王孜博 江華 謝心澄

1)(中國(guó)工程物理研究院微系統(tǒng)與太赫茲研究中心,成都 610200)

2)(中國(guó)工程物理研究院電子工程研究所,綿陽(yáng) 621999)

3)(蘇州大學(xué)物理與光電能源學(xué)部,蘇州 215006)

4)(蘇州大學(xué)高等研究院,蘇州 215006)

5)(北京大學(xué)物理學(xué)院量子材料科學(xué)中心,北京 100871)

6)(量子物質(zhì)協(xié)同創(chuàng)新中心,北京 100871)

多端口石墨烯系統(tǒng)中的非局域電阻?

王孜博1)2)江華3)4)?謝心澄5)6)

1)(中國(guó)工程物理研究院微系統(tǒng)與太赫茲研究中心,成都 610200)

2)(中國(guó)工程物理研究院電子工程研究所,綿陽(yáng) 621999)

3)(蘇州大學(xué)物理與光電能源學(xué)部,蘇州 215006)

4)(蘇州大學(xué)高等研究院,蘇州 215006)

5)(北京大學(xué)物理學(xué)院量子材料科學(xué)中心,北京 100871)

6)(量子物質(zhì)協(xié)同創(chuàng)新中心,北京 100871)

(2017年9月21日收到;2017年10月7日收到修改稿)

非局域電阻,石墨烯,自旋霍爾效應(yīng),谷霍爾效應(yīng)

1 引 言

非局域測(cè)量方法特指在電流流經(jīng)區(qū)域以外對(duì)電壓信號(hào)的測(cè)量,并以非局域電阻的形式體現(xiàn).一種產(chǎn)生非局域電阻的方法是使得電流路徑不同于經(jīng)典的歐姆方式[1?3].例如,在量子霍爾效應(yīng)中,電流可以在樣品表面輸運(yùn)而體區(qū)域保持絕緣[4].另一種獲得非局域電阻信號(hào)的方法是引入除電荷以外的其他自由度,例如自旋.這時(shí)的自旋流會(huì)由于自旋軌道耦合相互作用而偏離外場(chǎng)所引導(dǎo)的方向.由于非局域電阻通常起源于某些難以直接探測(cè)的非平庸物理相互作用,所以非局域測(cè)量現(xiàn)在已經(jīng)成為一種用來(lái)在新材料中觀測(cè)某些電磁學(xué)現(xiàn)象的強(qiáng)有力工具,并在多端口石墨烯體系中得到廣泛的應(yīng)用[5?10].

目前,已經(jīng)在含如下三種效應(yīng)的多端石墨烯體系中實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到非局域電阻.

1)自旋霍爾效應(yīng)(spin Hall effect,SHE).SHE是一種由自旋軌道耦合導(dǎo)致的、使得電流在流過(guò)樣品時(shí)在其垂直方向產(chǎn)生自旋流的輸運(yùn)現(xiàn)象[11?17].由于只有自旋而不是電荷在自旋輸運(yùn)中積累,且石墨烯的自旋軌道耦合強(qiáng)度非常小,以至難以直接在石墨烯中觀測(cè)到SHE.借助于非局域測(cè)量方法,人們可以在外加垂直電場(chǎng)或磁場(chǎng)的單層石墨烯、氫摻雜的石墨烯等多端H形樣品的狄拉克點(diǎn)或電中性點(diǎn)(charge neutral point,CNP)處觀測(cè)到一個(gè)巨大的非局域電阻峰值[5,6].在排除了經(jīng)典歐姆輸運(yùn)等方式后,基本可以確定自旋軌道耦合機(jī)理的存在.最近的理論研究還發(fā)現(xiàn),對(duì)非局域電阻峰值的貢獻(xiàn)不僅取決于SHE,經(jīng)典的準(zhǔn)彈道輸運(yùn)、準(zhǔn)擴(kuò)散輸運(yùn)、甚至無(wú)序吸附形式等都可能會(huì)對(duì)非局域電阻的性質(zhì)產(chǎn)生重要的影響,其貢獻(xiàn)可比甚至超過(guò)SHE本身[18,19].因此,如何能夠在實(shí)驗(yàn)中進(jìn)一步壓制這些干擾源而得到純的完全由SHE誘導(dǎo)的非局域電阻非常值得深入思考.

