王肖， 郭杰,*， 唐勝景， 徐倩， 馬悅悅,3， 張堯

1.北京理工大學 宇航學院， 北京 100081 2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所， 北京 100076 3.北京機電工程總體設計部， 北京 100854

吸氣式高超聲速飛行器魯棒非奇異Terminal滑模反步控制

王肖1， 郭杰1,*， 唐勝景1， 徐倩2， 馬悅悅1,3， 張堯1

1.北京理工大學 宇航學院， 北京 100081 2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所， 北京 100076 3.北京機電工程總體設計部， 北京 100854

針對含有參數(shù)攝動、外界干擾的吸氣式高超聲速飛行器彈性模型，設計了一種基于新型非線性干擾觀測器的Terminal滑模反步控制器。將考慮彈性模態(tài)的飛行器縱向模型表示為嚴格反饋形式，在傳統(tǒng)反步法的基礎上采用非奇異快速Terminal滑模控制俯仰角與俯仰角速率，優(yōu)化了反步法的控制結構，并實現(xiàn)了系統(tǒng)的有限時間收斂。基于跟蹤微分器設計了一種新型非線性干擾觀測器，并與本文所提滑模反步方法相結合，通過對包括虛擬控制量微分信號在內的不確定性進行估計與補償，進一步提高了控制器的魯棒性，同時解決了“微分膨脹”問題?；贚yapunov穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)的跟蹤誤差于有限時間收斂至零。仿真結果表明，該控制器在存在不確定性的情況下，可以實現(xiàn)對參考輸入的穩(wěn)定跟蹤。

高超聲速飛行器； 滑模控制； 反步法； 非線性干擾觀測器； 有限時間收斂

高超聲速飛行器是指飛行速度大于5Ma的飛行器，其速度快、突防能力強，有著巨大的軍事價值和經濟價值。近期，裝配有超燃沖壓發(fā)動機的吸氣式高超聲速飛行器(Air-breathing Hypersonic Vehicle，AHV)成為研究發(fā)展的熱點[1]。然而，此類飛行器采用的機體/發(fā)動機一體化技術以及乘波體構形使得彈性機體、推進系統(tǒng)以及氣動特性之間的耦合更加嚴重，模型的非線性度更高。同時，AHV飛行包線大，飛行環(huán)境復雜，氣動特性變化劇烈，模型不確定性強。因此，AHV控制器的設計面臨著巨大的挑戰(zhàn)[2-3]。

近年來，各類非線性控制算法日漸成熟，逐漸應用于AHV的控制器設計中[4-7]。其中，反步法(Backstepping)因其適用于多個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)形成的非線性系統(tǒng)，已廣泛應用于AHV的控制系統(tǒng)設計。然而，傳統(tǒng)反步法魯棒性不強，研究者們致力于將其與其他控制方法相結合以提高其魯棒性。文獻[8]采用動態(tài)逆反步控制器，利用自適應模糊系統(tǒng)在線辨識系統(tǒng)中的不確定項，保證了控制系統(tǒng)的魯棒性。文獻[9]設計了一種基于RBF神經網絡的反步控制器，在飛行器存在強干擾的情況下獲得了理想的控制效果。文獻[10]針對飛行器存在未知參數(shù)和執(zhí)行器故障的問題，采用自適應反步控制方法，實現(xiàn)了對參考輸入的魯棒跟蹤。

傳統(tǒng)反步法所面臨的另一問題是：隨著系統(tǒng)階數(shù)的增加，需要求取虛擬控制量的高階微分信號，這會導致“微分膨脹”問題。針對該問題，通過采用動態(tài)面技術[11-12]或指令濾波器[13-14]來間接求取虛擬控制量及其微分信號，從而代替了對虛擬控制量的直接微分。然而，這些方法求得的虛擬控制量與理想值之間仍有誤差。當系統(tǒng)參考指令變化較快時，跟蹤誤差可能很大；同時，這也增加了串級控制系統(tǒng)設計的復雜程度。

