于春肖， 任翠環(huán)， 郝雪景

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

DOI: 10.13705/j.issn.1671-6841.2017049

三維位勢問題Legendre級數基本解誤差分析

于春肖， 任翠環(huán)， 郝雪景

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

對三維位勢及位勢梯度Legendre級數基本解進行了研究.利用Legendre函數性質和近遠場劃分準則，推導出位勢及位勢梯度基本解的截斷誤差表達式，并分析了有關截斷指標對計算精度和計算效率的影響.

Legendre級數； 基本解； 位勢； 位勢梯度； 截斷誤差

DOI: 10.13705/j.issn.1671-6841.2017049

0 引言

邊界元法(BEM)是一種有效的工程數值計算方法，具有降維、精度高、靈活和速度快等特點.但因計算過程中形成的線性矩陣方程組的系數矩陣是非對稱型滿陣，邊界元法對大規(guī)模的工程問題并不適用.基于BEM的上述問題，很多學者對其進行了深入的研究.文獻[1]提出了快速多極展開法(FMM)，此算法是一種快速求解積分方程的算法.之后，文獻[2]將FMM廣義極小殘余法(GMRES)結合邊界積分方程，得到快速多極邊界元(FM-BEM)，此方法使計算量和存儲量降低到O(N)，在很大程度上提高了計算效率，被廣泛應用到各個領域.文獻[3]將快速多極展開技術用于高階邊界元法，降低了計算量和存儲量.文獻[4-5]對三維彈塑性摩擦接觸多極邊界元法進行了研究.并對三維軋制過程，建立了點面摩擦接觸模型.近幾年來，FM-BEM的應用更加廣泛.文獻[6]將有限元和FMM-BEM結合，來分析結構聲學問題.文獻[7]研究了FMM-BEM中基礎Laplace方程非負解的存在性.

多極展開法[8]是一種近似方法，展開的階數越多就越接近真實值.在實際中展開的階數是有限的，也就是存在項數的截斷.誤差的估計方法有多種，如文獻[9]提出了一種新的估計技巧.而本文依據勒讓德函數的相關性質，對三維位勢及位勢梯度Legendre級數基本解展開的截斷誤差進行了推導，得出級數展開到p項時的誤差估計式，從而得到控制精度的方法.

1 三維位勢問題的邊界積分方程

設有限域為Ω，其表面邊界為Γ.已知位勢表面為Γ1，已知位勢梯度表面為Γ2，且Γ=Γ1+Γ2，則可得Poisson方程的邊界積分方程為

其中：x為源點；y為邊界Γ上的任意一點；ci為邊界形狀系數；式中所用到的基本解為u*(x,y)，

其中：q*(x,y)是u*(x,y)在y點處的外法線方向的導數；R為觀測點和源點間的距離；n為邊界Γ的外法矢.

位勢基本解是1/R的函數.為適合多極展開法，將梯度表示為

(3)

其中：m=1、2、3；?m表示關于xm的偏導數.

2 位勢及位勢梯度Legendre級數基本解截斷誤差

Legendre級數多極展開法是對位勢問題基本解中的核函數1/R進行級數展開.其近似程度和展開的項數密切相關，展開的項數越多，就越接近真實值.但展開的項數過多，只是增加計算的時間，對提高精度影響不大，所以展開項數一般截斷到某一項p，下面對多極展開中的截斷誤差進行分析.

2.1 位勢基本解截斷誤差

設O為坐標原點,X(r,θ,φ)為場點,Xi(ρi,αi,βi)為源點，兩點的相對距離為r/ρi，兩點距離為

cosγ=cosθcosαi+sinθsinαicos(φ-βi).

定理1在極坐標中場點和源點的距離為R，則基本解基于Legendre級數展開的截斷誤差為

證明由公式(2)，可得

2.2 位勢梯度基本解截斷誤差

定理2若球坐標系下源點為Xi(ρi,αi,βi)，場點為X(r,θ,φ)，且滿足cosν=cosθcosα+sinθ·sinαcos(φ-β)，那么

證明要證式(4)，即證[cosθsinαcos(φ-β)-sinθcosα]2≤1-cos2ν.

由夾角間的關系得:

則有[cosθsinαcos(φ-β)-sinθcosα]2+cos2ν=cos2α+sin2αcos2(φ-β)≤1.

定理3若球坐標系下源點為Xi(ρi,αi,βi)，場點為X(r,θ,φ)，且滿足cosν=cosθcosα+sinθ·sinαcos(φ-β)，那么

證明要證式(5)，即證1-cos2ν-sin2αsin2(φ-β)≥0.

由夾角間的關系得

定理4球坐標系下，位勢梯度的各個分量的截斷誤差分別為ΔEpr、ΔEpθ、ΔEpφ，則

證明設位勢梯度的截斷誤差為ΔEp，則

由Legendre函數的微商表示與連帶的Legendre函數的微商間的關系可得[10]：

根據Legendre函數的正交性及遠近場劃分準則可得[11]

結合定理2，可得

結合定理3，可得

2.3 位勢及位勢梯度截斷誤差分析

由定理1可得三維位勢基本解的截斷誤差式，截斷項數p取不同的值時，將Ep*a看作一個整體，其截斷誤差結果如圖1所示.由定理4可得位勢梯度的截斷誤差.截斷項數p取不同的值時，將‖ΔEp‖*a2看作一個整體，其截斷誤差結果如圖2所示.

圖1 位勢的誤差 (r/ρ=2)Fig.1 Error for potential

圖2 位勢梯度的誤差(r/ρ=2)Fig.2 Error for potential gradient

從圖1和圖2中可以看出，當相對距離r/ρ一定時，隨著截斷項數p的增加，位勢和位勢梯度的截斷誤差都在逐漸縮小.

因此，截斷項數p對多極展開的計算量、存儲量以及求解精度具有重要的影響，適當地選取p值在實際工程計算中尤為重要.由文獻[12]知，為了獲得一個較高的精度，截斷項數p應與log1/2(|)同階.對于給定的精度要求，就可以用式p=[-log2|]+1([]代表取整),給出其所要求的截斷項數.

3 結論

本文從三維位勢問題位勢基本解入手，對其Legendre級數展開進行詳細分析，給出位勢及位勢梯度Legendre級數基本解的截斷誤差估計式，并給出一定精度時，截斷項數p的選取表達式.研究結果進一步完善了Legendre級數FM-BEM的理論體系，為快速FM-BEM解決位勢問題提供了強有力的理論依據.

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(責任編輯：方惠敏)

ErrorAnalysisofFundamentalSolutionsinLegendreSeriesforThree-dimensionalPotentialProblems

YU Chunxiao, REN Cuihuan, HAO Xuejing

(CollegeofSciences,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

Potential and potential gradient fundamental solutions in Legendre series were studied for three-dimensional potential problems. By using properties of Legendre function and the near-far field partition criterion, truncation error expressions were derived for the potential and potential gradient fundamental solutions. In addition, the influence of truncation index on the computational accuracy and efficiency was analyzed.

Legendre series； fundamental solution； potential； potential gradient； truncation error

2017-03-16

國家自然科學基金項目(11301459)；河北省自然科學基金項目(A2015203121).

于春肖(1977—)，女，河北平山人，教授，主要從事多極邊界元法與應用研究，E-mail: chxy@ysu.edu.cn；通信作者：任翠環(huán)(1990—)，女，河北衡水人，主要從事多極邊界元法及相關算法研究，E-mail: 18713510209@163.com.

O241

A

1671-6841(2017)04-0001-04