紀(jì)銘

摘要：本文通過(guò)例題解析的形式對(duì)高等數(shù)學(xué)中積分上限函數(shù)的函數(shù)特性（單調(diào)性、奇偶性等）進(jìn)行分析和總結(jié)，希望加深學(xué)生對(duì)積分上限函數(shù)的理解和運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：積分上限函數(shù) 單調(diào)性 奇偶性

積分上限函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一類(lèi)具有特殊形式的函數(shù)，在證明原函數(shù)存在定理和牛頓—萊布尼茲公式定理中占有重要地位。同時(shí)積分上限函數(shù)的函數(shù)特性是可以像一般函數(shù)一樣進(jìn)行研究，如單調(diào)性、奇偶性、極值等。

1.知識(shí)準(zhǔn)備

定理1 如果函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分上限函數(shù)

在[a，b]上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)

由這個(gè)定理可知，若符號(hào)確定，則可以確定的單調(diào)性以及極值問(wèn)題；根據(jù)的奇偶性來(lái)確定的奇偶性等。

2.例題解析

例1 設(shè)為上的連續(xù)奇函數(shù)，且單調(diào)增加，則是

（A） 單調(diào)增加的奇函數(shù) （B）單調(diào)增加的偶函數(shù)

（C） 單調(diào)減小的奇函數(shù) （D）單調(diào)減小的偶函數(shù)。

【分析】對(duì)被積函數(shù)作變量替換就有

由于為奇函數(shù)，故為偶函數(shù)，于是為奇函數(shù)；又因?yàn)榕己瘮?shù)，從而為奇函數(shù)。綜上所述為奇函數(shù)。

在0與之間，無(wú)論還是由單調(diào)增加，都有應(yīng)選C。

例2 設(shè)試求：

（1）的極值；

（2）曲線的拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（3）

【解】（1）因此可知在處取極小值0，且無(wú)其他極值。

（2），，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，且在兩側(cè)變號(hào)，即知為曲線的拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

（3）

3.小結(jié)

積分上限函數(shù)是以一種新的定義方式出現(xiàn)的函數(shù)，在學(xué)習(xí)難度上較大，但歸根結(jié)底，積分上限函數(shù)作為一般函數(shù)，它就自然會(huì)涉及關(guān)于有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本特性的研究。本來(lái)只從兩個(gè)角度單調(diào)性和奇偶性進(jìn)行例題解析，后續(xù)會(huì)有一些更深入的研究。

參考文獻(xiàn)：

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