徐 娜，傅學(xué)怡

1) 廣東科學(xué)技術(shù)職業(yè)學(xué)院建筑工程學(xué)院，廣東珠海519090；2) 深圳大學(xué)土木工程學(xué)院，廣東深圳518060

【土木建筑工程/ArchitectureandCivilEngineering】

基于能量損失理論的混凝土受壓損傷本構(gòu)模型

徐 娜1，傅學(xué)怡2

1) 廣東科學(xué)技術(shù)職業(yè)學(xué)院建筑工程學(xué)院，廣東珠海519090；2) 深圳大學(xué)土木工程學(xué)院，廣東深圳518060

在Najar損傷理論基礎(chǔ)上，基于《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》(GB 50010—2010)，提出一種新型的混凝土單軸受壓損傷本構(gòu)模型，得到混凝土單軸受壓損傷的計算公式和演變方程，可更好地描述沒有簡化的混凝土單軸受壓過程中的損傷狀況. 給出常用強度等級的混凝土受壓損傷本構(gòu)曲線和損傷變量方程，對比分析不同強度等級混凝土的損傷曲線. 應(yīng)用軟件ABAQUS，建立一個矩形鋼筋混凝土筒體剪力墻模型，繪制模型結(jié)構(gòu)的極限承載力骨架曲線. 擬合對比分析，建立材料損傷和結(jié)構(gòu)破壞的宏觀近似關(guān)系，證明了假定是合理的. 該本構(gòu)模型具有參數(shù)少、簡單實用和精度較高等優(yōu)點，利用此方法可以有效解決混凝土受壓損傷的仿真分析.

混凝土；能量損失；Najar損傷理論；受壓損傷；本構(gòu)模型；損傷演變方程

在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)框架上建立起來的損傷力學(xué)中，損傷變量的概念包含在材料的本構(gòu)關(guān)系內(nèi)[1]. 損傷變量隨著應(yīng)力或應(yīng)變的變化，被稱為損傷的演化規(guī)律. 目前，混凝土的研究已廣泛應(yīng)用于損傷理論[2-7]. 其中，損傷理論包含能量損傷理論[8-12]和幾何損傷理論[13-16].能量損傷理論的基礎(chǔ)力學(xué)包括連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和熱力學(xué)兩方面，損傷過程被認為是能量不可逆的轉(zhuǎn)換過程，損傷的本構(gòu)方程和損傷的演變方程均通過耗散勢能和自由能推導(dǎo)而來[17-18]. 基于能量的角度，損傷是一個不可逆的耗散過程[19-20]. 而建立損傷變量和消耗能量間的某種關(guān)系，作為提供解決混凝土受壓損傷仿真分析的方法是有效合理的.

1 混凝土材料的損傷變量

基于能量損失的角度，研究混凝土的損傷情況. 在Najar損傷理論[21]中，脆性固體材料的損傷D可定義為

D=ΔWε/Wo

(1)

其中，Wo為應(yīng)變能密度(無損材料)，且

(2)

ΔWε=Wo-Wε

(3)

而

Wε=ε′:E:ε′

(4)

其中，E為損傷材料彈性系數(shù)的四階張量.

2 Najar損傷理論

熱力學(xué)過程即為混凝土受壓力學(xué)的全過程，而能量的耗散過程或者不可逆的熱力學(xué)過程即為其損傷的實質(zhì). 混凝土的受力狀態(tài)如圖1[21]所示. 其中，在應(yīng)變逐漸到達ε的階段，外力所做的功會轉(zhuǎn)變?yōu)?種能量，包括彈性階段的應(yīng)變能量、塑性階段的耗散能以及有關(guān)損傷的擴展能量. 在Najar損傷理論中，混凝土假定是無損傷的理想狀態(tài)，直線OA代表了其應(yīng)力-應(yīng)變的關(guān)系，即σ=Eoε， 其中σ為應(yīng)力值，那么外力在混凝土無損傷狀態(tài)下所作的功為

ωperf=Eoε2/2

(5)

其中，Eo為混凝土初始彈性模量；ε為混凝土壓應(yīng)變.

