汪曉明,高宗升,陳敏風(fēng)

(北京航空航天大學(xué) LMIBamp;數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,北京 100191)

潘勒韋Ⅲ差分方程亞純解的唯一性

汪曉明,高宗升,陳敏風(fēng)

(北京航空航天大學(xué) LMIBamp;數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,北京 100191)

研究了潘勒韋Ⅲ差分方程有限級超越亞純解的唯一性問題,證明了在一定條件下,如果潘勒韋Ⅲ差分方程的有限級超越亞純解w和另一個亞純函數(shù)w?有兩個不同的有限分擔值并且有完全相同的極點(計重數(shù)),那么w≡w?.

潘勒韋Ⅲ差分方程;超越亞純解;分擔值

0 引言與結(jié)果

本文所用概念和記號為Nevanlinna值分布理論中的基本概念和記號,見[1-2].另外用ρ(f)表示亞純函數(shù)f(z)的增長級,用S(r,f)表示滿足S(r,f)=o(T(r,f)),r→∞,的任意量,可能需除去一對數(shù)測度有限的例外集.

如果亞純函數(shù)a(z)滿足T(r,a)=S(r,f),那么稱a(z)為f(z)的小函數(shù).

設(shè)f(z)與g(z)為非常數(shù)亞純函數(shù),a為任意復(fù)數(shù),如果f(z)?a與g(z)?a的零點相同并計重數(shù)(或不計重數(shù)),則稱a為f(z)與g(z)的CM(或IM)分擔值,也稱f(z)與g(z)CM(或IM)分擔a.如果f(z)與g(z)的極點相同并計重數(shù)(或不計重數(shù)),則稱∞為f(z)與g(z)的CM(或IM)分擔值,也稱f(z)與g(z)CM(或IM)分擔∞.

在文獻[3]中,呂鋒等人證明了Malmquist型差分方程的唯一性定理,得到了如下結(jié)果.

定理A 設(shè)f是Malmquist型差分方程

的有限級超越亞純解,其中aj(/≡0),bk,dl為f的小函數(shù),cj(/=0)為兩兩互異的常數(shù),bp/≡0,dq/≡0,P,Q為關(guān)于f的互質(zhì)多項式,n,p,q為整數(shù)且滿足p≤q=n.令I(lǐng)(z,f)=cj),H(z,f)=Q(f)I(z,f)?P(f),e1和e2是兩個不同的有限復(fù)數(shù)且H(z,e1)/≡0,H(z,e2)/≡0.如果f和另一個亞純函數(shù)g CM分擔e1,e2和∞,則f≡g.

Onni Ronkainen在文獻[4]中研究了差分Painlev′eⅢ方程,并得到如下結(jié)果.

定理B 假設(shè)方程

有可允許亞純解w且超級小于1,其中R(z,w)是關(guān)于z的亞純函數(shù),關(guān)于w的有理函數(shù),那么或者w滿足下面的差分Riccati方程

其中α,β,γ為代數(shù)體函數(shù),或者方程(1)可以轉(zhuǎn)化為下列方程之一.

本文受到定理A的啟發(fā),用類似的方法研究了方程(2a)—(2d)(m/=2)在系數(shù)全為小函數(shù)時的有限級超越亞純解的唯一性問題.因為方程(2a)—(2d)右邊都是關(guān)于w的次數(shù)不超過2的有理函數(shù),為敘述方便,我們將右邊都寫成

的形式.

令I(lǐng)(z,w)=w(z+1)w(z?1),H(z,w)=I(z,w)Q(z,w)?P(z,w),則方程(2a)—(2d)(m/=2)均可化為

我們證明了如下結(jié)論.

定理1 設(shè)w是方程(2a)—(2b)的有限級超越亞純解,其中系數(shù)均為w的小函數(shù)且在(2d)中要求m/=2,a,b為兩個不同的有限復(fù)數(shù),且滿足H(z,a)/≡0,H(z,b)/≡0.如果w和另一個亞純函數(shù)?wCM分擔a,b,∞,則w≡?w.

注1 在考察定理B的4個方程時,為方便研究,本文只考慮系數(shù)全為小函數(shù)的情形.

注2 定理B中要求超級小于1,但定理1中我們要求解是有限級,對于無窮級但超級小于1的情形,我們目前無法確定此定理是否仍然成立,我們的證明方法只適用于有限級,并且我們不能保證方程有限級超越亞純解的存在性.

注3 定理條件中的CM分擔∞不能省略.例如,w(z)=3是方程

注4 定理條件中的H(z,a)/≡0,H(z,b)/≡0不能省略.例如,w(z)=是方程

的有限級超越亞純解,令~w(z)=?w(z),則w與~wCM分擔0,i,∞,H(z,i)≡0,H(z,0)=1,但w(z)/≡~w(z).

