李萬春*,彭吳可,彭麗,馬葉子,李英祥

1.電子科技大學 電子工程學院 網絡空間安全研究中心,成都 611731

2.成都信息工程大學 通信工程學院 氣象信息與信號處理四川省高校重點實驗室,成都 610225

3.清華大學醫(yī)學院,北京 100084

WGS-84模型下時差頻差半定規(guī)劃定位算法

李萬春1,2,*,彭吳可1,3,彭麗1,馬葉子1,李英祥2

1.電子科技大學 電子工程學院 網絡空間安全研究中心,成都 611731

2.成都信息工程大學 通信工程學院 氣象信息與信號處理四川省高校重點實驗室,成都 610225

3.清華大學醫(yī)學院,北京 100084

利用多顆衛(wèi)星的時差頻差對輻射源進行位置和速度的測量,其本質意義上是一個含有噪聲項的高度非線性方程組求解問題,針對地面目標而言,可以采用基于WGS-84地球模型作為目標位置和速度約束,更進一步的增加了定位系統的復雜性。提出了一種基于半定規(guī)劃(SDP)的定位解算法,將非線性方程求解問題通過適當的松弛,轉化為半定優(yōu)化(SDO)的問題,借助于業(yè)界較為成熟的CVX等優(yōu)化軟件進行定位求解,并研究了該模型條件下的克拉美羅下界(CRLB)。仿真結果表明,該算法能夠較好地逼近克拉美羅下界。

WGS-84模型;時差定位;頻差定位;半定規(guī)劃;克拉美羅下界

空間中相距一定距離的多顆衛(wèi)星組成衛(wèi)星簇,測量地面輻射源輻射的電磁信號傳播到其中兩顆衛(wèi)星的到達時間差,以及信號到達兩衛(wèi)星的頻率差,結合輻射源所在地球面作為定位面,就可以實現輻射源定位[1-3]。

基于時差頻差測量的輻射源定位問題,相關文獻最早見于Ho和Xu提出的兩步加權最小二乘(2WLS)解析算法[1],其核心思想是在待求目標位置與速度未知的情況下引入參考站到目標的斜距和斜距變化率,通過一定的代數轉換將復雜的非線性測量方程轉化為針對上述未知量的線性方程,采用加權最小二乘法(WLS)獲得未知量的初始解,再根據斜距與斜距變化率與目標位置速度之間的約束關系,利用WLS得到最終的定位解。在文獻[4]的基礎上,文獻[5]引入了觀測器誤差,獲得了更為穩(wěn)健的定位解。文獻[6]引入了多維標量的方式進行目標定位。文獻[7-11]從不同的角度討論了到達時差(TDOA)聯合到達頻差(FDOA)定位問題。

將半定規(guī)劃(SDP)引入到定位領域是當下較為熱門的問題[12-16],Wang等[17]給出了一種基于SDP的TDOA與FDOA聯合定位算法,通過一定的轉換與松弛,將非線性測量方程轉化為SDP問題再求解。文獻[18-20]討論了幾種集中式的TDOA與FDOA聯合定位算法。

對于利用已知目標的地理海拔高度進行TDOA與FDOA的聯合定位問題,文獻[21]給出了一種解析算法,該算法通過非線性測量方程,將問題轉化為求解一元高階多項式方程。由于該方法沒有考慮到測量方程的誤差影響,所以在測量噪聲較大的情況下不夠穩(wěn)健。本文在文獻[17]的基礎上,結合 WGS-84模型,并將該模型作為約束條件,提出了一種基于半定規(guī)劃的穩(wěn)健定位求解算法,仿真結果表明,該算法收斂較快,精度高,算法的穩(wěn)健性好,是一種有效的定位算法。論文章節(jié)安排如下:第1節(jié)為定位模型,第2節(jié)為定位算法,第3節(jié)為仿真分析,第4節(jié)為結論。

1 定位模型

假設某時刻在地固坐標系(ECEF)中,空間中N顆衛(wèi)星的位置和速度分別為si(i=1,2,…,N)和˙si(i=1,2,…,N),分別接收地面上某一輻射源發(fā)射的同一脈沖信號,比較脈沖到達時間,得到N-1組獨立的TDOA,比較脈沖到達頻率(FOA),得到N-1組獨立的FDOA。在三維空間中,根據每一組獨立的時差測量和每一組獨立的頻差測量都可以分別得到一個單葉雙曲定位面,兩個雙曲面和地球面的交點就是目標所在的位置。