圖1 混凝土受力狀態(tài)[21]Fig.1 The force of the concrete[21]

實際上，混凝土是處于有損傷的狀態(tài)，圖中OC段為應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系曲線，那么在應(yīng)變?yōu)棣艜r外力功ωPE為

ωPE=σε/2

(6)

損傷變量dc在Najar損傷理論中為

(7)

對混凝土這種損傷材料，它的應(yīng)力下降現(xiàn)象在式(7)中得到了很好的詮釋. 損傷變量方程是基于不可逆的能量耗散原理，無論是宏觀上的力學(xué)性能還是微觀上裂縫發(fā)展的整個下降過程，均得到了詳細的詮釋和表現(xiàn)，并且在混凝土結(jié)構(gòu)的損傷研究中巧妙地繞開了研究混凝土的細微裂紋問題，大大簡化了損傷研究的過程. 式(7)中，當(dāng)結(jié)構(gòu)處于理想狀態(tài)時(無損傷)，ωperf=ωPE，dc=0； 而對損傷的結(jié)構(gòu)， 0≤ωPE≤ωperf， 且在極限狀態(tài)下，即ωperf>>ωPE，dc→1，dc值在0～1之間.

3 受壓損傷變量方程及其演變方程

實際上，直接應(yīng)用Najar損傷理論使得混凝土的損傷程度得以量化是非常困難的，因為此時混凝土的損傷狀態(tài)是基于宏觀上的能量耗散. 因此，基于Najar損傷理論，本研究提出了一種新的混凝土單軸受壓的損傷本構(gòu)，從而更全面準確地詮釋了《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》(GB 50010—2010)[22]附錄中混凝土單軸受壓本構(gòu)的損傷演變過程. 在該標準附錄中混凝土單軸受壓本構(gòu)的基礎(chǔ)上，本研究建立了損傷變量的表達式.

當(dāng)處于無損傷狀態(tài)時，σ=Eoε，f*c=Eoεo，即

(8)

基于等價應(yīng)變原理，可推出損傷材料的本構(gòu)關(guān)系為

σ=E(1-D)ε

(9)

而假定損傷狀態(tài)下，

(10)

所以

(11)

Najar損傷理論中

那么

(12)

因此

當(dāng)0≤ε≤εo時，

(13)

因此

當(dāng)εo≤ε≤εcu時，

那么

(14)

式(14)為混凝土的損傷變量方程.

在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出混凝土損傷演化方程為

(15)

4 基于不同強度等級的混凝土受壓損傷本構(gòu)關(guān)系曲線

3種不同強度等級的混凝土本構(gòu)關(guān)系模型參數(shù)見表1[23]. 3種不同強度等級的混凝土單軸受壓損傷變量方程見表2. 在表2建立的混凝土損傷變量方程基礎(chǔ)上，對比了3種不同強度等級混凝土的受壓損傷變量和應(yīng)變的關(guān)系，如圖2. 從圖2可見，在彈性階段，混凝土無損傷；隨著應(yīng)變值進一步增大，混凝土進入塑性階段，當(dāng)損傷變量值陡然增大，曲線出現(xiàn)了第1個轉(zhuǎn)折點；隨著應(yīng)變值繼續(xù)增大，而損傷變量值緩慢增長，當(dāng)曲線出現(xiàn)了第2個拐點時，損傷變量值基本保持不變，dc= 0.7. 此時，混凝土發(fā)生受壓破壞，應(yīng)變達到峰值壓應(yīng)變. 對比強度等級不同的混凝土，損傷變量值隨著強度等級越低而越大，損傷越嚴重. 本研究混凝土單軸受壓損傷本構(gòu)模型與文獻[24]中典型的混凝土損傷演變圖基本一致.

表1 混凝土單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線的參數(shù)值[23]

表2 不同強度混凝土單向受壓的損傷變量方程

圖2 不同強度混凝土損傷-應(yīng)變曲線Fig.2 Damage-strain curves of concrete under different strengths

5 受壓損傷本構(gòu)模型的應(yīng)用

采用混凝土C35，考慮主要研究混凝土的受壓破壞，簡化其受拉應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，ft=fck/10， 且不考慮混凝土的受拉損傷. 采用本研究混凝土單軸受壓塑性損傷模型，如圖3.

圖3 受壓損傷變量-塑性應(yīng)變曲線(C35)Fig.3 The relationship curve between compression damage variable and plastic strain(C35)

圖4 底部截面應(yīng)力分布圖Fig.4 Stress distribution of bottom cross-section

首先在自重作用下的彈性范圍內(nèi)，分別查看結(jié)構(gòu)底部截面應(yīng)力、豎向位移及豎向反力，驗證模型合理有效. 選取結(jié)構(gòu)底部開洞墻體上的1個截面，該截面上節(jié)點1～7的應(yīng)力值分別為0.760、0.717、0.675、0.674、0.674、0.716和0.759 N/mm2. 該截面的應(yīng)力分布如圖4. 由圖4可知，應(yīng)力集中發(fā)生在端部截面，隨著應(yīng)力不斷向中間截面擴散，應(yīng)力在中間位置逐漸達到均勻分布，且對稱節(jié)點的應(yīng)力基本相同，每層截面應(yīng)力值基本相當(dāng).

