程晗， 陳維義， 謝芝亮

海軍工程大學 兵器工程系， 武漢 430033

平臺搖擺對卡爾曼濾波跟蹤精度的影響

程晗*， 陳維義， 謝芝亮

海軍工程大學 兵器工程系， 武漢 430033

通過建立目標相對運動坐標系和目標相對運動觀測模型，研究了在平臺搖擺影響下，跟蹤系統(tǒng)觀測到的目標運動狀態(tài)的變化。在分析捷聯(lián)垂直基準補償原理的基礎上建立了捷聯(lián)垂直基準平臺搖擺角補償模型，建立的模型結合捷聯(lián)垂直基準系統(tǒng)的測量能力對其補償算法進行了理論推導，使模型適用于實際捷聯(lián)垂直基準系統(tǒng)。通過建立模型以及仿真研究了平臺搖擺作用下卡爾曼濾波跟蹤精度的變化，指出了擺造成卡爾曼濾波跟蹤精度降低甚至離散的主要原因在于模型誤差增大。設計仿真實驗驗證了結論的正確性，為進一步改進跟蹤手段提供了理論參考。

平臺搖擺； 相對運動觀測模型； 捷聯(lián)垂直基準； 卡爾曼濾波跟蹤； 模型誤差

卡爾曼濾波算法由于其遞推形式易應用于計算機，已被廣泛運用于航空航天和軍事領域。文獻[1]指出，卡爾曼濾波算法在運用于目標跟蹤過程中存在對數(shù)學模型依賴性較大的特點。與此同時，運動平臺(如航空飛行器、水面艦艇等)在工作時，由于受到風、波浪、潮汐等自然環(huán)境因素的作用，會產生周期性的搖擺和震蕩，從而造成其平臺上全部儀器和設備的搖擺運動[2-3]。在平臺搖擺運動的影響下，目標相對跟蹤系統(tǒng)的觀測運動狀態(tài)會產生較大的隨機性和不可預測性，從而給濾波跟蹤帶來較大的困難[4-5]。本文通過建立相對運動觀測模型，研究了平臺搖擺下跟蹤系統(tǒng)所觀測目標運動狀態(tài)的變化，對捷聯(lián)垂直基準補償原理進行了研究，結合卡爾曼濾波跟蹤算法的相關理論基礎，通過建立模型分析了平臺搖擺對卡爾曼濾波跟蹤精度的影響。所得到的結論為進一步研究運動平臺跟蹤系統(tǒng)、改進跟蹤手段提供了理論參考。

1 目標相對跟蹤系統(tǒng)運動模型

運動平臺受環(huán)境因素影響在空間的運動主要包括橫搖、縱搖、艏搖、橫蕩、縱蕩、垂蕩等，其中垂蕩、縱蕩和橫蕩運動屬于平動，可以通過研究目標相對平臺搖擺中心的平動進行簡化，對于平臺的橫搖、縱搖和艏搖，則需要建立合適的坐標系進行研究[6]。

1.1 坐標系選取

研究目標的相對運動，需要選取合適的坐標系。在實際應用中，習慣于對平臺的姿態(tài)做出如下規(guī)定：① 對于平臺的橫搖，取向右舷傾斜為正；② 對于平臺的縱搖，取艏部向上傾斜為正。為了便于計算，使平臺搖擺運動方向和坐標軸的方向滿足右手螺旋定則，建立如下3種坐標系：

1) 平動坐標系O-XYZ

平動坐標系原點O位于跟蹤平臺的搖擺中心，X軸與平臺運動方向在水平面內的投影重合，Y軸垂直于X軸落于水平面內，取落于跟蹤平臺右舷方向為正，Z軸垂直于水平面向上。該坐標系內的位置坐標用[xyz]表示。

2) 觀測平面坐標系O-XbYbZb

觀測平面坐標系原點與平動坐標系原點重合，Xb軸在觀測平面內指向舷艏，Yb軸垂直于Xb軸落于觀測平面內，取落于觀測平面右舷方向為正，Z軸垂直于觀測平面向上。該坐標系內坐標用[xbybzb]表示。