假設該時刻衛(wèi)星和目標的大地直角坐標分別為si(i=1,2,…,N)、˙si(i=1,2,…,N)和u、˙u。若測得的時差、頻差為τi1、fi1,那么可得到測量方程為

式中:i=2,3,…,N,di1=cτi1,˙di1=cfi1,c為電磁波的傳播速率。

本算法以地球面作為定位面,對其進行精確建模。通常使用的地球面都是正球面模型,該模型和真實地球面相去甚遠,所以采用和地球面密合較好的WGS-84地球橢球面模型。

在WGS-84坐標系下,具有高程的目標的直角坐標和大地經緯高坐標的關系為

將式(3)兩端對時間求導,可得

將式(1)、式(3)和式(4)所構成的復雜非線性方程組聯立求解,即可求出目標的大地坐標向量[x y z]和速度向量[˙x ˙y ˙z]。

式(3)和式(4)可以分別簡記為

2 定位算法

2.1 基于TDOA和FDOA測量的目標定位

將時差和頻差的測量噪聲寫作Δα=[nT˙nT],其 中n=[n21n31… ni1]T,˙n=[˙n21˙n31… ˙ni1]T。ni1、˙ni1分別為第i站和第1站之間的時差、頻差測量誤差。假設Δα～N(0,Qα),其中Qα為噪聲的協方差。將時差、頻差以及觀察站和輻射源的距離差、速度差的值定義為

整理后可得

式中:G=[-1N-1IN-1]。-1N-1為N-1行1列的全1向量,將兩式合并可得

由最大似然估計可知,待估計的參數應該使已測量到的數據出現的概率盡可能的大,因此建立目標函數為

2.2 目標定位的加權最小二乘解

將以上最大似然估計轉化為加權最小二乘估計,詳細的證明過程見文獻[1]。

式中:

其中:B1=2diag(r2,r3,…,rN);˙B1=2diag(˙r2,˙r3,… ,˙rN)。

要利用該方法求解需要假設初值^φ=[^uT^u·T]T。根據初值估計出加權矩陣^Q=^BQα^BT。在本文的計算中直接假設初值^φ=0,計算出結果后進行一次迭代計算。

2.3 利用SDR方法得到WGS-84模型下的SDP形式

首先對目標函數進行轉化:

由中間變量r1,˙r1的物理意義可以得到約束條件為

根據式(13)由柯西許瓦茲不等式可得到

將Y=yyT代入可變換為

由WGS-84模型約束等式(3)和式(4),可得到約束條件為

將式(16)代入SDP問題中可得到

據此,對于標準的半定規(guī)劃問題,可利用相關的凸優(yōu)化工具來求解。

如果目標靜止的話,推導如上,只需要將y中的第4～6行的元素置零即可。最后得到靜止目標定位求解的SDP為

3 仿真分析

本節(jié)中考察目標靜止與運動2種情況下的定位仿真。

1)靜止目標的定位

采用5個衛(wèi)星觀察站進行定位,衛(wèi)星觀察站的位置與速度(ECEF坐標)如表1所示。

假設目標位置為u=[-1 961 3 395 5 020]km,設定WGS-84模型的參數分別為:長半徑a=6 378.137 km,偏心率e=0.003 352 810 664,h=0 km。該仿真主要針對于海平面上的目標,因此將問題簡化為目標高程差為零來計算。仿真結果如圖1所示。

表1 觀察站的位置和速度Table 1 Location and velocity of observatories

圖1 靜止目標不同定位方法的位置RMSE比較Fig.1 Comparison of location RMSE with different positioning methods for stationary target

2)運動目標的定位

設定目標位置為u=[-1 961 3 395 5 020]km,速度為˙u=[-6.5 -10 -18]km/h。假設WGS-84模型的參數分別為:長半徑a=6 378.137 km,偏心率e=0.003 352 810 664,h=0 km。該仿真同樣是針對于海平面上的目標,因此將問題簡化為目標高程差為零來計算。仿真結果如圖2所示。

圖2 運動目標不同定位算法的位置和位置和速度RMSE比較Fig.2 Comparison of location and velocity RMSE with different positioning algorithms for moving target

