù)的空間依賴性越強(qiáng)?？紤]原假設(shè)“H0:Cov(xm,xn)=0,?m≠n”，可證明I的期望為

(11)

3.3 空間誤差模型

根據(jù)空間誤差模型假設(shè)，如果誤差項(xiàng)umt具有空間依賴關(guān)系，誤差項(xiàng)的表達(dá)式可以單獨(dú)被看作一個(gè)空間自回歸模型。表達(dá)式為

(12)

圖1 小灣拱壩壩體變形測點(diǎn)布置Fig.1 Layout of deformation measuring points for Xiaowan arch dam

對于橫截面數(shù)據(jù)，由于共時(shí)性的存在，最小二乘形式中被忽略的反饋效應(yīng)或依賴效應(yīng)將增大[20]，因此對空間自回歸模型一般采用最大似然估計(jì)。假設(shè)擾動項(xiàng)εmt～N(0,σ2Ik)，則有樣本對數(shù)似然函數(shù)為

(13)

對式(13)進(jìn)行最大化估計(jì)。該最大化問題可分2步進(jìn)行：第1步，在給定λ的情況下，選擇最優(yōu)的β和σ2；第2步，代入第1步的最優(yōu)β和σ2，選擇最優(yōu)的λ。

對于面板數(shù)據(jù)，如果采用固定效應(yīng)模型，可以先做組內(nèi)離差變換，去掉個(gè)體效應(yīng)vm，然后采用類似橫截面模型的最大似然估計(jì)得到各系數(shù)；如果采用隨機(jī)效應(yīng)模型，可以通過廣義離差變換，然后采用最大似然估計(jì)。隨機(jī)模型和固定效益模型的選擇需要通過豪斯曼檢驗(yàn)確定。

3.4 模型運(yùn)作流程

根據(jù)上文，可以確定混凝土拱壩空間誤差模型的運(yùn)作流程。

(1) 數(shù)據(jù)預(yù)處理:剔除含有粗差的數(shù)據(jù)，插補(bǔ)缺失的數(shù)據(jù)。

(2) 統(tǒng)計(jì)模型回歸:用最小二乘法分別對每個(gè)測點(diǎn)的水壓分量、溫度分量、時(shí)效分量的各參數(shù)進(jìn)行回歸，繼而得到各個(gè)測點(diǎn)的誤差序列。

(3) 建立空間權(quán)重矩陣:用距離關(guān)系確定空間權(quán)重矩陣，并對空間權(quán)重矩陣進(jìn)行行標(biāo)準(zhǔn)化。用莫蘭指數(shù)驗(yàn)證數(shù)據(jù)是否存在空間依賴性質(zhì)。

(4) 空間自回歸模型估計(jì):使用最大似然估計(jì)法對誤差模型空間自回歸部分各參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，用豪斯曼檢驗(yàn)確定選用隨機(jī)效應(yīng)模型和固定效應(yīng)模型，同時(shí)確定個(gè)體效應(yīng)數(shù)值。

(5) 回代參數(shù),檢驗(yàn)精度:將空間誤差模型各參數(shù)回代入表達(dá)式，考察模型的擬合和預(yù)測精度。

4 實(shí)例分析

小灣水電站主體為混凝土雙曲拱壩，最大壩高292 m，具有全國乃至世界上較大的安全監(jiān)測系統(tǒng)之一[21]。以拱壩壩體布置的34個(gè)外觀變形測點(diǎn)(見圖1)所監(jiān)測的從2014年5月1日至2015年6月24日34組長度為420 d的水平方向變形數(shù)據(jù)為例，將數(shù)據(jù)前400 d時(shí)間序列作為訓(xùn)練值用于擬合，后20 d時(shí)間序列作為參考值用于預(yù)測，分析空間誤差模型的精度。

4.1 統(tǒng)計(jì)模型

根據(jù)式(6)建立統(tǒng)計(jì)模型，針對變形測點(diǎn)m有am1—am1010個(gè)回歸系數(shù)，即

(14)

根據(jù)式(14)采用最小二乘法對34組長為400的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行線性回歸，得到各測點(diǎn)的回歸系數(shù)；同時(shí)對回歸的數(shù)值進(jìn)行參數(shù)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果p值均lt;0.05，表明回歸參數(shù)有效。部分測點(diǎn)回歸數(shù)值如表1所示。

表1 壩體變形部分測點(diǎn)統(tǒng)計(jì)模型回歸系數(shù)Table 1 Statistical regression coefficient ofdeformation measuring points

計(jì)算每個(gè)測點(diǎn)的誤差，得到誤差空間面板數(shù)據(jù)u(m,t)(m=1,2,…,34,t=1,2,…,400)。

4.2 面板空間自相關(guān)檢驗(yàn)