3) 跟蹤測量坐標系Or-XrYrZr

跟蹤測量坐標系由觀測平面坐標系平動獲得，其坐標原點落于跟蹤系統(tǒng)的探測中心。該坐標系內坐標用[xryrzr]表示。

對于典型的三坐標雷達，其直接測量的參數(shù)為目標相對其距離、俯仰角和偏角(包括其隨時間的變化量)，經過變換后可獲得目標在跟蹤測量坐標系內的具體參數(shù)。本文主要研究卡爾曼濾波跟蹤過程，暫不將此球坐標到直角坐標的變換過程納入研究范圍內。

1.2 坐標變換與相對運動觀測模型

(1)

(2)

式(2)為平動坐標系到跟蹤測量坐標系的位置坐標變換公式。通常的坐標變換過程一般只能表征空間位置坐標的變換過程，但是實際情況中，目標處于運動狀態(tài)，我方跟蹤系統(tǒng)還需要對目標的速度甚至加速度進行測量，因此在建立目標相對運動模型時，還需要推導目標運動速度的變換矩陣。

令式(2)兩邊對時間求偏導：

(3)

式中：vrx、vry和vrz分別為目標在跟蹤測量坐標系內3個方向的運動速度；vx、vy和vz分別為目標在平動坐標系內3個方向的運動速度。dB/dt通過對位置坐標變換矩陣內各元素對時間求偏導獲得，其中平臺搖擺角度對時間的偏導dξj/dt、dηj/dt和dζj/dt可由ωjξ、ωjη和ωjζ替代，其物理意義為平臺橫搖、縱搖和艏搖的角速度。

式(3)為平動坐標系到跟蹤測量坐標系的速度變換公式，要求取加速度變換公式則另兩邊再對時間求偏導即可，在此不作贅述。

根據上述推導過程可以發(fā)現(xiàn)，跟蹤系統(tǒng)觀測到的目標運動狀態(tài)主要受到三方面的影響：① 目標在慣性空間的實際運動狀態(tài)；② 平臺搖擺運動狀態(tài)；③ 觀測設備的安裝位置誤差。

2 捷聯(lián)垂直基準及其補償模型

在平臺搖擺的作用下，原本運動狀態(tài)簡單、規(guī)律的目標其相對跟蹤系統(tǒng)的運動狀態(tài)也會變得復雜而無規(guī)律可循，假設某目標自跟蹤平臺勻速直線遠離，則其相對跟蹤平臺運動的實際軌跡與跟蹤系統(tǒng)的觀測軌跡如圖1所示。

圖1 平臺搖擺作用下目標軌跡和觀測軌跡Fig.1 Target trajectory and observed trajectory under influence of platform swaying

由文獻[7]可知，觀測軌跡的復雜化、無規(guī)律化會對目標跟蹤精度產生較大影響，結合文獻[8-16]中關于卡爾曼濾波跟蹤特性的研究可知，目標運動狀態(tài)的變化情況對卡爾曼濾波跟蹤效果會產生較大的影響，嚴重時甚至會產生跟蹤軌跡的離散，使得跟蹤過程失效。因此需要借助捷聯(lián)垂直基準對平臺的搖擺運動進行補償。

2.1 捷聯(lián)垂直基準補償原理

捷聯(lián)垂直基準可以實時獲取其安裝平臺的橫搖和縱搖運動參數(shù)，同時，通過羅經可以獲取運動平臺的艏搖參數(shù)，因此在進行補償運算時，可以一并對觀測信號進行補償[17-20]。

(4)

結合式(4)可知，在已知跟蹤系統(tǒng)的觀測信號和捷聯(lián)垂直基準測得的平臺搖擺運動信號的情況下，可以獲得目標相對觀測平臺的實際位置跟蹤信號。同時由式(3)可知，令式(4)兩端對時間分別求偏導，即可獲得目標相對觀測平臺的實際速度跟蹤信號。

