陳松良

(1.貴州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 貴州 貴陽 550018; 2.貴州省教育大數(shù)據(jù)技術(shù)和教育數(shù)學(xué)院士工作站 貴州 貴陽 550018)

DOI: 10.13705/j.issn.1671-6841.2017004

有初等交換Sylowq-子群的p3q3階群的構(gòu)造

陳松良1,2

(1.貴州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 貴州 貴陽 550018; 2.貴州省教育大數(shù)據(jù)技術(shù)和教育數(shù)學(xué)院士工作站 貴州 貴陽 550018)

設(shè)p，q為奇素數(shù)，且pgt;q，而G是p3q3階群.當(dāng)G的Sylowq-子群為初等交換群時，利用有限群的局部分析方法，對群G進行了完全分類并獲得了其全部構(gòu)造.

有限群; 同構(gòu)分類; 群的構(gòu)造

DOI: 10.13705/j.issn.1671-6841.2017004

0 引言

確定n階群的構(gòu)造，是有限群論中人們一直關(guān)心的一個問題.文獻[1]和[2]分別確定了p3q階群和p3q2階群的構(gòu)造(其中p，q是不同的素數(shù))，特別地，當(dāng)p=2，q=3時，文獻[3]用較簡便的方法確定了2233(即108)階群的構(gòu)造.文獻[4]確定了所有23p3階群的構(gòu)造(其中p是奇素數(shù)且p≠3，7).文獻[5]確定了所有2373(即2 744)階群的構(gòu)造，但文中有幾處錯誤.文獻[6]確定了所有2333(即216)階群的構(gòu)造，并更正了文獻[5]中的錯誤.文獻[7]分析了無3次因子階群的結(jié)構(gòu)信息，并給出了在同構(gòu)意義上構(gòu)造這類群的一個算法.文獻[8]對無3次因子階群的結(jié)構(gòu)信息給出了進一步的描述和刻畫.文獻[9]對無4次因子階群的結(jié)構(gòu)信息給出了描述和刻畫.文獻[10]利用有限群子群的θ-完備性，討論了某些有限群的可解性.本文對Sylowq-子群為初等交換q-群的p3q3階群進行完全分類，并確定了它們的全部構(gòu)造.

1 主要結(jié)果

定理1設(shè)p，q為不同的奇素數(shù)，且pgt;q，G是p3q3階群，Sylowq-子群為初等交換q-群，那么：

1) 當(dāng)qgt;3時：若(q，(p3-1)(p+1))=1，且(q2+q+1，p)=1，則G有5種不同構(gòu)的類型；若(q，p+1)=q(這時有(q，p3-1)=1，且(q2+q+1，p)=1)，則G有7種不同構(gòu)的類型；若(q，p2+p+1)=q(這時有(q，p2-1)=1，且(q2+q+1，p)=1)，則G有6種不同構(gòu)的類型；若(q，p2+p+1)=q，且(q2+q+1，p)=p，則G有(p+35)/3種不同構(gòu)的類型；若(q2+q+1，p)=p，但(q，p3-1)=1，則G有(p+32)/3種不同構(gòu)的類型；若(q，p-1)=q，且q≡1(mod 3)，則G有16+2q+(4q2+q+1)/6種不同構(gòu)的類型；若(q，p-1)=q，q≡-1 (mod 3)，而且(q2+q+1，p)=p，則G有21+2q+(4q2+q+2p+1)/6種不同構(gòu)的類型；若(q，p-1)=q，q≡-1 (mod 3)，但(q2+q+1，p)=1，則G有16+2q+(4q2+q-3)/6種不同構(gòu)的類型.

2) 當(dāng)q=3時：若p≡-1 (mod 3)，則G有7種不同構(gòu)的類型；若p≡1 (mod 3)，且p≠13時，則G有28種不同構(gòu)的類型；若p=13，則G有38種不同構(gòu)的類型.

2 定理的證明

為了給出定理1的證明，在下文中用|g|表示元素g的階，對于兩個群A與B，用A∶B表示A被B的半直積.G的Sylowq-子群為Q=〈x〉×〈y〉×〈z〉，其中x，y，z都是q階元.由文獻[11]知G的Sylowp-子群P必為下列5種類型之一：P1=〈a〉，式中|a|=p3；P2=〈a〉×〈b〉，式中|a|=p2，|b|=p；P3=〈a〉×〈b〉×〈c〉，式中|a|=|b|=|c|=p；P4=〈a〉∶〈b〉，式中|a|=p2，|b|=p，ab=ap+1；P5=(〈a〉×〈c〉)∶〈b〉，式中|a|=|b|=|c|=p，ab=ac，cb=c.下面用5個引理來敘述.

