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        極角為參數(shù)的雙曲線參數(shù)方程

        2017-11-24 05:37:09張鵬宇
        科技資訊 2017年27期

        張鵬宇

        摘 要:圓錐曲線的參數(shù)方程是高中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)內(nèi)容之一,只有真正理解了方程中的參數(shù)含義,才能有效掌握與靈活運(yùn)用這一部分知識。雙曲線作為一種重要的圓錐曲線,其參數(shù)方程必須得到重視與理解。教材中雙曲線的參數(shù)方程以離心角作為參數(shù),雖然參數(shù)方程形式簡單,但是離心角作圖復(fù)雜,不易直觀理解。為了體現(xiàn)參數(shù)方程中參數(shù)的直觀易懂性,選用極角作為參數(shù)構(gòu)造了雙曲線的另外一種參數(shù)方程。對照兩種參數(shù)方程,對雙曲線參數(shù)方程的理解與掌握十分有益。

        關(guān)鍵詞:雙曲線 參數(shù)方程 離心角 極角

        中圖分類號:G632.0 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1672-3791(2017)09(c)-0235-02

        在高中數(shù)學(xué)教材參數(shù)方程部分,雙曲線的參數(shù)方程為:,,其中是離心角,。這里選用離心角為參數(shù),優(yōu)點(diǎn)是參數(shù)方程形式簡單,選取自然,代入方程后恰為三角恒等式;缺點(diǎn)是離心角不太直觀。能否選用比較直觀的參數(shù)得到雙曲線的參數(shù)方程呢?

        回憶圓的參數(shù)方程:圓的參數(shù)方程為,,參數(shù)是圓上點(diǎn)與圓心連線繞圓心相對于軸的正方向的旋轉(zhuǎn)角。結(jié)合教材中剛學(xué)過的極坐標(biāo)知識,發(fā)現(xiàn)圓的參數(shù)方程中的參數(shù)恰為圓上點(diǎn)的極坐標(biāo)中的極角。類似的,下面選取雙曲線上點(diǎn)的極角作為參數(shù),構(gòu)造出了雙曲線的另外一種參數(shù)方程。

        1 平面極坐標(biāo)系知識回顧

        在平面上取一定點(diǎn),稱為極點(diǎn),由出發(fā)的一條射線OX,稱為極軸,極點(diǎn)與極軸便構(gòu)成了極坐標(biāo)系。

        有了極坐標(biāo)系后,平面上任一點(diǎn)的位置就可以用線段的長度以及從到OP的角度(規(guī)定角度取逆時針方向?yàn)檎﹣泶_定,有序數(shù)對就稱為點(diǎn)的極坐標(biāo),記為,稱為點(diǎn)的極徑,稱為點(diǎn)的極角。當(dāng)限制,時,平面上除極點(diǎn)以外,其他每一點(diǎn)都有唯一的一個極坐標(biāo)。極點(diǎn)的極徑為零,極角任意。

        2 雙曲線的新的參數(shù)方程

        定理:在直角坐標(biāo)系中,設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)。選原點(diǎn)為極點(diǎn),軸為極軸建立極坐標(biāo)系。設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為。則以極角為參數(shù)時,雙曲線的參數(shù)方程如下:

        雙曲線中左支曲線的參數(shù)方程為:

        ,

        雙曲線中右支曲線的參數(shù)方程為:

        ,

        證明:(1)先討論雙曲線右支曲線的參數(shù)方程。

        ①時,如圖1所示,過作軸垂線,垂足為,則在直角三角形中,,故,代入中并整理得,所以此時參數(shù)方程為,。

        ②時,如圖2所示,過作軸垂線,垂足為,則在直角三角形中,,,即,故,代入中并整理得,所以此時參數(shù)方程為,。極角范圍也可表示為,將(1)、(2)中結(jié)果合并,便得雙曲線中右支曲線的參數(shù)方程為,。

        (2)再討論雙曲線左支曲線的參數(shù)方程。

        ①時,如圖3所示,過作軸垂線,垂足為,則在直角三角形中,,,即,故,代入中并整理得,所以此時參數(shù)方程為,。

        ②時,如圖4所示,過作從軸垂線,垂足為,則在直角三角形中,,即,故,代入中并整理得,所以此時參數(shù)方程為,。將①、②中結(jié)果合并,便得雙曲線中左支曲線的參數(shù)方程為,。

        3 舉例與比較

        例:已知雙曲線方程為: ,求證該雙曲線上的所有點(diǎn)與兩條漸近線的距離的積是一個定值。

        證明:方法一:用教材中參數(shù)方程做。設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn),兩條漸近線的方程為;,由點(diǎn)到直線的距離公式易得:M點(diǎn)到兩條漸近線的距離為;。則:

        =

        ==,為定值。

        方法二:用本文給出的參數(shù)方程做。設(shè)為雙曲線右支曲線上任意一點(diǎn)(在左支上時類似),兩條漸近線的方程為;,由點(diǎn)到直線的距離公式易得:點(diǎn)到兩條漸近線的距離為:

        = =;

        = =,則

        = ==,為定值。

        比較發(fā)現(xiàn),本文給出的參數(shù)方程有兩個缺點(diǎn):一是需要分情況,參數(shù)方程不是一個解析式;二是解析式中含有分式。與教材中給出的參數(shù)方程比,形式更復(fù)雜,從而在做題時比較繁瑣,因而選用教材中結(jié)果為好,這也體會到了教材中為什么給出以離心角為參數(shù)的參數(shù)方程,不給出用其他變量為參數(shù)的參數(shù)方程。當(dāng)然,本文給出的參數(shù)方程能一眼看出參數(shù)的幾何意義,理解起來更直觀,對理解教材中曲線的參數(shù)方程部分的相關(guān)知識有幫助。

        4 結(jié)語

        通過選用極角作為參數(shù)給出了雙曲線的一種參數(shù)方程。該方程的優(yōu)點(diǎn)是參數(shù)簡單直觀,容易理解;缺點(diǎn)是參數(shù)方程不是一個解析式,形式較復(fù)雜。教材中給出的參數(shù)方程,優(yōu)點(diǎn)是參數(shù)方程是一個解析式,形式簡單;缺點(diǎn)是參數(shù)是離心角,作圖復(fù)雜,不易直觀理解。將這兩種參數(shù)方程對比學(xué)習(xí),對理解與掌握雙曲線的參數(shù)方程部分的相關(guān)知識十分有益。

        參考文獻(xiàn)

        [1] 中學(xué)數(shù)學(xué)教材實(shí)驗(yàn)研究組等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書——《數(shù)學(xué)》(選修4-4)[M].北京:人民教育出版社,2013.

        [2] 梁峻峰.雙曲線的一種參數(shù)方程[J].數(shù)學(xué)教學(xué),1988 (4):25-29.

        [3] 吳秀娟.雙曲線的參數(shù)方程[J].甘肅教育,2005(11):53.endprint

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