通過上述方法，即可將觀測到的目標運動轉換為目標相對觀測平臺的實際運動，實現(xiàn)對平臺搖擺運動的補償。

2.2 目標運動狀態(tài)跟蹤補償模型

假設某時刻通過慣性系統(tǒng)測量的平臺搖擺角測量信息為[ξbηbζb]，平臺搖擺角速度測量信息為[ωbξωbηωbζ]。定義此刻的相對位置補償矩陣為

(5)

假設某時刻跟蹤系統(tǒng)對目標的觀測信號為Sg=[PgVg]，其中Pg=[xgygzg]T為位置觀測信息，Vg=[vgxvgyvgz]T為速度觀測信息。則可以算得補償后目標相對平臺的位置跟蹤信息為

(6)

令式(6)兩邊對時間求偏導，可以算得補償后目標相對平臺的速度跟蹤信息為

(7)

式中：dA/dt由矩陣A內各元素對時間求偏導所得；其中dξb/dt、dηb/dt和dζb/dt分別由ωbξ、ωbη和ωbζ代替進行計算。

3 跟蹤精度影響分析

根據大量文獻對卡爾曼濾波算法的實驗研究和仿真驗證結果可知，卡爾曼濾波算法對目標運動的數(shù)學模型存在較大的依賴性，在跟蹤目標參數(shù)變化規(guī)律無法被濾波算法遞推函數(shù)所描述時，算法的跟蹤精度會明顯下降。由圖1可知，在平臺搖擺運動的作用下，跟蹤系統(tǒng)的觀測軌跡會變得難以被確定的遞推函數(shù)所描述。

3.1 卡爾曼濾波算法基本假設

對于一般用于目標跟蹤的卡爾曼濾波算法，需要根據目標運動規(guī)律和跟蹤系統(tǒng)的跟蹤能力進行基本假設。

X(k+1)=Φ(k)X(k)+w(k)

(8)

式中：Φ(k)為k時刻的目標運動狀態(tài)轉移矩陣；w(k)為該時刻目標運動狀態(tài)噪聲。由于一般目標運動狀態(tài)存在未知性，因此通常采用常加速度模型，即對Φ(k)作出如下假設：

(9)

式中：Δ為跟蹤系統(tǒng)觀測時間間隔(采樣周期)。

假設k時刻跟蹤系統(tǒng)觀測到的目標運動狀態(tài)為Y(k)，其與目標實際狀態(tài)X(k)之間存在如下關系：

Y(k)=Θ(k)X(k)+v(k)

(10)

(11)

根據以上濾波算法的基本假設可知，基于該假設的濾波算法對常加速運動的目標跟蹤效果最好，然而由之前的研究可知，在平臺搖擺運動的影響下，跟蹤系統(tǒng)觀測到的目標運動幾乎不可能是勻加速運動，因此一定會產生較大的偏差，這就需要利用捷聯(lián)垂直基準的數(shù)據對觀測數(shù)據進行補償。

3.2 平臺搖擺對卡爾曼濾波影響分析

根據假設，在平臺搖擺的影響下，采用卡爾曼濾波算法直接對跟蹤設備的初始觀測信號進行濾波跟蹤會產生較大的偏離，要達到理想的跟蹤效果，需要先對初始觀測信號進行補償，接下來再對補償后的跟蹤信號進行濾波跟蹤處理，才能有效地發(fā)揮卡爾曼濾波跟蹤的優(yōu)勢。為了驗證上述假設是否合理，設計仿真實驗就臺搖擺對卡爾曼濾波跟蹤效果的影響進行分析。

1) 目標實際運動狀態(tài)滿足濾波算法基本假設

假設目標相對觀測平臺的實際運動狀態(tài)為勻速直線運動，由平臺搖擺中心開始遠離，記錄下對原始觀測信號進行補償后的卡爾曼濾波跟蹤軌跡；同時記錄直接采用卡爾曼濾波跟蹤的目標狀態(tài)數(shù)據，利用跟蹤平臺的搖擺參數(shù)對該數(shù)據進行坐標變換處理，得到平動坐標系下的跟蹤變換軌跡，目標的相對運動軌跡和兩組跟蹤軌跡圖如圖2所示。