引理1設(shè)p3q3階群G的Sylowp-子群是循環(huán)p-群P1，則：

1) 當(dāng)(q(q2+q+1)，p(p-1))=1時，G恰有1種不同構(gòu)的類型G=P1×Q.

3) 當(dāng)(q2+q+1，p)=p(這時必有p≡1(mod 3))時，G除了P1×Q外，還有構(gòu)造G=(〈x〉×〈y〉×〈z〉)∶〈a〉，其中：xa=y；ya=z；za=xyγzβ. 而β，γ∈Zq，使得λ3-βλ2-γλ-1是Zq上多項式(λp-1)/(λ-1)的一個3次不可約因式.

證明由文獻[12]中的引理3和引理6可得.

1) 當(dāng)(q(q2+q+1)，p(p-1))=1時，G恰有1種不同構(gòu)的類型G=P2×Q.

2) 當(dāng)(q，p-1)=q時((q2+q+1，p)=1或p)，G除了P2×Q外，還有不同構(gòu)的類型

G(i)=(〈a〉∶〈x〉)×(〈b〉∶〈y〉)×〈z〉，

(1)

其中：ax=ari；by=bs；i=0，1. 因此式(1)代表2個不同構(gòu)的p3q3階群

G(i)=((〈a〉×〈b〉)∶〈x〉)×〈y〉×〈z〉，

(2)

其中：ax=ar，bx=bsi，0≤i≤q-1.因此式(2)代表q個不同構(gòu)的p3q3階群.

3) 當(dāng)p≡1(mod 3)，且(q2+q+1，p)=p時((q，p-1)=1或q)，G除了P2×Q外，還有2種不同構(gòu)的類型

G=((〈x〉×〈y〉×〈z〉)∶〈a〉)×〈b〉，

(3)

其中：xa=y；ya=z；za=xyγzβ.而β，γ∈Zq，使得λ3-βλ2-γλ-1是Zq上多項式(λp-1)/(λ-1)的一個3次不可約因式

G=((〈x〉×〈y〉×〈z〉)∶〈b〉)×〈a〉，

(4)

其中：xb=y；yb=z；zb=xyγzβ.而β，γ∈Zq，使得λ3-βλ2-γλ-1是Zq上多項式(λp-1)/(λ-1)的一個3次不可約因式.

證明(i) 首先，設(shè)G的Sylowp-子群是正規(guī)子群.這時可證明G是超可解的，而且可設(shè)〈a〉與〈b〉都是Q-不變的.因為Aut(〈a〉)與Aut(〈b〉)分別是p(p-1)、p-1階循環(huán)群，所以，當(dāng)(q，p-1)=1時，G必是交換群且有構(gòu)造P2×Q.當(dāng)(q，p-1)=q時，G除了P2×Q外，還可能是非交換群，而由于Q/CQ(a)，Q/CQ(b)分別同構(gòu)于Aut(〈a〉)與Aut(〈b〉)的一個子群，所以CQ(a)與CQ(b)中至少有一個不是Q.

1) 當(dāng)CQ(a)=Q而CQ(b)≠Q(mào)時，不妨設(shè)CQ(b)=〈x〉×〈z〉，則ax=ay=az=a，bx=bz=b，且可設(shè)by=bs(否則只要用y的適當(dāng)方冪代替y即可)，于是得G的構(gòu)造為式(1)中的G(0).

2) 當(dāng)CQ(a)≠Q(mào)而CQ(b)=Q時，不妨設(shè)CQ(a)=〈y〉×〈z〉，則ay=az=a，且可設(shè)ax=ar(否則只要用x的適當(dāng)方冪代替x即可)，于是得G的構(gòu)造為式(2)中的G(0).

3) 當(dāng)CQ(a)與CQ(b)都不等于Q且CQ(a)≠CQ(b)時，則不妨設(shè)CQ(a)=〈y〉×〈z〉，CQ(b)=〈x〉×〈z〉，且可設(shè)ax=ar(否則只要用x的適當(dāng)方冪代替x即可)，by=bs(否則只要用y的適當(dāng)方冪代替y即可)，于是得G的構(gòu)造為式(1)中的G(1).