注5 方程(2d)中如果m=2,此定理不成立.例如,w(z)=是方程

的有限級超越亞純解.令 ~w(z)=e?z2,則w與 ~wCM分擔1,?1和∞,且H(z,1)=H(z,?1)/=0,但 w(z)/≡ ~w(z).

1 引 理

下面介紹我們的證明所必需的引理.

引理1[5-6]設(shè)f(z)為方程P(z,f)=0的有限級超越亞純解,P(z,f)是f(z)及其位移的差分多項式,如果P(z,a)/≡0,其中a是f的小函數(shù),那么

引理2[6]設(shè)f是差分方程

的有限ρ級超越亞純解,其中U(z,f),P(z,f),Q(z,f)是f及其位移的差分多項式.如果U(z,f)關(guān)于f及其位移的總次數(shù)degfU(z,f)=n,degfQ(z,f)≤n,并且U(z,f)中次數(shù)最大的項僅有一項,那么對于任意ε＞0,

可能需除去一個對數(shù)測度有限的例外集.

引理3[7]設(shè)f為開平面上非常數(shù)亞純函數(shù),R(f)兩個互質(zhì)的f的多項式,系數(shù){ai(z)}和{bj(z)}均為f的小函數(shù),且ap(z)/≡ 0,

證 明 不失一般性,可以假設(shè)a0≡1.在圓|z|=r上,設(shè)

對于r的固定的值,記E1為0≤ θ＜ 2π上的集合使得|f(reiθ)|≥ 2A(reiθ).記E2為其補集.在E1上,

所以

引理5[8]設(shè)η1,η2是兩個復(fù)數(shù)(η1/=η2),f(z)是有限級亞純函數(shù)且級為σ,則對任意ε＞0,

引理6 設(shè)w(z)是(2a)—(2d)中任一方程的非常數(shù)有窮級亞純解,其中在(2d)中m/=2,則

證 明 由I(z,w)Q(z,w)=P(z,w)及引理2得m(r,Q(z,w))=S(r,w).

當Q(z,w)的次數(shù)不為0時,即(2a)—(2c)以及(2d)中m=?1,?2的情形,由引理4有

在方程(2d)中,當m=0時,

由引理5,m(r,w)=S(r,w).

當m=1時,

引理 7[9]設(shè)fj(z)(j=1,2,···,n,n ≥ 2)為亞純函數(shù),gj(z)(j=1,2,···,n)為整函數(shù),滿足以下條件.

其中E是對數(shù)測度有限的集合,則fj(z)≡0(j=1,2,···,n).

2 定理證明

假設(shè)w是方程(2a)的有限級超越亞純解,w和~wCM分擔a,b,∞,根據(jù)Nevanlinna第二基本定理,

同理,T(r,~w)≤3T(r,w)+S(r,~w),所以ρ(~w)=ρ(w)＜∞.

因為w和~wCM分擔a,b,∞,所以存在多項式α,β,使得

由(4)式得T(r,eα)≤ T(r,w)+T(r,~w)+O(1)≤ 4T(r,w)+S(r,w),以及T(r,eβ)≤ 4T(r,w)+S(r,w). 因此max{ρ(eα),ρ(eβ)}≤ ρ(w).

令γ= β ?α,如果eα≡ 1,或者eβ≡ 1,或者eγ≡ 1,則顯然w ≡ ~w.下面假設(shè)eα/≡ 1,eβ/≡ 1,及eγ/≡ 1,則由(4)式可得

另外由(5)式還可得到

下面證明α,β,γ的次數(shù)都至少為一.如若不然,則有下列4種情況.

2.假如β是常數(shù)(eβ/=1),α次數(shù)至少為1,則γ次數(shù)也至少為1.令τ1=則τ1為非零常數(shù),代入(5)式得由(2a),H(z,a)/≡ 0及引理1得S(r,w).故

矛盾;

3.假如α是常數(shù)(eα/=1),β次數(shù)至少為1,則γ次數(shù)也至少為1.令τ2=(b?a)(eα?1),則τ2為非零常數(shù),代入(6)式得由(2a),H(z,b)/≡ 0及引理1得S(r,w).故

矛盾;

矛盾.

綜上所述,α,β,γ的次數(shù)都至少為1.