圖2 直線運動目標跟蹤軌跡Fig.2 Tracking trajectory of rectilinear target

由圖中跟蹤軌跡可以明顯地發(fā)現(xiàn)，對于運動狀態(tài)滿足濾波跟蹤基本假設的目標，若先進行補償后進行濾波跟蹤，跟蹤軌跡幾乎與目標軌跡相重合；而直接采用卡爾曼濾波跟蹤獲得的跟蹤信號出現(xiàn)了較大的偏差，跟蹤失效。實驗結果滿足之前的假設。

2) 目標實際運動狀態(tài)不滿足算法的基本假設

假設目標圍繞平臺所在鉛垂線做圓周運動，分別采用兩種方式進行跟蹤的軌跡如圖3所示。

圖3 圓周運動目標跟蹤軌跡Fig.3 Tracking trajectory of circular motional target

由圖中軌跡可以看出，當運動狀態(tài)不滿足跟蹤基本假設時，兩種跟蹤都會產生明顯的跟蹤偏離，此時需針對卡爾曼濾波算法本身進行修正以彌補模型誤差。

由上述仿真實驗中的結果可以發(fā)現(xiàn)，在平臺搖擺運動的影響下，卡爾曼濾波的跟蹤效果明顯降低，這是由于在搖擺運動的作用下，跟蹤系統(tǒng)觀測到的目標運動狀態(tài)表現(xiàn)出較大的無規(guī)律性，而濾波算法采用的數(shù)學模型無法滿足跟蹤需求，從而導致濾波估計值產生較大誤差，進一步造成濾波跟蹤的失效。與此同時，采用垂直捷聯(lián)基準對跟蹤系統(tǒng)的觀測數(shù)據進行補償之后，再采用卡爾曼濾波跟蹤能有效彌補平臺搖擺對濾波算法帶來的影響，從而有效地提高了跟蹤精度。

4 仿真驗證

上述研究過程利用仿真模型定性地研究了平臺搖擺對卡爾曼濾波跟蹤效果的影響，而針對卡爾曼濾波相關領域的許多研究成果也能有效地補償標準卡爾曼濾波跟蹤的模型誤差，達到避免跟蹤失效的目的，其中文獻[1]提出的修正卡爾曼濾波算法就能實現(xiàn)這一目的，為了進一步證明本文研究結論的正確性和實用意義，下面設計仿真實驗針對修正卡爾曼濾波跟蹤進行定量分析驗證。

假設平臺搖擺運動均為周期運動，其隨時間的變化模擬為

(12)

式中：ξmax、ηmax和ζmax分別為橫搖、縱搖和艏搖的最大角；Tξ、Tη和Tζ分別為橫搖、縱搖和艏搖周期。

假設捷聯(lián)垂直基準能夠實時測量平臺搖擺的角度和角速度信息，其測量信息為

(13)

式中：[ξbηbζb]為平臺搖擺角度的測量信息；[ωbξωbηωbζ]為平臺搖擺角速度的測量信息；[ωjξωjηωjζ]和[JjξJjηJjζ]分別為平臺搖擺的實際角速度和角加速度信息；r為捷聯(lián)垂直基準在該時刻的測量噪聲。

采用100次蒙特卡羅法對跟蹤過程中空間位置的均方根誤差R進行統(tǒng)計計算，其定義為

(14)

(15)

式中：d為某時刻跟蹤估計位置與目標實際位置之間的空間距離；N為運行仿真的次數(shù)。

4.1 平臺搖擺程度對卡爾曼濾波跟蹤效果影響

根據不同的平臺航行環(huán)境，分3種模式模擬平臺的搖擺狀態(tài)，如表1所示。

表1 模擬平臺搖擺狀態(tài)參數(shù)Table 1 Simulation parameters of swaying status

1) 采用修正卡爾曼濾波對勻加速運動目標跟蹤

其中輕度模式下，位置均方根誤差最大值為5.722 m，平均值為5.068 5 m；中度模式下，位置均方根誤差最大值為8.13 m，平均值為5.958 1 m；重度模式下，位置均方根誤差最大值為17.06 m，平均值為8.068 1 m。對比3組數(shù)據可以發(fā)現(xiàn)，隨著平臺搖擺程度的加深，采用修正卡爾曼濾波的跟蹤精度逐漸降低，這與前面的假設相吻合。