此外，傳統(tǒng)AHV反步控制器中，狀態(tài)量包含迎角，可以考慮使用俯仰角代替，將俯仰角與俯仰角速率一起控制，從而簡化控制器的結構。針對這種結構的控制，一種有效的方法是使用Terminal滑模，但傳統(tǒng)的Terminal滑模存在控制奇異和遠離平衡點時收斂緩慢的問題[15]。鑒于此，文獻[15-17]對滑模面進行了改進，但在強不確定性的情況下，系統(tǒng)難以穩(wěn)定，且控制輸入存在抖振問題。

近年來，非線性干擾觀測器(Nonlinear Disturbance Observer，NDO)因其能在線實時估計系統(tǒng)不確定量的大小而備受關注[18-22]。其中，自抗擾控制[20-22]的核心擴張狀態(tài)觀測器本質就是一種非線性干擾觀測器。而利用自抗擾控制中的另一理論跟蹤微分器(tracking differentiator)也可設計干擾觀測器。將非線性干擾觀測器與滑模反步控制器相結合，能夠使控制系統(tǒng)的魯棒性更強。

基于以上分析，本文針對含有參數(shù)攝動、外界干擾的AHV彈性模型，設計了一種滑模反步控制器，實現(xiàn)了對參考輸入的穩(wěn)定跟蹤。該控制器采用非奇異快速Terminal滑模(Nonsingular Fast Terminal Sliding Mode，NFTSM)與反步法相結合，可同時控制俯仰角與俯仰角速率，簡化控制器結構的同時，實現(xiàn)了系統(tǒng)的有限時間收斂；在此基礎上結合一種基于跟蹤微分器的新型非線性干擾觀測器，通過估計和補償各回路中包括虛擬控制量微分在內的不確定性，提高了控制器的魯棒性，同時避免了“微分膨脹”的問題。

1 模型描述

AHV彈性縱向運動模型如下[4-5]：

(1)

式(1)中的T、L、D、M和Ni(i=1,2,3)可表示[4]為

(2)

為了便于后續(xù)控制系統(tǒng)設計，將式(1)改為如下嚴反饋形式：

(3)

式中：θ=a+γ為飛行器俯仰角。

gV=qSCT,φ(a)cosa/m

其中：dV、dγ和dQ為各回路中不確定性之和，包括參數(shù)攝動、未建模動態(tài)、外部擾動、彈性作用以及舵偏對氣動力的耦合等。

由式(2)可知，飛行器所受氣動力和力矩與彈性模態(tài)存在嚴重的耦合，設計控制系統(tǒng)時必須考慮到彈性模態(tài)的影響。工程中，彈性模態(tài)很難測量，本文將由彈性模態(tài)引起的氣動力和力矩對各回路的影響包含在dV、dγ和dQ內，視為未知不確定性的一部分。通過干擾觀測器對其進行估計與補償，可解決彈性模態(tài)無法測量給控制器設計帶來的困難。

注1 升降舵和鴨舵產生的阻力對速度回路的影響包含在dV內。升降舵產生的升力與鴨舵產生的升力抵消。鴨舵產生的俯仰力矩對俯仰角速率的影響包含在fQ內。

2 控制算法設計

2.1 非奇異快速Terminal滑?？刂?/p>

考慮如下含有不確定性的仿射非線性系統(tǒng)：

(4)

式中：x1和x2為二階系統(tǒng)的2個狀態(tài)變量；u為控制輸入；f(x1,x2)和g(x1,x2)為系統(tǒng)模型中的已知部分；d為系統(tǒng)不確定性，包括系統(tǒng)參數(shù)攝動、模型誤差和外部擾動等，是關于時間t和狀態(tài)x的未知函數(shù)，并滿足條件|d|≤lg且lg>0，lg為不確定性的上界。

為了克服傳統(tǒng)Terminal滑模存在奇異和收斂速度慢的缺點，采用如下非奇異快速Terminal滑模面：

s=x1+α|x1|msgnx1+β|x2|nsgnx2

(5)

式中：控制參數(shù)α>0,β>0,1n。

定理1 對于非線性不確定系統(tǒng)式(4)，選取滑模面式(5)，取如式(6)的控制量u，則系統(tǒng)狀態(tài)x1、x2可在有限時間內收斂到平衡點。