該截面7個節(jié)點的豎向反力值分別為62.7、110.5、106.4、104.6、106.2、110.0和62.6 kN(圖5)，底部節(jié)點產(chǎn)生軸向反力，且應(yīng)力集中發(fā)生在角部位置，此處豎向反力較小，中間截面豎向反力較大，截面對稱的節(jié)點反力基本相同.

圖5 反力分布圖Fig.5 Reaction force distribution

該截面7個節(jié)點的豎向位移值均為0.34 mm，表明有限元數(shù)值模擬與理論相符，從而驗證了模型合理可用.

應(yīng)用該模型，進行彈塑性研究分析. 選取不同的組合，在模型上同時施加水平荷載和豎向荷載，即在保證軸力持續(xù)不變的情況下輸入水平荷載.

在偏壓構(gòu)件處于正截面承載力極限狀態(tài)時，其軸向的壓力和彎矩是相互關(guān)聯(lián)的. 利用Matlab軟件按照下面的步驟編寫Nu-Mu曲線的程序，以求得偏壓作用下結(jié)構(gòu)的極限承載力Nu-Mu理論的骨架曲線：

1)選取混凝土受壓邊緣的壓應(yīng)變?yōu)棣與u；

2)選取受拉一側(cè)的邊緣應(yīng)變；

3)基于混凝土單軸拉壓本構(gòu)模型、鋼筋的單軸拉壓本構(gòu)模型以及截面的應(yīng)變分布，得到混凝土的應(yīng)力及拉壓鋼筋的應(yīng)力；

4)壓力Nu和彎矩Mu均根據(jù)平衡條件計得；

5)另外選取受拉一側(cè)邊緣應(yīng)變，如圖6所示，然后重復(fù)步驟3)和步驟4).

圖6 計算簡圖Fig.6 Computing model

在實際情況中，當(dāng)施加豎向荷載時，構(gòu)件處于全截面受壓狀態(tài)，由于應(yīng)力集中等原因，左右兩端部截面出現(xiàn)假的損傷情況，所以我們不考慮端部截面的假損傷，只研究中部截面. 研究表明，此種情況下整個截面的受壓損傷變量值均達到損傷的臨界值，整個截面全部發(fā)生破壞. 當(dāng)將水平荷載與豎向荷載同時施加于模型的時候，首先進入損傷狀態(tài)的為右端截面，隨著荷載的不斷加大，損傷擴展，左端截面開始逐漸損傷. 研究偏壓作用下所有組合的情況，損傷臨界值均首先出現(xiàn)在截面的受壓邊緣.

假定當(dāng)占整個截面7%的受壓截面均達到損傷臨界值時，結(jié)構(gòu)定義為破壞，此時為極限承載狀態(tài)，求得內(nèi)力SFi. 處理求得的內(nèi)力SFi數(shù)據(jù)，得到Nu-Mu組合，其中

假設(shè)受壓為正方向，SFi對中間點取矩得到

Mu= SF2×a2+ SF3×a3+ SF4×a4+ SF5×a5+

SF6×a6+ SF7×a7+ SF8×a8+ SF9×a9+

SF10×a10+ SF11×a11+ SF12×a12+ SF13×

a13+ SF14×a14+ SF15×a15+ SF16×a16

(16)

其中，a2=3.5，a3=3.0，a4=2.5，a5=2.0，a6=1.5，a7=1.0，a8=0.5，a9=0，a10=0.5，a11=1.0，a12=1.5，a13=2.0，a14=2.5，a15=3.0，a16=3.5.

應(yīng)用式(16)，可求得實際偏壓情況下結(jié)構(gòu)軸力Nu和彎矩Mu的組合值. 再應(yīng)用已有的繪制Nu-Mu骨架曲線的程序，可求得極限承載力理論骨架曲線. 對比研究分析求得軸力Nu和彎矩Mu的組合值與理論骨架曲線，如圖7所示. 從圖7可知，結(jié)構(gòu)在偏心受壓作用下發(fā)生破壞的所有情況均包含在該極限承載力骨架曲線中，其中混凝土受拉破壞為軸力為負值階段. 我們只研究實際情況的受壓破壞，包含大偏壓和小偏壓：

1)當(dāng)彎矩為0時，軸力達到極限值；

2)當(dāng)軸力為0時，彎矩沒有達到極限值，彎矩是在發(fā)生界限破壞達到極限值；

3)在小偏壓階段，軸力隨著彎矩的增大而減??；在大偏壓階段，軸力隨著彎矩的增大而增大.