2) 采用修正卡爾曼濾波對圓周運動目標跟蹤

其中輕度模式下，位置均方根誤差最大值為6.247 m，平均值為5.279 9 m；中度模式下，位置均方根誤差最大值為8.252 m，平均值為6.433 0 m；重度模式下，位置均方根誤差最大值為9.653 m，平均值為7.363 5 m。對比上述3組數(shù)據和前面對勻加速運動目標跟蹤的位置均方根誤差，發(fā)現(xiàn)在平臺搖擺運動的影響下，目標的運動狀態(tài)對修正卡爾曼濾波跟蹤的影響并不明顯。

圖4 各搖擺模式下對勻加速運動和圓周運動目標跟蹤位置的均方根誤差Fig.4 Position RMS tracking error of uniformly accelerated and circular motional targets under different swaying modes

4.2 捷聯(lián)垂直基準系統(tǒng)精度對卡爾曼濾波跟蹤效果影響

上述的實驗驗證了前面關于平臺搖擺狀態(tài)對卡爾曼濾波跟蹤影響的假設，為了進一步分析其內在原因，下面引入捷聯(lián)垂直基準系統(tǒng)對跟蹤系統(tǒng)觀測數(shù)據進行補償，研究捷聯(lián)垂直基準系統(tǒng)精度對卡爾曼濾波跟蹤效果的影響。為了突出補償效果，下面仿真實驗中平臺搖擺程度統(tǒng)一設定為重度模式。

假設捷聯(lián)垂直基準系統(tǒng)的測量噪聲分別滿足：

(16)

1) 勻加速直線運動目標跟蹤

假設目標自平臺的搖擺中心遠離，其運動狀態(tài)與之前的實驗假設相一致，跟蹤系統(tǒng)的參數(shù)保持不變。圖5為不同的捷聯(lián)垂直基準系統(tǒng)精度條件下采用修正卡爾曼濾波跟蹤算法的位置均方根誤差變化。

其中，捷聯(lián)垂直基準系統(tǒng)精度水平取r1時，其位置均方根誤差最大值為17.27 m，平均值為9.029 4 m；取r2時，其位置均方根誤差最大值為11.35 m，平均值為5.234 9 m；取r3時，其位置均方根誤差最大值為10.9 m，平均值為5.15 m；直接采用修正卡爾曼濾波跟蹤，其位置均方根誤差最大值為17.12 m，平均值為8.078 4 m。對比上述4組數(shù)據發(fā)現(xiàn)，當捷聯(lián)垂直基準系統(tǒng)精度水平取r1時，其前半部跟蹤精度軌跡要明顯優(yōu)于不采取補償?shù)母欆壽E，而在后半部分軌跡上升明顯；當捷聯(lián)垂直基準系統(tǒng)精度水平取r2和r3時，其整體軌跡都要優(yōu)于不采取補償?shù)母欆壽E，但是盡管兩者精度水平差了兩個數(shù)量級，但是相互之間差距并不是特別明顯。

2) 圓周運動目標跟蹤

假設目標圍繞平臺所在鉛垂線做圓周運動。

其中，捷聯(lián)垂直基準系統(tǒng)精度水平取r1時，其位置均方根誤差最大值為7.672 m，平均值為6.316 9 m；取r2時，其位置均方根誤差最大值為7.492 m，平均值為6.200 8 m；取r3時，其位置均方根誤差最大值為7.965 m，平均值為6.172 1 m；直接采用修正卡爾曼濾波跟蹤，其位置均方根誤差最大值為10.81 m，平均值為7.442 6 m。對比上述4組數(shù)據發(fā)現(xiàn)，當濾波算法假設不滿足目標的實際運動狀態(tài)時，采用捷聯(lián)垂直基準系統(tǒng)進行補償?shù)男Ч炔簧蠈蚣铀倌繕诉M行跟蹤時的明顯，而且各個精度水平下其誤差水平相差并不遠；對比各補償精度下不同目標運動狀態(tài)的誤差數(shù)據可發(fā)現(xiàn)，除卻精度水平為r1時，采取捷聯(lián)垂直基準系統(tǒng)補償?shù)那闆r下針對勻加速目標的跟蹤效果要明顯優(yōu)于針對圓周運動目標的跟蹤效果，這從側面驗證了前面關于平臺搖擺對卡爾曼濾波跟蹤影響的假設。