4) 當(dāng)CQ(a)=CQ(b)≠Q(mào)時，則可設(shè)CQ(a)=CQ(b)=〈y〉×〈z〉，ax=ar(否則只要用x的適當(dāng)方冪代替x即可)，bx=bsi，其中1≤i≤q-1，于是得G的構(gòu)造為式(2)中的G(1)，G(2)，…，G(q-1).

(ii) 其次，設(shè)G的Sylowp-子群不是正規(guī)子群.這時，由Sylow定理可知，G的Sylowp-子群的個數(shù)是q3，于是應(yīng)有NG(P2)=P2.但P2是交換群，所以NG(P2)=CG(P2).由Burnside定理知，G的Sylowq-子群是正規(guī)子群，從而P2/CP2(Q)同構(gòu)于Aut(Q)的一個子群.又Aut(Q)同構(gòu)于GL(3，q)，而GL(3，q)的階是q3(q3-1)(q2-1)(q-1)，所以必有(p3，q2+q+1)=p，因此CP2(Q)是P2的p2階子群，且由文獻[12]可知Q必是G的極小正規(guī)子群，而p≡1(mod 3).當(dāng)CP2(Q)是循環(huán)群時，不妨設(shè)CP2(Q)=〈a〉，由文獻[12]可知G有形如式(4)的構(gòu)造.當(dāng)CP2(Q)不是循環(huán)群時，則CP2(Q)=〈ap,b〉，同樣由文獻[12]可知G有形如式(3)的構(gòu)造.綜上所述，引理3成立.

1) 當(dāng)(q(q2+q+1)，p(p3-1)(p+1))=1時，G恰有1種不同構(gòu)的類型G=P3×Q.

2) 當(dāng)(q，p-1)=q，((q2+q+1，p)=1或p)時，G除了P3×Q外，還有不同構(gòu)的類型

G(i,j)=((〈a〉×〈b〉×〈c〉)∶〈x〉)×〈y〉×〈z〉，

(5)

其中：ax=as；bx=bsi；cx=csj，0≤i,j≤q-1.當(dāng)q=3時，式(5)包含5個不同構(gòu)的p3q3階群；當(dāng)q≡1 (mod 3)時，式(5)包含(q2+4q+1)/6個不同構(gòu)的p3q3階群；當(dāng)q≡-1(mod 3)時，式(5)包含(q2+4q+9)/6個不同構(gòu)的p3q3階群.

G(i,j)=((〈a〉×〈b〉×〈c〉)∶(〈x〉×〈y〉))×〈z〉，

(6)

其中：ax=as；ay=a；bx=b；by=bs；cx=csi；cy=csj，0≤j≤i≤q-1，而G(i,0)?G(k,0)，當(dāng)且僅當(dāng)ik≡1 (modq)，所以式(6)包含(q2+3)/2個不同構(gòu)的p3q3階群.G=(〈a〉∶〈x〉)×(〈b〉∶〈y〉)×(〈c〉∶〈z〉)，其中：ax=as；by=bs；cz=cs.

3) 當(dāng)(q，p+1)=q時，G除了P3×Q外，還有1種構(gòu)造G=((〈a〉×〈b〉)∶〈x〉)×〈c〉×〈y〉×〈z〉，其中：ax=b；bx=a-1bβ.而β∈Zp，使得λ2-βλ+1是Zp上多項式λq-1的一個2次不可約因式.

4) 當(dāng)q≡1(mod 3)，且(q，p2+p+1)=q時，G除了P3×Q外，還有1種構(gòu)造

G=((〈a〉×〈b〉×〈c〉)∶〈x〉)×〈y〉×〈z〉，

(7)

其中：ax=b；bx=c；cx=abβcγ，而β，γ∈Zp，使得λ3-γλ2-βλ-1是Zp上多項式(λq-1)/(λ-1)的一個3次不可約因式.

5) 當(dāng)p≡1(mod 3)，且(q2+q+1，p)=p時，G除了P3×Q外，還有1種構(gòu)造G=((〈x〉×〈y〉×〈z〉)∶〈a〉)×〈b〉×〈c〉，其中：xa=y；ya=z；za=xyγzβ.而β，γ∈Zq，使得λ3-βλ2-γλ-1是Zq上多項式(λp-1)/(λ-1)的一個3次不可約因式.