得到了誤差面板數(shù)據(jù)，用莫蘭指數(shù)分析每個(gè)截面誤差序列的空間關(guān)聯(lián)性。根據(jù)所有測點(diǎn)的空間坐標(biāo)，得出相應(yīng)空間權(quán)重矩陣。很明顯，這是一個(gè)34階矩陣。對該矩陣進(jìn)行行標(biāo)準(zhǔn)化操作，得到行標(biāo)準(zhǔn)化的空間權(quán)重矩陣W,即

(15)

根據(jù)式(10)，可以計(jì)算每個(gè)時(shí)間截面各測點(diǎn)誤差的莫蘭指數(shù)，部分計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 拱壩變形誤差莫蘭指數(shù)Table 2 Moran’s Index of arch dam’sdeformation error

注：p為顯著性檢驗(yàn)值

根據(jù)誤差面板400個(gè)截面的計(jì)算結(jié)果：莫蘭指數(shù)的期望值為-0.033；從顯著性檢驗(yàn)結(jié)果來看，400個(gè)截面中有353個(gè)截面的計(jì)算結(jié)果表示強(qiáng)烈拒絕“無空間自相關(guān)”的原假設(shè)，比例在90%左右，誤差項(xiàng)之間存在空間相關(guān)性；從莫蘭指數(shù)的數(shù)值大小來看，所有截面的平均值為0.431，各個(gè)測點(diǎn)誤差之間表現(xiàn)出較強(qiáng)的空間自相關(guān)性，且誤差之間的相關(guān)性為正。

4.3 空間誤差模型

下面用空間回歸方法對誤差面板數(shù)據(jù)式(15)進(jìn)行分析。由式(12)可知，空間自回歸模型通式為

(16)

對模型各參數(shù)進(jìn)行最大似然估計(jì)結(jié)果為：b1=0.925 974 3;b2=0.748 223 4;b3=-0.690 711 7。對各系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，p值均為0，強(qiáng)烈拒絕原假設(shè)。豪斯曼檢驗(yàn)結(jié)果為模型應(yīng)選用隨機(jī)效應(yīng)模型。

4.4 模型精度比較

引入時(shí)間序列自回歸模型(AR)擬合單個(gè)測點(diǎn)本身的誤差序列，稱該模型“時(shí)間誤差模型”。以測點(diǎn)1變形序列為例，用空間自回歸模型和時(shí)間序列自回歸模型擬合誤差序列，具體擬合情況如圖2(a)所示。從圖2可以看出，2種模型的擬合效果都很好，沒有明顯差別。

圖2 測點(diǎn)1變形誤差擬合過程線和變形值擬合過程線Fig.2 Process lines of fitting deformation error and deformation of measuring point 1

分別將統(tǒng)計(jì)模型、空間誤差模型、時(shí)間誤差模型的擬合過程線和實(shí)測變形過程線繪制于圖2(b)。可以看出，統(tǒng)計(jì)模型可以較好地描繪大壩變形的整體趨勢，但是對于誤差項(xiàng)不能很好地?cái)M合，用空間自回歸模型和時(shí)間序列自回歸模型可以較好地?cái)M合誤差項(xiàng)，提高模型的擬合精度。

分別采用空間自回歸模型和時(shí)間自回歸模型，因無實(shí)際誤差序列，將時(shí)間序列前一時(shí)間點(diǎn)觀測誤差的擬合值作為實(shí)際誤差項(xiàng)，代入下一時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測，如此往復(fù)，預(yù)測從2015年6月5日至2015年6月24日20 d的誤差。以測點(diǎn)1變形誤差序列為例，從圖3(a)可以看出，2種模型的誤差精度一開始很高，隨著時(shí)間的推移，都出現(xiàn)了一定程度的下降，兩者預(yù)測精度相差很小。

再比較統(tǒng)計(jì)模型、空間誤差模型和時(shí)間誤差模型的預(yù)測效果。從圖3(b)、表3和表4可以看出，統(tǒng)計(jì)模型短期預(yù)測效果最差，但是隨著時(shí)間的推移精度有所上升，對于位移的長期趨勢預(yù)測較好；空間誤差模型和時(shí)間誤差模型雖然短期預(yù)測精度極高，但無法捕捉實(shí)際位移誤差項(xiàng)，可將前一時(shí)間點(diǎn)的擬合值作為實(shí)際誤差預(yù)測模型的誤差項(xiàng)，長期預(yù)測精度會有所下降，但整體精度明顯優(yōu)于傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型。