現(xiàn)將(5)式代入方程(2a)中得

(7)式兩邊同時乘以(eγ(z)? 1)2(eγ(z+1)? 1)(eγ(z?1)? 1), 并注意到eβ(z+1)=eβ(z)+s1(z),eβ(z?1)=eβ(z)+s2(z),eγ(z+1)=eγ(z)+t1(z),eγ(z?1)=eγ(z)+t2(z),其中s1(z),s2(z)為次數(shù)至多是degβ?1的多項式,t1(z),t2(z)為次數(shù)至多是degγ?1的多項式,于是(7)式可化為

其中aij,bij,Aij是關(guān)于η,λ,μ,的多項式.計算可知

下面證明當0≤i,j≤ 4且i,j不同時為0時,degα=degβ=degγ=deg(iβ+jγ)=deg(iβ ? jγ).

我們用N0(r)表示公共零點的計數(shù)函數(shù),計重數(shù).如果z0是eβ?1的κ1階零點,是eγ?1的κ2階零點,那么分析(5)式,由得

因為m(r,w)=S(r,w),故

由Nevanlinna第一和第二基本定理可得,

同理可證T(r,eγ)=T(r,w)+N0(r)+S(r,w). 所以T(r,eβ)=T(r,eγ)+S(r,w).

另一方面,對(6)式類似分析可得T(r,eα)=T(r,eγ)+S(r,w).因此,ρ(eα)= ρ(eβ)=ρ(eγ)= ρ(w),而α,β,γ為非常數(shù)多項式,所以存在某個正整數(shù)d使得deg(α)=deg(β)=deg(γ)=d.

下面證明

如若不然,則deg(iβ +jγ)＜ d,1≤ i≤ 4,1≤ j≤ 4,這表明eiβ+jγ是w和e?α的小函數(shù).

又因為

而j/=0,所以T(r,eα)=S(r,w),矛盾,故(11)式成立.

下面證明

否則deg(iβ ?jγ)＜ d,1 ≤ i≤ 4,1≤ j≤ 4,eiβ?jγ是w和e?α的小函數(shù).

當i≥j時,

另一方面,

所以T(r,eα)=S(r,w),矛盾.

又因為

由Aij的性質(zhì)可知,

由引理7可知Aij≡0,那么A00≡0,A04≡0,與(10)式矛盾.故假設(shè)不成立,只能w(z)≡~w(z).

對于方程(2b),(2c),(2d)(m/=2),我們用同樣的證明方法也可以得到相應(yīng)的結(jié)果,這里不再贅述.

[1] 楊樂.值分布論及其新研究[M].北京:科學(xué)出版社,1982.

[2]HAYMAN W K.Meromorphic Functions[M].Oxford:Clarendon Press,1964.

[3] LYU F,HAN Q,LYU W R.On unicity of meromorphic solutions to difference equations of Malmquist type[J].Bull Aust Math Soc,2016,93(1):92-98.

[4] RONKAINEN O.Meromorphic solutions of difference Painlev′e equations[J].Ann Acad Sci Fenn Math Diss,2010,155(31):1-59.

[5] HALBURD R G,KORHONEN R J.Difference analogue of the lemma on the logarithmic derivative with applications to difference equations[J].J Math Anal Appl,2006,314(2):477-487.

[6] LAINE I,YANG C C.Clunie theorems for difference and q-difference polynomials[J].J Lond Math Soc,2007,76(3):556-566.

[7] LAINE I.Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations[M].Berlin:Walter de Gruyter,1993.

[8] CHIANG Y M,FENG S J.On the Nevanlinna characteristic of f(z+η)and difference equations in the complex plane[J].Ramanujan J,2008,16(1):105-129.

[9] 儀洪勛,楊重駿.亞純函數(shù)唯一性理論[M].北京:科學(xué)出版社,1995.

[10] 張繼龍,楊連中.潘勒韋Ⅲ型差分方程的亞純解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2014,57(1):181-188.

(責任編輯:林 磊)

On uniqueness of meromorphic solutions to difference Painlev′e Ⅲ equations

WANG Xiao-ming,GAO Zong-sheng,CHEN Min-feng
(LMIBamp;School of Mathematics and Systems Science,Beihang University,Beijing 100191,China)

We investigate the uniqueness of finite-order transcendental meromorphic solutions to difference Painlev′e Ⅲ equations.We suppose w is a finite-order transcendental meromorphic solution to difference Painlev′e Ⅲ equation.If w shares two distinct finite values with another meromorphic function?w and they have the same poles(counting multiplicities),we conclude that w≡?w under certain conditions.

difference Painlev′e Ⅲ equation;transcendental meromorphic solutions;share values

O174.52

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2017.06.002

1000-5641(2017)06-0025-08

2016-12-12

國家自然科學(xué)基金(11371225)

汪曉明,男,碩士研究生,研究方向為復(fù)分析.E-mail:xiaoming.w@buaa.edu.cn.