證明由文獻[13]的定理1可得.

1) 當(dāng)(q(q2+q+1)，p(p-1))=1時，G恰有1種不同構(gòu)的類型G=P4×Q.

2) 當(dāng)(q，p-1)=q時，G除了P4×Q外，還有構(gòu)造

G=((〈a〉∶〈b〉)∶〈x〉)×〈y〉×〈z〉，

(8)

其中：ax=ar；ab=ap+1；bx=b.

3) 當(dāng)(q2+q+1，p)=p且p≡1(mod 3)時，G除了P4×Q外，還有不同構(gòu)的類型

G=((〈x〉×〈y〉×〈z〉)∶〈a〉)∶〈b〉，

(9)

其中：xa=y；ya=z；za=xyγzβ；[x,b]=[y,b]=[z,b]=1；ab=ap+1.而β，γ∈Zq，使得λ3-βλ2-γλ-1是Zq上多項式(λp-1)/(λ-1)的一個3次不可約因式

G=(〈x〉×〈y〉×〈z〉×〈a〉)∶〈b〉，

(10)

其中：xb=y；yb=z；zb=xyγzβ；ab=ap+1.而β，γ∈Zq，使得λ3-βλ2-γλ-1是Zq上多項式(λp-1)/(λ-1)的一個3次不可約因式.

證明首先斷定G至少有一個Sylow子群是正規(guī)子群.若不然，則G的最大正規(guī)q-子群Oq(G)=1.因為，當(dāng)1lt;Oq(G)lt;Q時，易見G/Oq(G)的Sylowp-子群P4Oq(G)/Oq(G)是正規(guī)的，從而P4Oq(G)?G.但pgt;q，由此得P4charP4Oq(G)，因而P4?G，矛盾.因為G是可解群，所以1lt;Op(G)lt;P4，并且G/Op(G)的Sylowp-子群是不正規(guī)的.由Sylow定理可知，G/Op(G)的Sylowp-子群的個數(shù)有q3個，從而P4/Op(G)是自正規(guī)的交換p-群，再由Burnside定理知，G/Op(G)的Sylowq-子群QOp(G)/Op(G)是正規(guī)的.又QOp(G)/Op(G)?Q，而Aut(Q)的Sylowp-子群是p階循環(huán)群，所以O(shè)p(G)是p2階群.若Op(G)是循環(huán)群，則其自同構(gòu)群是交換群，而P4與Q都非平凡地作用在Op(G)上，所以[P4，Q]≤Op(G)，這與P4不正規(guī)的假設(shè)矛盾，故Op(G)是p2階初等交換群.令H=NG(Q)，則因為QOp(G)/Op(G)?G/Op(G)，所以G=HOp(G)，從而G/Op(G)?H/H∩Op(G).這說明存在g∈P4-Op(G)，使得g∈H.但P4的p2階初等交換子群Op(G)=〈ap,b〉，于是不妨設(shè)a∈H，從而|H|=p2q3.又此時H在G中的核HG=H∩Op(G)=〈ap〉，所以p2|G/HG|.但|G∶H|=p，于是G/HG同構(gòu)于對稱群Sp的一個子群，這是不可能的.

最后，如果G的Sylowp-子群不正規(guī)，那么G的Sylowq-子群是正規(guī)的.這時，必有(q2+q+1，p)=p且p≡1(mod 3)，而CP(Q)是p2階群.當(dāng)CP(Q)=〈ap,b〉時，G有形如式(9)的構(gòu)造，且類似于引理4中式(7)的證明[13]，可知G的這種構(gòu)造只有一種不同構(gòu)的類型.當(dāng)CP(Q)=〈a〉時，G有形如式(10)的構(gòu)造.又在式(10)中，由于b作用在〈a〉上是其p階自同構(gòu)，而b作用在Q上也是其p階自同構(gòu)，但b作用在Q上的方式與多項式(λp-1)/(λ-1)的3次不可約因式是一一對應(yīng)的，因此式(10)共代表(p-1)/3個不同構(gòu)的p3q3階群.綜上所述，引理4得證.

1) 當(dāng)(q(q2+q+1)，p(p2-1))=1時，G恰有1種不同構(gòu)的類型G=P5×Q.

