武忠文，馬德香

（華北電力大學數理學院，北京，102206）

一類分數階微分方程邊值問題的Lyapunov-type不等式研究

武忠文，馬德香

（華北電力大學數理學院，北京，102206）

一類包含 Caputo分數階導數的邊值條件情況下的 Caputo分數階微分方程Lyapunov-type不等式被求出.首先，由Caputo分數階導數的基本概念，把分數階微分方程轉化為積分方程，根據邊值條件，求解出相應的格林函數.為了方便研究格林函數性質，我們從中提取出函數F（t，s）.運用求導的方法，研究函數F（t，s）的性質，得到函數在整個區(qū)間的上下界.最后，在應用方面，對于一類分數階微分方程特征值問題，求解了其特征值的存在區(qū)間；對于一類Mittag-Leffler函數，得到其零解不存在的區(qū)間.

分數階微分方程；Lyapunov-type不等式；格林函數；Mittag-Leffler函數

0 引言

考慮下面邊值問題

q（t）是一個實連續(xù)函數.如果式（1）存在非奇異解，則

文獻[1]中得到了Lyapunov不等式（2）.

文獻[2]中，Ferreira研究了一類Caputo分數階邊值問題的Lyapunov型不等式：

q（t）是一個實連續(xù)函數.如果式（3）存在非奇異解，則

顯然，令α＝2，由式（4）推導出式（2）.

文獻[3]中，D.O’Regan和B.Samet研究了一類Riemann-Liouville分數階邊值問題的Lyapunov型不等式：

如果式（5）存在非奇異解，則

文獻[4]中，Jleli和Samet研究了一類Riemann-Liouville分數階邊值問題的Lyapunov型不等式：

如果式（7）存在非奇異解，則

文獻[5]中，Ji Rong和Chuanzhi Bai研究了一類Caputo分數階邊值問題的Lyapunov型不等式：

這里1＜α≤2，0＜β≤1，并且q:[a，b]→R是一個連續(xù)函數.若式（9）存在非奇異解，則

在文獻[1-5]的影響下，我們將研究一類包含Caputo分數階導數的邊值條件情況下的Caputo分數階微分方程：

這里3＜α≤4，1＜β≤2，q:[a，b]→R是一個連續(xù)函數.

1 預備知識

定義1.1令α＞0，Γ（α）是一個Gamma函數，定義為則函數y（t）的α階Riemann-Liouville分數階積分定義為

定義1.2令α＞0，n＝[α]+1，這里[α]是α的整數部分，則函數y（t）的α階Caputo分數階微分定義為

引理1.1令γ＞α＞0，f∈C[a，b]，則

引理1.2令y∈C[a，b]，且3＜α≤4，則

這里c0，c1，c2，c3是實常數.

引理1.3[6]假設K（x，t）在區(qū)間[a，b]×[a，b]上是連續(xù)的，且對于任意固定的t∈[a，b]，K

引理1.4 y∈C[a，b]是邊值問題式（11）的解，當且僅當y滿足下面積分不等式

證明：對式（11）兩邊做積分運算，則由引理1.2，我們有

根據條件3＜α≤4和y（a）＝0，我們有c0＝0.

因此

由條件yquot;（a）＝0，我們有c3＝0.因此，我們有

然后對式（15）兩邊求導，由定義1.2，我們有

把上式代入式（14），我們有

證畢.

引理1.5對?（t，s）∈[a，b]×[a，b]，我們有

證明：當a≤s≤t≤b時，

故對于s∈[a，t]，我們有

因此對于s∈[a，t]，我們有

當a≤t≤s≤b時，F（t，s）≥0顯然成立，且

綜上，對?（t，s）∈[a，b]×[a，b]，

成立，證畢.

2 主要結論

這個部分將給出Lyapunov-type不等式及一些推論.

把引理1.5運用到式（18），我們有

證畢.

除此之外，在式（11）中令f（y）＝y，我們得到下面帶線性項的分數階邊值問題.

這里3＜α≤4，1＜β≤2，q:[a，b]→R是一個連續(xù)函數.

現在，我們令N＝1，并且由定理2.1，我們得到如下推論.

推論2.1如果式（19）有一個非奇異解y∈[a，b]，則

推論2.2若β＝2，則由式（17）推導出下面Lyapunov-type不等式：

推論2.3若α＝4，1＜β≤2，由引理1.4，我們有

則由式（17）推導出下面Lyapunov-type不等式：

3 應用

3.1 特征值問題

在式（19）中令a＝0，b＝1，然后我們討論下面特征值問題

這里3＜α≤4，1＜β≤2.

由推論2.1，我們得到下面推論.

證明：假設y0（t）是式（23）中對應特征的一個特征函數.由推論2.1中的式（20），我們有矛盾.

3.2 對于某些Mittag-Leffler函數的實零點

現在，我們考慮下面含有兩個參數的Mittag-Leffler函數

顯然，對于任意的z≥0，都有Eα，β＞0.因此，對于Eα，β的實零點，如果存在，一定是一個負實數.對于Mittag-Leffler函數，參數1＜β≤2，3＜α≤4時，我們將用推論2.1去求函數沒有實零點的區(qū)間.

證明：由文獻[7]中的定理1，式（23）中通解y（t）為

由式（23）中邊值條件，我們有

4 結論

對于下面非線性分數階微分方程的邊值問題，我們得到一個Lyapunov-type不等式

這里3＜α≤4，1＜β≤2，q:[a，b]→R是一個連續(xù)函數.

我們假設非線性項f是可控制的，故由上面定理，得到這些不等式.在證明這些不等式的過程中，得到格林函數的準確性質是很重要的.

下面特征值問題

這里3＜α≤4，1＜β≤2.沒有對應的特征函數y（t）；另一方面，我們得到對于，Mittag-Leffler函數沒有實零點.

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Lyapunov-Type Inequality for a Fractional Differential Equation with Boundary Value Problem

WU Zhongwen,MA Dexiang
（Department of Mathematics,North China Electric Power University,Beijing102206,China）

A Lyapunov-type inequality for a Caputo fractional differential equation under boundary condition involving the Caputo fractional derivative is established.Firstly,according to Caputo fractional derivative definitions,a fractional equation is transformed into its equivalent integral equation,according to the boundary value conditions to get the corresponding Green function.In order tofacilitate the studyofthe nature ofthe Green function,the function F（t,s）is extracted.Byusing the method ofderivative in mathematical analysis,the properties offunction F（t,s）is studied toget the upper and lower bounds ofthe function over the whole interval.Finally,as application,for a fractional differential equation eigenvalue problem,a bound of the eigenvalue is obtained.Then,for certain Mittag-Leffler function,an interval where has noreal zeros is gotten.

fractional differential equation;Lyapunov-type inequality;Green function;Mittag-Leffler function

1001-4217（2017）04-0048-08

O 175.1

A

2017-04-03

武忠文（1992—），女（漢族），安徽淮南人，碩士，研究方向：分數階微分方程.E-mail：2672105752@qq.com