結(jié)構(gòu)破壞均在此損傷程度下，且內(nèi)力組合值與理論值曲線吻合較好，說明全截面的宏觀破壞假定是合理的.

圖7 Nu-Mu擬合對比Fig.7 Simulation and comparison of Nu-Mu

研究表明，無論混凝土強度等級為多少，當(dāng)構(gòu)件的7%的截面受壓損傷值近于或超出受壓損傷臨界值，構(gòu)件達到極限狀態(tài)，發(fā)生破壞.

有別于以往的研究中判斷結(jié)構(gòu)是否破壞主要靠材料的微觀性能，本研究基于理論的骨架曲線，在損傷和破壞之間建立了一種宏觀的聯(lián)系——當(dāng)構(gòu)件7%的截面受壓損傷值接近或超出受壓損傷臨界值，構(gòu)件達到極限狀態(tài)，發(fā)生破壞.

結(jié) 語

基于Najar損傷理論，提出了一種新的混凝土單軸受壓損傷本構(gòu)模型，并在此基礎(chǔ)上得出了混凝土單軸受壓損傷的演化方程，繪制了典型強度等級的混凝土單軸受壓損傷本構(gòu)曲線. 建立了一個真實簡單的剪力墻模型，并應(yīng)用此混凝土單軸受壓損傷本構(gòu)模型，對比研究分析了模型的極限承載力骨架曲線. 此本構(gòu)模型清晰全面地詮釋了《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》(GB 50010—2010)中混凝土的單軸受壓本構(gòu)關(guān)系，提供了混凝土單軸受壓損傷應(yīng)用的理論基礎(chǔ). 利用該數(shù)學(xué)模型，揭示了混凝土單軸受壓損傷的本質(zhì)及變化規(guī)律，提供了數(shù)據(jù)和參考給混凝土結(jié)構(gòu)的損傷機理. 該本構(gòu)模型具有參數(shù)少、公式簡單、方法實用以及精度較高等優(yōu)點，揭示了實際情況中材料的損傷程度和結(jié)構(gòu)破壞的宏觀關(guān)系.

引文：徐 娜，傅學(xué)怡. 基于能量損失理論的混凝土受壓損傷本構(gòu)模型[J]. 深圳大學(xué)學(xué)報理工版，2017，34(6)：604-610.

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【中文責(zé)編：坪梓；英文責(zé)編：之聿】

2017-03-02；Accepted2017-06-16

Lecture Xu Na．E-mail：174600556@qq.com

Thecompressiondamageconstitutivemodelofconcretebasedonthetheoryofenergyloss

XuNa1andFuXueyi2

1) College of Architectural Engineering, Guangdong Polytechnic of Science and Technology, Zhuhai 519090, Guangdong Province, P.R.China2) College of Civil Engineering, Shenzhen University, Shenzhen 518060, Guangdong Province, P.R.China

Based on Najar damage theory, according to ‘Code for design of concrete structure’ (GB50010—2010), we put forward a new generic formula of concrete compression damage constitutive model, and propose the damage evolution equation, which describes complete and non-simplified damage condition in the process of uniaxial compression of concrete preferably. For common strength grade concrete, the compression damage constitutive curve and damage variable equations are given. The concrete damage curves of different strength grades are analyzed contrastively. By using finite element software ABAQUS, we simulate the cylinder shear wall of rectangular section reinforced concrete, and draw the skeleton curve of ultimate bearing capacity under theory condition. Through fitting analysis, we establish the macro relation between materials damage and structure destruction, which verifies that the assumption is reasonable. The advantages of this constitutive model are that the parameters are less and its mathematical form is simple and practical, and that the precision is higher, which provides another solution with compression damage simulation analysis of concrete structure.

concrete; energy loss; Najar damage theory; compression injury; constitutive model; damage evolution equation

Foundation：National Natural Science Foundation of China (50778113,90715012)

：Xu Na，F(xiàn)u Xueyi．The compression damage constitutive model of concrete based on the theory of energy loss[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2017, 34(6): 604-610.(in Chinese)

TU 375

A

10.3724/SP.J.1249.2017.06604

國家自然科學(xué)基金資助項目(50778113,90715012)

徐 娜(1983—)，女，廣東科學(xué)技術(shù)職業(yè)學(xué)院講師、博士.研究方向：鋼管混凝土結(jié)構(gòu). E-mail：174600556@qq.com