(6)

式中：設計參數(shù)δ>0，k>0。

(7)

對V1取微分，然后將式(5)～式(7)代入，得

s(x2+α m|x1|m-1x2+β n|x2|n-1·

s β n|x2|n-1[d-ks-(lg+δ)sgns]

(8)

由|d|≤lg得

-kβn|x2|n-1s2-δβn|x2|n-1|s|=

(9)

因此，相平面上任意位置的初始狀態(tài)都能以有限時間收斂到滑模面。

當系統(tǒng)處于滑模面上時，有

x1+α|x1|msgnx1+β|x2|nsgnx2=0

(10)

變換式(10)并積分得

(11)

最終求出狀態(tài)收斂時間ts為

(12)

式中：x1(tr)為到達滑模面時x1的值。

由文獻[24]中的定理13可得

ts

(13)

于是，系統(tǒng)狀態(tài)x1、x2可在有限時間內收斂到平衡點，總的收斂時間tend=tr+ts。定理1得證。

此外，由于1n，控制律式(6)中x1、x2的指數(shù)均大于零，不含有負指數(shù)項，控制輸入不存在奇異問題。

注2 對于如下一階系統(tǒng)：

(14)

(15)

在此條件下，按照定理1，針對二階系統(tǒng)式(15)，將滑模面設計為式(5)的形式：

(16)

取控制律為式(6)的形式：

(17)

則由定理1知，系統(tǒng)狀態(tài)x1、x2以有限時間收斂到平衡點。

2.2 基于跟蹤微分器的非線性干擾觀測器

引理2[25]考慮如下系統(tǒng)：

(18)

系統(tǒng)式(18)即是基于反雙曲正弦函數(shù)的跟蹤微分器。仿真表明，該跟蹤微分器跟蹤精度高、響應速度快，且能很好抑制微分信號的噪聲放大現(xiàn)象。

引理3[26]利用跟蹤微分器可設計非線性干擾觀測器?？紤]一階系統(tǒng)式(14)，相應的非線性干擾觀測器可設計為

(19)

(20)

由引理2和引理3，可設計一種新型非線性干擾觀測器為

(21)

由文獻[26]中的定理2可知，當R→∞時，該觀測器可以估計幾乎所有類型的擾動，并且不需要擾動的先驗信息。但在實際系統(tǒng)中，R一般為有限值，此時R的大小決定了觀測器的帶寬，通過選取合適的R來選取觀測器估計擾動的頻譜范圍。當R為有限值時，觀測器收斂需要d的微分存在且有界作為前提。

注3 設計參數(shù)a1、a2、b1、b2和R對非線性干擾觀測器的觀測性能影響如下：①a1、b1和R越大，非線性干擾觀測器的收斂速度越快，估計誤差越小，但過大的a1和b1會引起不必要的超調；② 相反地，a2、b2越小，非線性干擾觀測器的收斂速度越快，估計誤差越小，過小的a2和b2會引起超調。

2.3 基于非線性干擾觀測器的Terminal滑?？刂?/p>

傳統(tǒng)Terminal滑模的另一個缺點是由于控制律中包含符號函數(shù)，不可避免地帶來輸入抖振。系統(tǒng)式(4)中，為了消除未知不確定性d的影響，滑?？刂坡芍幸肭袚Q增益項lgsgns，且lg越大，輸入抖振幅度越大。為了減小抖振，進一步提高系統(tǒng)的魯棒性，本文采用2.2節(jié)中基于跟蹤微分器的非線性干擾觀測器對未知不確定性進行估計和補償。

(22)

定理2 對于非線性不確定系統(tǒng)式(4)，選取滑模面式(5)，取控制律式(22)，則系統(tǒng)狀態(tài)x1、x2可在有限時間內收斂到平衡點。

s(x2+α m|x1|m-1x2+β n|x2|n-1·

(23)

與定理1中類似，利用引理1可證明系統(tǒng)在有限時間內收斂到滑模面s=0上。當系統(tǒng)處于滑模面上時，其動態(tài)特性與定理1中相同。于是，系統(tǒng)狀態(tài)x1、x2可在有限時間內收斂到平衡點。定理2得證。