2) 當(dāng)(q，p-1)=q時，G除了P5×Q外，還有不同構(gòu)的類型

G(i)=(((〈a〉×〈c〉)∶〈b〉)∶〈x〉)×〈y〉×〈z〉，

(11)

其中：ax=as；ab=ac；bx=bsi；cx=csi+1；cb=c，0≤i≤q-1.而G(i)?G(j)，當(dāng)且僅當(dāng)ij≡1 (modq)，所以式(11)共包含(q+3)/2個不同構(gòu)的p3q3階群

G=(((〈a〉×〈c〉)∶〈b〉)∶(〈x〉×〈y〉))×〈z〉，

(12)

其中：ab=ac；ax=as；ay=a；bx=b；by=bs；cb=c；cx=cy=cs.

3) 當(dāng)(q，p+1)=q時，G除了P5×Q外，還有1種構(gòu)造

G=(((〈a〉×〈c〉)∶〈b〉)∶〈x〉)×〈y〉×〈z〉，

(13)

其中：ab=ac；cb=c；ax=b；bx=a-1bβ；cx=c.而β∈Zp，使得λ2-βλ+1是Zp上多項式λq-1的一個2次不可約因式.

4) 當(dāng)(q2+q+1，p)=p且p≡1(mod 3)時，G除了P5×Q外，還有1種構(gòu)造G=(〈x〉×〈y〉×〈z〉×〈a〉×〈c〉)∶〈b〉，其中：xb=y；yb=z；zb=xyγzβ；ab=ac；cb=c，而β，γ∈Zq，使得λ3-βλ2-γλ-1是Zq上多項式(λp-1)/(λ-1)的一個3次不可約因式.

證明這時G至少有一個Sylow子群是正規(guī)子群.否則，類似引理5，可知在G中，Oq(G)=1，且Op(G)是p2階初等交換群，不妨設(shè)Op(G)=〈b,c〉.若令H=NG(Q)，則有g(shù)∈P5-Op(G)，使得g∈H，不妨設(shè)a∈H.于是，〈a〉Q是補為〈a〉而核為Q的Frobenius群，顯然Q是〈a〉Q的極小正規(guī)子群.從而對任何g∈Q，只要g≠1，就有〈gai|i=1,2,…,p〉=Q.又Q作用在Op(G)，如果這個作用是不可約的，那么Q/CQ(Op(G))是循環(huán)群，于是CQ(Op(G))≠1，所以存在1≠g∈Q，使得g平凡作用在Op(G)上.如果Q在Op(G)上的作用是可約的，那么在Op(G)中有兩個p階的Q-不變子群A與B，使得Op(G)=A×B，于是，Q/CQ(A)與Q/CQ(B)都是循環(huán)群，由此得CQ(A)與CQ(B)都是Q的q2階子群.易見CQ(A)∩CQ(B)gt;1，所以存在1≠g∈CQ(A)∩CQ(B)?Q，使得g平凡作用在Op(G)=A×B上.總之，無論何種情況，都存在1≠g∈Q使cg=c.但ca=c，于是gai都穩(wěn)定c，從而Q中心化c，因而〈c〉?G且c∈H.由此得|H|=p2q3，且HG=H∩Op(G)=〈c〉.因此再由[G∶H]=p，得G/HG同構(gòu)于對稱群Sp的一個子群，這是不可能的.

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(責(zé)任編輯：方惠敏)

OntheStructuresoftheFiniteGroupsofOrderp3q3withElementarySylowq-subgroups

CHEN Songliang1,2

(1.SchoolofMathematicsandComputerScience,GuizhouEducationUniversity,Guiyang550018,China; 2.GuizhouProvincialAcademicianWorkstationofEducationalBigDataTechnologyandEducationalMathematics,Guiyang, 550018,China)

Letp,qbe odd primes withpgt;q, andGbe finite groups of orderp3q3. With the help of local analysis of finite groups, the isomorphic classification ofGand their structures were discussed whenever their Sylowq-subgroups were elementary.

finite group; isomorphic classification; structure of group

2017-01-08

國家自然科學(xué)基金項目(11661023)；貴州省科技平臺及人才團隊專項資金項目(黔科合[2016]5609).

陳松良(1964—)，男，湖南雙峰人，教授，主要從事有限群論研究. E-mail：chsl_2013@aliyun.com.

O152.1

A

1671-6841(2017)04-0011-05