2)塞曼自旋霍爾效應(yīng)(Zeeman spin Hall effect,ZSHE).ZSHE類似SHE,區(qū)別在于ZSHE通過(guò)外磁場(chǎng)打開自旋簡(jiǎn)并而不是自旋軌道耦合來(lái)產(chǎn)生自旋流[5,20?23].實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),相比于零磁場(chǎng),外加垂直磁場(chǎng)的石墨烯樣品可以測(cè)到一個(gè)遠(yuǎn)大于前者的非局域電阻[5],這意味著此時(shí)的非局域電阻極有可能是由ZSHE誘導(dǎo)的.

3)谷霍爾效應(yīng)(valley Hall effect,VHE).在打破空間反演對(duì)稱性的石墨烯中,谷指標(biāo)可以起到類似自旋在SHE中的作用[24].最近人們?cè)谂c襯底公度的石墨烯和外加偏壓的雙層石墨烯樣品的CNP附近同樣觀測(cè)到了巨大的非局域電阻[7?9].但是由于此時(shí)的石墨烯在CNP處打開能隙,這意味著這些巨大的非局域電阻出現(xiàn)在了能帶的帶隙中,這是極其令人費(fèi)解的現(xiàn)象[25,26].在排除了SHE、邊緣態(tài)輸運(yùn)及熱輸運(yùn)等機(jī)理的可能后,人們傾向于認(rèn)為這個(gè)非局域電阻信號(hào)可能是由VHE導(dǎo)致的.目前,對(duì)于打開能隙的石墨烯中的谷電流探測(cè)缺乏直接的實(shí)驗(yàn)證據(jù),因而人們非常希望通過(guò)這個(gè)可能由VHE誘導(dǎo)的非局域電阻來(lái)判斷VHE的存在性.

綜合來(lái)看,對(duì)于多端石墨烯樣品中的非局域電阻,目前的研究不僅缺乏對(duì)其物理性質(zhì)的深入理解,甚至對(duì)其產(chǎn)生機(jī)理本身仍存在較大的爭(zhēng)議.本綜述按照SHE,ZSHE和VHE的順序詳細(xì)地介紹相關(guān)的多端口石墨烯非局域電阻實(shí)驗(yàn)以及與之對(duì)應(yīng)的理論和數(shù)值分析,希望能夠幫助科研工作者了解目前非局域電阻研究的前沿進(jìn)展,并對(duì)未來(lái)的非局域電阻研究起到幫助作用.

2 SHE在石墨烯體系中誘導(dǎo)的非局域電阻

SHE是一種由自旋軌道耦合導(dǎo)致的、使得自旋非極化的電流在流過(guò)樣品時(shí)在其垂直方向產(chǎn)生自旋流或者垂直邊界產(chǎn)生自旋積累的輸運(yùn)現(xiàn)象[11?17].這里的自旋軌道耦合是一種粒子自旋和“磁場(chǎng)”的相互作用,有趣的是,這個(gè)“磁場(chǎng)”并非真實(shí)存在而是由粒子相對(duì)周圍電場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)而導(dǎo)致.因此,不同于傳統(tǒng)霍爾效應(yīng),實(shí)現(xiàn)SHE不需要外加破壞時(shí)間反演對(duì)稱性的磁場(chǎng).

為了定義電荷流通過(guò)SHE產(chǎn)生自旋流的強(qiáng)弱,一般使用自旋霍爾角θsH的概念,即產(chǎn)生的自旋流與原電荷流的比值.如圖1(a)的四端系統(tǒng)所示,由端口1入射電荷流大小為I1=I↑+I↓0且自旋流大小為Is1=I↑?I↓=0的電流,SHE導(dǎo)致端口2,3產(chǎn)生電荷流大小為0而自旋流大小為Is2=I↑+I↓0的純自旋流.則自旋霍爾角定義為