圖3 測點(diǎn)1變形誤差及預(yù)測過程線Fig.3 Process lines of forecasting the deformation error and deformation of measuring point 1

表3 測點(diǎn)1變形預(yù)測相對誤差Table 3 Relative errors of forecasting the deformation of measuring point 1 %

表4 測點(diǎn)1模型精度比較Table 4 Comparison of model accuracy for the deformation of measuring point 1

綜上，傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型可以較好地描述拱壩壩體位移的整體趨勢，模型選取的變量比較合理，但不能有效處理誤差，預(yù)測精度不高；空間誤差模型和時(shí)間誤差模型明顯提高了傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型的預(yù)測精度，可以較好地?cái)M合拱壩變形的誤差項(xiàng)，達(dá)到了比較理想的預(yù)測效果，兩者精度整體相近；但空間誤差模型建立的空間自回歸模型可以用一個(gè)模型同時(shí)擬合拱壩壩體34個(gè)測點(diǎn)的誤差項(xiàng)，在一定程度上反映了拱壩壩體的空間性質(zhì)，相對時(shí)間誤差模型，空間誤差模型不需要單獨(dú)對每一個(gè)測點(diǎn)進(jìn)行建模，在精度相近的情形下，模型參數(shù)明顯更加簡潔。

5 結(jié) 語

本文基于傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型和空間計(jì)量學(xué)相關(guān)理論，提取了傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型的誤差項(xiàng)面板數(shù)據(jù)；運(yùn)用基于空間距離的莫蘭指數(shù)挖掘不同測點(diǎn)同一時(shí)刻誤差項(xiàng)空間面板數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)性；采用空間自回歸模型擬合統(tǒng)計(jì)模型的誤差面板序列，從而最終建立了混凝土拱壩變形的空間誤差模型。

通過對小灣拱壩34個(gè)測點(diǎn)變形實(shí)測資料的建模和分析，運(yùn)算結(jié)果表明：①拱壩不同測點(diǎn)變形統(tǒng)計(jì)模型的誤差項(xiàng)之間存在較強(qiáng)的空間自相關(guān)性質(zhì)，且這種自相關(guān)性質(zhì)為正向自相關(guān)，即說明拱壩測點(diǎn)的變形誤差會引起臨近測點(diǎn)同向的變形誤差。②從模型的精度來看，空間誤差模型的擬合精度和預(yù)測精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型，和單測點(diǎn)時(shí)間誤差模型的精度類似。③從模型的實(shí)際應(yīng)用來看，空間誤差模型的參數(shù)較時(shí)間誤差模型更加簡潔，可以同時(shí)對所有測點(diǎn)進(jìn)行誤差估計(jì)。另外，該模型能在一定程度上解釋拱壩變形的空間性質(zhì)，值得進(jìn)一步研究和推廣。

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(編輯：趙衛(wèi)兵)

Application of a Spatial Error Model in ConcreteArch Dam Deformation Forecast

HU Tian-yi1,2,3, XU Pu3

(1.State Key Laboratory of Hydrology-Water Resources and Hydraulic Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China; 2.National Engineering Research Center of Water Resources Efficient Utilization and Engineering Safety, Hohai University, Nanjing 210098, China; 3.Division of Hydro-science and Waterway, Shanghai Municipal Engineering Design Institute Co., Ltd., Shanghai 200092, China)

Concrete arch dam, as a highly statically indeterminate structure, has strong adaptability and integrity. Traditional statistical models for concrete arch dam mainly focus on the deformation of a single point rather than the interaction among different points. In this article, the spatial autocorrelation of errors of different points at the same instance was mined by using spatial econometric method. Furthermore, the errors were modified by using the spatial regression model, and hence a spatial error model for concrete arch dam was established. As an example, the deformation sequences of 34 monitoring points in Xiaowan arch dam were studied and the results show that the error panel data are of strong positive correlation, and the spatial error model is superior to traditional statistical models.

concrete arch dam; spatial panel data; spatial error model; spatial autocorrelation; deformation forecast

2016-06-29;

2016-08-03

國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(41323001,51139001);高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)基金項(xiàng)目(20120094110005,20120094130003,20130094110010)；江蘇省杰出青年基金項(xiàng)目(BK20140039);水利部土石壩破壞機(jī)理與防控技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金項(xiàng)目(ky914002)

胡添翼(1991-)，男，江蘇南通人，碩士研究生，研究方向?yàn)榇髩伟踩O(jiān)測，(電話)021-55009522(電子信箱)hutianyi@smedi.com。

10.11988/ckyyb.20160657 2017,34(11):48-53

TV698.1

A

1001-5485(2017)11-0048-06