通過對比上述兩組仿真實驗中的實驗數(shù)據以及位置均方根誤差隨時間變化圖可知：

1) 平臺搖擺程度的加重會大幅增大卡爾曼濾波跟蹤的模型誤差，造成跟蹤精度下降，與此同時，濾波算法假設不滿足跟蹤目標的實際運動狀態(tài)也是模型誤差的主要來源。

圖5 各補償精度下對勻加速運動和圓周運動目標跟蹤位置的均方根誤差 Fig.5 Position RMS tracking error of uniformly accelerated and circular motional targets under different compensation precisions

2) 當濾波算法滿足目標運動狀態(tài)時，采用滿足一定精度條件的捷聯(lián)垂直基準系統(tǒng)對觀測信號進行補償，能有效降低濾波算法的模型誤差，但在滿足精度條件時，進一步提高捷聯(lián)垂直基準系統(tǒng)的精度對提高卡爾曼濾波跟蹤精度的效果并不明顯，這是由于采用捷聯(lián)垂直基準系統(tǒng)只能補償濾波算法的模型誤差，而其本身的精度水平并不是影響卡爾曼濾波跟蹤精度的決定性因素。

3) 采用捷聯(lián)垂直基準系統(tǒng)對平臺搖擺進行補償時需要結合目標距離滿足一定的精度水平，否則其自身誤差會隨目標距離觀測中心的距離增大，導致跟蹤效果降低。

4) 對卡爾曼濾波跟蹤算法進行合理改進能有效提高跟蹤精度和避免出現(xiàn)跟蹤失效的現(xiàn)象，然而其根本問題在于目標運動狀態(tài)模型無法滿足實際運動狀態(tài)，因此對于卡爾曼濾波算法的研究仍有很大的空間。

5 結 論

1) 對捷聯(lián)垂直基準參數(shù)對平臺搖擺的補償原理進行了分析，對捷聯(lián)垂直基準補償變換算法進行了理論推導。

2) 分析了平臺搖擺對卡爾曼濾波跟蹤精度的影響，指出模型誤差增大是主要原因。

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(責任編輯： 蘇磊)

Influence of platform swaying on accuracy of Kalman filter tracking

CHENGHan*，CHENWeiyi，XIEZhiliang

DepartmentofWeaponEngineering,NavalUniversityofEngineering,Wuhan430033,China

The model for the target relative movement coordinate system and movement tracking is built to study the influence of platform swaying on the target’s movement status captured by the tracking system. Base on the theory of strapdown vertical datum system compensating, the compensating model for the swaying angle is developed. The compensating model is applicable for the strapdown vertical datum system after theoretical derivation of the compensating algorithm. The influence on accuracy of Kalman filter tracking of platform swaying is analyzed by contrasting the difference between different tracking modes of compensating. The main influence on the accuracy of Kalman filter tracking under the condition of platform swaying is figured out to be the increase of model error, which may cause the divergence of the filter. The simulation model is built to prove the correctness of the conclusion, and the simulation result can provide theoretical reference for improving the ship-based tracking theory.

platform swaying; relative movement tracking model; strapdown vertical datum system; Kalman filter tracking; model error

2016-07-06；Revised2016-08-10；Accepted2016-09-05；Publishedonline2016-09-201009

2016-07-06；退修日期2016-08-10；錄用日期2016-09-05； < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2016-09-201009

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160920.1009.002.html

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.E-mail843740845@qq.com

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http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0249

V448.2; TP237； TP391.9

A

1000-6893(2017)06-320589-10

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160920.1009.002.html

*Correspondingauthor.E-mail843740845@qq.com