此外，控制律式(22)中不含有負指數(shù)項，控制輸入不存在奇異問題。

滑?？刂坡墒?6)中引入切換增益項(符號函數(shù)項)是為了消除未知不確定性的影響，且切換增益越大，輸入抖振幅度越大。對比定理1、定理2中的控制律式(6)和式(22)可知，在通過非線性干擾觀測器對不確定性d進行估計與補償后，控制律中的切換增益項僅需補償非線性干擾觀測器對不確定性估計的誤差；并且由2.2節(jié)可知，通過合理地設計非線性干擾觀測器能夠使其估計誤差足夠小，因此切換增益項也可以足夠小，于是系統(tǒng)輸入抖振也將大幅減小。當非線性干擾觀測器估計效果足夠理想時，取δNDO=0，可完全消除抖振。

(24)

則由定理2可知，系統(tǒng)狀態(tài)x1、x2以有限時間收斂到平衡點。

3 AHV控制器設計

3.1 速度控制器設計

定義速度跟蹤誤差eV=V-Vref，Vref表示速度參考指令。則由式(3)可得

(25)

將滑模面選取為式(16)的形式：

βV|eV|nVsgneV

(26)

將控制量φ設計為式(24)的形式：

(27)

(28)

由定理2可知，速度子系統(tǒng)在有限時間內收斂到eV=0。

3.2 高度控制器設計

定義高度跟蹤誤差eh=h-href，href表示高度參考指令。則由式(3)可得

(29)

選用式(16)形式的滑模面：

βh|eh|nhsgneh

(30)

取γd為虛擬控制量，將其設計為式(24)的形式：

(31)

式中：αh、βh、mh、nh、kh和δh為待設計正數(shù)。

由反步法的設計思想，在航跡角回路中，以γd為參考指令，以俯仰角θ為虛擬控制量，取航跡角跟蹤誤差eγ=γ-γd。同時為了避免傳統(tǒng)反步法求取虛擬控制量微分時的“微分膨脹”問題，將虛擬控制量的微分作為不確定性的一部分，則

(32)

選取滑模面：

βγ|eγ|nγsgneγ

(33)

將虛擬控制量θd設計為

(34)

(35)

對于俯仰角和俯仰角速率系統(tǒng)：

(36)

(37)

(38)

選取式(5)中的滑模面：

SQ=eθ+αQ|eQ|mQsgneθ+βQ|eQ|nQsgneQ

(39)

取控制量為式(22)的形式：

(40)

(41)

從式(40)中的實際控制量δe的形式可以看出，δe是由俯仰角指令θd解算求出的，與俯仰角速率指令Qd無關。而傳統(tǒng)反步法一般先在航跡角回路中求出迎角指令αd，然后在迎角回路求出俯仰角速率指令Qd，最后在俯仰角速率回路中由Qd求出δe[14]。本文設計的控制方案跳過了Qd環(huán)節(jié)，從而簡化了反步法的控制結構。

注5 在控制律式(27)、式(31)、式(34)和式(40)中，將參數(shù)設計為1ni(i=V,h,γ,Q)，則控制律中狀態(tài)量的指數(shù)均大于零，不含有負指數(shù)項，控制輸入不存在奇異問題。

3.3 穩(wěn)定性證明

通過合理地選取觀測器和控制器參數(shù)，使得觀測器收斂速度大于控制器收斂速度，從而保證觀測器與控制器滿足分離定理。取系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)：

(42)

對式(42)微分得

(43)

將式(26)、式(27)、式(30)、式(31)、式(33)、式(34)、式(39)和式(40)代入式(43)得

(44)

將式(44)進一步展開得

SQ(eQ+αQmQ|eθ|mQ-1eQ+βQnQ|eQ|nQ-1·

Shβhnh|eh|nh-1(-khSh-δhsgnSh)+

(45)

βVnV|eV|nV-1|SV|-

μ2|SV|-μ2|Sh|-μ2|Sγ|-μ2|SQ|≤

(46)

