戴曉燕 樊翠霞
細(xì)說(shuō)中考高頻題
戴曉燕 樊翠霞
勾股定理及其逆定理在近幾年的中考中是熱點(diǎn)問(wèn)題,以下就以2017年部分中考題為例,希望為大家?guī)?lái)一些思考和借鑒.
例1(2017·長(zhǎng)春)圖1是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的,人們稱它為“趙爽弦圖”.此圖案的示意圖如圖 2,其中四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形,△ABF,△BCG,△CDH,△DAE是四個(gè)全等的直角三角形,若EF=2,DE=8,則AB的長(zhǎng)為 .
圖1
圖2
【解】AF=DE=8,EF=2,AE=6,由勾股定理求得AD=10,故AB=AD=10.
例2(2017·石家莊一模)圖甲是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖,它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的,若AC=6,BC=5,將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍,得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”,則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是( ).
A.52 B.42 C.76 D.72
圖甲
圖乙
圖3
【解】如圖3,由AC=6,得DC=12,在直角△DBC中,由BC=5,DC=12得BD=13,所以BD+AD=19,故周長(zhǎng)為19×4=76.
【評(píng)析】教材中應(yīng)用“趙爽弦圖”證明勾股定理,“趙爽弦圖”是初中數(shù)學(xué)的重要基本圖形之一,近年來(lái)在全國(guó)各地的中考題里常有出現(xiàn).
例3 (2017·武威)如圖4,一張三角形紙片ABC,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm.現(xiàn)將紙片折疊:使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,那么折痕長(zhǎng)等于____cm.
圖4
圖5
【解】如圖5,作AB的垂直平分線,分別交AB、AC于D、E,在Rt△BEC中,由勾股定理得(8-BE)2+62=BE2,解得,進(jìn)一步算得
例4 (2017·嘉興)一張矩形紙片ABCD,已知AB=3,AD=2,小明按下圖步驟折疊紙片,則線段DG長(zhǎng)為( ).
【解】由翻折得到△A′DE,△B′GE是等腰直角三角形
【評(píng)析】統(tǒng)觀近年各省市的中考試題,不難發(fā)現(xiàn)“折疊”問(wèn)題在中考試題里頻頻出現(xiàn),而利用勾股定理建立方程是解決問(wèn)題的重要方法.命題者通常以直角三角形為載體,以數(shù)形結(jié)合、方程思想等重要的數(shù)學(xué)思想為依托,實(shí)現(xiàn)了對(duì)“四基四能”的全面考查.
例5 (2017·益陽(yáng))如圖6,△ABC 中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB邊上的中線,則CD=
.
圖6
【解】由AC=5,BC=12,A B=13知△ABC是直角三角形,故CD=6.5.
例6(2017·南京)“直角”在初中幾何學(xué)習(xí)中無(wú)處不在.如圖7,已知∠AOB.請(qǐng)仿照小麗的方式,再用兩種不同的方法判斷∠AOB是否為直角(僅限用直尺和圓規(guī)).
小麗的方法:如圖8,在OA、OB上分別取點(diǎn)C,D,以C為圓心,CD長(zhǎng)為半徑畫弧,交OB的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若OE=OD,則∠AOB=90°.
圖7
圖8
圖9
圖10
【解】方法1:如圖9,在OA、OB上分別截取OC=4,OD=3.若 CD=5,則 ∠AOB=90°.方法 2:如圖10,在OA,OB上分別取點(diǎn)C,D,以CD為直徑畫圓.若點(diǎn)O在圓上,則∠AOB=90°.
【評(píng)析】勾股定理的逆定理主要是由數(shù)量關(guān)系確定三角形是否為直角三角形,然后在直角三角形的背景下解決有關(guān)問(wèn)題.勾股定理的逆定理體現(xiàn)了由數(shù)到形的重要數(shù)學(xué)思想,在近年來(lái)各地的中考題中常有出現(xiàn),但往往考查定理本身,故難度不是太大.
例7 (2013·包頭)如圖11,點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),連接AE、BE、CE,將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,則∠BE′C= 度.
圖11
圖12
【解】本題采用分割的方式,如圖12,通過(guò)連接EE′將∠BE′C轉(zhuǎn)化為∠BE′E與∠EE′C的和.首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EBE′=90°,BE=BE′=2,AE=E′C=1,那么,在Rt△EBE′中,由等腰直角三角形,可得∠BE′E=45°,由勾股定理可得此時(shí)△EE′C的三邊長(zhǎng)都已知了,且E′E2+E′C2=8+1=9,EC2=9,即 E′E2+E′C2=EC2,又由勾股定理的逆定理知△EE′C是直角三角形,所以可得∠EE′C=90°.故∠BE′C=135°.
【評(píng)析】根據(jù)已知得出△EE′B是等腰直角三角形比較容易,但想到利用勾股定理的逆定理找出△EE′C是直角三角形才是解題關(guān)鍵.勾股定理常用,同學(xué)們也比較容易想到,而勾股定理的逆定理,也是將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系的常用方法,同學(xué)們可要用心哦!
(作者單位:江蘇省常州市金壇區(qū)茅麓中學(xué),常州市金壇區(qū)西崗中學(xué))