仿真圖繪制了帶約束條件的SDP算法(SDPC)和不帶約束條件的SDP算法(SDPU)的仿真結果,同時還繪制了其分別的CRLB限。從理論分析和仿真結果圖2(a)與圖2(b)中可以得到,引入WGS-84模型約束后,定位的理論精度對比于無約束時有較大的提升,并且該定位算法的性能接近克拉美羅下界。

4 結 論

1)本文提出了一種在WGS-84模型下的時差頻差聯合SDP定位算法。

2)在測量噪聲適當的情況下,所提方法性能逼近CRLB。

3)相比解析算法[4],本文算法更具備穩(wěn)健性。

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附錄A

克拉美羅下界(CRLB)是一個無偏線性估計量能達到的最低方差,其值為Fisher矩陣的逆,Fisher矩陣定義為

式 中:q=[r21r31… rN1˙r21˙r31…˙rN1]T;ri1和˙ri1為沒有誤差的di1和˙di1即第i站和第1站之間真實的時差和頻差值;p(q;θ)為q的概率密度函數,θ為待估計的參數。對于本文的算法,需要考慮兩種情況,一是靜止目標,二是運動目標。首先考察靜止目標。

1)靜止目標無約束CRLB

式中:qo(θ)為服從高斯分布的概率密度函數p(q;θ)的均值;Q為其協方差矩陣。

由文獻[17]可得

2)靜止目標約束CRLB

由文獻[21]可知,當存在額外的約束條件時其CRLB為

式中:F為約束條件關于估計量的梯度,即

其CRLB為

根據約束條件可計算得到

4)運動目標約束CRLB

由文獻[21]可知,當存在額外的約束條件時

其CRLB為

CRLB(θ)=J-1-J-1F(FTJ-1F)-1FTJ-1(A8)

式中:F為約束條件關于估計量的梯度,即

Semidefinite programming algorithm with TDOA and FDOA measurements based on WGS-84 earth model

Ll Wanchun1,2,*,PENG Wuke1,3,PENG Li1,MA Yezi1,Ll Yingxiang2

1.Center for Cyber Security,School of Electronic Engineering,University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu 611731,China;
2.Meteorological lnformation and Signal Processing Key Laboratory of Sichuan Higher Education lnstitutes,School of Communication Engineering,Chengdu University of lnformation Technology,Chengdu 610225,China;
3.School of Medicine,Tsinghua University,Beijing 100084,China

ln essence,detecting the location and velocity of a radiation source by utilizing time difference of arrival/frequency difference of arrival(TDOA/FDOA)for multiple satellites can be deemed as a highly nonlinear solution problem within noise.For a ground target,the WGS-84 earth model is the constraint condition,which makes the location system become more complicated.ln this paper,a new algorithm for solving this location problem is proposed based on the semi-definite programming(SDP).Based on the novel algorithm,the nonlinear location problem can turn into a semidefinite optimization(SDO)by an appropriate relaxation which can be solved by some mature software like CVX.According to this model,the Cramer-Rao Lower Bound(CRLB)of the location problem is then given.The computer simulation demonstrates that the proposed algorithm can approach the CRLB effectively.

WGS-84 earth model;location by time difference of arrival,location by frequency difference of arrival;semidefinite programming;Cramer-Rao lower bound

2016-10-12;Revised:2016-11-28;Accepted:2017-03-17;Published online:2017-04-01 13:27

URL:www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170401.1327.002.html

Meteorological lnformation and Signal Processing Key Laboratory of Sichuan Higher Education lnstitutes

V19;TN967.1

A

1000-6893(2017)07-320843-08

10.7527/S1000-6893.2017.320843

2016-10-12;退修日期:2016-11-28;錄用日期:2017-03-17;網絡出版時間:2017-04-01 13:27

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170401.1327.002.html

氣象信息與信號處理四川省高校重點實驗室基金

*通訊作者.E-mail:liwanchun@uestc.edu.cn

李萬春,彭吳可,彭麗,等.WGS-84模型下時差頻差半定規(guī)劃定位算法[J].航空學報,2017,38(7):320843.Ll W C,PENG W K,PENG L,et al.Semidefinite programming algorithm with TDOA and FDOA measurements based on WGS-84 earth model[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2017,38(7):320843.

(責任編輯:蘇磊)

*Corresponding author.E-mail:liwanchun@uestc.edu.cn