討論eV、eh、eγ和eQ至少一個為零的情況。不妨設eV=0，此時μ1=μ2=0，由式(25)～式(27)可得

(47)

到達滑模面后，由于所選用的非奇異快速Terminal滑模的有限時間收斂特性，系統(tǒng)狀態(tài)最終收斂到零，飛行速度和高度將在有限時間內跟蹤上參考指令Vref和href。

3.4 控制參數(shù)設計

本文設計的控制參數(shù)主要分為兩大類：一類是非線性干擾觀測器設計參數(shù)，包括aj,1、aj,2、bj,1、bj,2和R(j=V,γ,θ,Q)；另一類是滑?？刂破鲄?shù)，包括αi、βi、mi、ni、ki和δi(i=V,h,γ,Q)。

非線性干擾觀測器的參數(shù)設計原則為：① 保證非線性干擾觀測器的收斂速度大于控制器收斂速度，從而使觀測器與控制器滿足分離定理；② 保證非線性干擾觀測器的估計誤差足夠小，以減小控制量的抖振。非線性干擾觀測器具體參數(shù)對觀測器性能的影響見注3。

下面討論滑模控制器參數(shù)設計原則。參數(shù)ki和δi的大小決定了系統(tǒng)趨近滑模面的速度，而αi、βi、mi和ni的大小決定了滑模面上狀態(tài)收斂速度。兩者綜合決定了系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，收斂時間具體表達形式可見定理1。但收斂速度也不是越快越好，過快的收斂速度會導致控制量的高頻變化，可能引起彈性模態(tài)的高頻振動，也可能超過飛行器實際物理條件的約束。δi是非線性干擾觀測器對不確定性估計誤差的上界，其取值應充分考慮非線性干擾觀測器估計誤差的大致水平，另一方面又不能太大，以避免控制輸入的劇烈抖振。此外，對于高度控制器，考慮到級聯(lián)系統(tǒng)的特性，務必使內回路控制器收斂速度大于外回路控制器收斂速度。

因此，在設計觀測器與控制器參數(shù)時，要綜合考慮以上各因素的影響，適當選取控制參數(shù)以滿足實際系統(tǒng)要求。

4 仿真分析

為了驗證所設計控制律的有效性與優(yōu)越性，針對AHV模型式(1)，將本文所設計的基于跟蹤微分器、非奇異快速Terminal滑模和反步法的控制律(TD-NFTSM-BS)與使用非線性干擾觀測器改進的反步法(NDO-BS)[11]作對比。飛行器具體氣動數(shù)據(jù)與幾何參數(shù)見文獻[4]。仿真初始狀態(tài)設置為：V0=2 331.7 m/s,h0=26 213 m，γ0=0°,θ0=1.55°,Q0=0 (°)/s。

速度指令Vd=2 636.5 m/s,高度指令hd=28 042 m，為避免初始控制量過大，將指令通過阻尼0.95、固有頻率0.03 rad/s的二階濾波器得到參考軌跡Vref和href?？刂破鲄?shù)取為：αi=1,βi=1,mi=5,ni=5/3(i=V,γ,Q)；αh=1,βh=10,mh=2,nh=5/3;kV=0.1,kh=0.05,kγ=0.1,kQ=0.2;aj,1=1,aj,2=1,bj,1=0.6,bj,2=0.6(j=V,γ,θ,Q);R=10;δV=0.1,δh=0.01,δγ=0.05,δQ=0.1。

仿真中考慮氣動參數(shù)、質量、轉動慣量攝動增大40%，同時分別在速度、航跡角、俯仰角速率回路加入外界擾動sin(0.01πt) m/s2、0.000 2·sin(0.01πt) (°)/s和0.1 sin(0.01πt) (°)/s2?？刂屏肯薹鶠?/p>

(48)

仿真結果如圖1～圖9所示。

圖1～圖4分別為速度跟蹤曲線、速度跟蹤誤差曲線以及高度跟蹤曲線、高度跟蹤誤差曲線?？芍O計的TD-NFTSM-BS方法跟蹤速度很快，跟蹤誤差在5 s內迅速收斂到零。相比之下，NDO-BS方法在前半段跟蹤誤差較大，收斂速度緩慢，從而驗證了本文所采用非奇異快速Terminal滑模的優(yōu)越性。此外，在參數(shù)攝動并存在外部干擾的情況下，兩種方法都能保證最終對參考指令的跟蹤，體現(xiàn)了方法的魯棒性。

圖5為采用TD-NFTSM-BS方法時控制量φ、δe和δc的變化曲線?？芍?，控制量變化連續(xù)無抖振并在合理的范圍內，這樣可以避免彈性模態(tài)的高頻振動。初始段控制量稍大，這是系統(tǒng)有限時間收斂的必然結果。末段控制量呈小幅正弦波動，這與外界擾動的形式有關。

圖6～圖8分別為采用TD-NFTSM-BS方法時航跡角、迎角、俯仰角、俯仰角速率和彈性模態(tài)的變化曲線。可知，這些變量變化連續(xù)并保持在合理的范圍內。

圖9為所設計的非線性干擾觀測器對系統(tǒng)各回路不確定性的估計曲線?？芍?，非線性干擾觀測器對未知不確定性可以實現(xiàn)準確估計，這是保證控制律魯棒性以及削弱滑?？刂戚斎攵墩竦年P鍵。

5 結 論

1) 基于非奇異快速Terminal滑模的反步控制器，簡化了傳統(tǒng)反步控制的結構，并能實現(xiàn)系統(tǒng)的有限時間收斂。

2) 基于跟蹤微分器的新型非線性干擾觀測器，可以準確估計各回路中包括虛擬控制量微分在內的不確定性，與滑模反步控制器相結合，提高了系統(tǒng)的魯棒性，并避免了“微分膨脹”問題。

3) 仿真結果表明，該控制器對飛行器參數(shù)攝動和外部干擾具有較強的魯棒性，并能實現(xiàn)速度和高度跟蹤誤差于有限時間收斂至零。

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(責任編輯：張玉)

＊Corresponding author. E-mail: guojie1981@bit.edu.cn

Robust nonsingular Terminal sliding mode backstepping control for air-breathing hypersonic vehicles

WANG Xiao1, GUO Jie1,*, TANG Shengjing1, XU Qian2, MA Yueyue1,3, ZHANG Yao1

1.SchoolofAerospaceEngineering,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081,China2.BeijingInstituteofAstronauticalSystemsEngineering,Beijing100076,China3.BeijingSystemDesignInstituteofElectro-MechanicEngineering,Beijing100854,China

A new nonlinear disturbance observer based Terminal sliding mode backstepping controller is proposed for flexible air-breathing hypersonic vehicles with parameter perturbations and external disturbances. The longitudinal vehicle model considering the elastic mode is expressed as strict feedback form. On the basis of traditional backstepping method, the nonsingular fast Terminal sliding mode is introduced to control the pitch angle and pitch rate, thus optimizing the control structure and enabling the system with finite time convergence property. A new nonlinear disturbance observer developed from tracking differentiator is then introduced to estimate and compensate the uncertainties including the derivatives of virtual control laws to improve the robustness of the controller, which avoids the explosion of differentiation terms. The system tracking error is proven to converge to zero in finite time with Lyapunov stability theory. Simulations demonstrate the effectiveness of tracking input commands with the designed controller in the presence of uncertainties.

hypersonic vehicles; sliding mode control; backstepping method; nonlinear disturbance observer; finite time convergence

2016-04-05； Revised：2016-04-26； Accepted：2016-06-06； Published online：2016-06-12 14:16

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160612.1416.012.html

s：National Natural Science Foundation of China (11202024); Aeronautical Science Foundation of China (2012ZA720002)

http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0182

2016-04-05； 退修日期：2016-04-26； 錄用日期：2016-06-06； 網絡出版時間：2016-06-12 14:16

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160612.1416.012.html

國家自然科學基金 (11202024)； 航空科學基金 (2012ZA720002)

＊通訊作者.E-mail: guojie1981@bit.edu.cn

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V448.2

A

1000-6893(2017)03-320287-13