進(jìn)一步地,(1)式可以利用電導(dǎo)的定義改寫為

圖1 SHE誘導(dǎo)非局域電阻示意圖(紅色箭頭代表自旋指向) (a)四端體系中,由于SHE,電荷流I1轉(zhuǎn)化為電荷為0的自旋流Is2;(b)六端體系中一個(gè)完整的由電荷流經(jīng)SHE和ISHE轉(zhuǎn)化為遠(yuǎn)端非局域電荷流的示意圖Fig.1.The schematic diagram for the nonlocal resistance induced by the SHE:(a)In a four-terminal system,the charge current I1can be converted to charge mediated spin current Is2due to the SHE;(b)in a six-terminal system,the charge current is converted to a nonlocal one in a remote region due to the SHE and the ISHE in turn.The arrows colored by red indicate the spin directions.

其中σxy是自旋霍爾電導(dǎo),σxx是縱向電導(dǎo).由于Landauer-Buttiker公式可以直接給出電導(dǎo)表達(dá)式,所以(2)式更利于理論計(jì)算.

類似于SHE,入射的純自旋流還可以通過(guò)逆自旋霍爾效應(yīng)(inverse spin Hall effect,ISHE)轉(zhuǎn)化為垂直方向的電荷流[27?29].在一個(gè)如圖1(b)所示的六端系統(tǒng)中,端口1的入射電流I1通過(guò)SHE首先產(chǎn)生在端口2和5方向輸運(yùn)的自旋流,這個(gè)自旋流隨后通過(guò)ISHE可以在端口3和4方向重新產(chǎn)生電荷流.這意味著可以在端口3和4測(cè)到一個(gè)非局域電壓VNL=V6?V4和非局域電阻RNL=VNL/I1.由于自旋流不帶電,其通常難以直接測(cè)量.而通過(guò)探測(cè)VNL和RNL等非局域信號(hào),可以在實(shí)驗(yàn)上方便地確認(rèn)SHE的產(chǎn)生.由于純凈的石墨烯材料中自旋軌道耦合強(qiáng)度非常小,通常難以觀測(cè)到本征石墨烯中的SHE.目前,非局域電阻實(shí)驗(yàn)通常試圖通過(guò)摻雜金、銀、銅等重金屬以增強(qiáng)石墨烯的自旋軌道耦合強(qiáng)度[30].同時(shí),也有文獻(xiàn)表明元素質(zhì)量小的氫摻雜也可以增強(qiáng)石墨烯中的自旋軌道耦合[6].

2.1 SHE對(duì)非局域電阻性質(zhì)的影響

借助于非局域電阻的測(cè)量,實(shí)驗(yàn)上可以在H形石墨烯樣品的狄拉克點(diǎn)處觀測(cè)到一個(gè)巨大的非局域電阻RNL.Abanin等[31]發(fā)展了一套理論,能夠非常好地解釋這個(gè)非局域電阻的起源.更重要的是,他們還給出了一個(gè)非局域電阻RNL和局域電阻RL的簡(jiǎn)單關(guān)系式:RNL.然而,這個(gè)關(guān)系式在解釋某些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象時(shí)遇到了一些問(wèn)題.具體而言,除了RNL在狄拉克點(diǎn)的巨大峰值以外,實(shí)驗(yàn)中還發(fā)現(xiàn)了另一個(gè)有意思的現(xiàn)象:對(duì)比于RL,RNL在費(fèi)米能偏離狄拉克點(diǎn)時(shí)會(huì)更加急劇地衰減到0.例如,在本文的圖13(a)中,紅線所代表的非局域電阻RNL在Vg=1 V時(shí)已經(jīng)衰減到幾乎為0,而黑線所代表的局域電阻RL仍在衰減過(guò)程中.這個(gè)新奇的現(xiàn)象看起來(lái)似乎與經(jīng)典的理論公式相矛盾,因?yàn)橐呀?jīng)等于0的RNL不可能正比于不為0的,因而非常值得研究.

最近,在外加垂直電場(chǎng)引入自旋軌道耦合的情況下,如圖2所示,北京大學(xué)陳劍豪實(shí)驗(yàn)組在H形石墨烯樣品中同樣探測(cè)到了一個(gè)巨大的非局域電阻信號(hào).類似地,非局域電阻RNL相比RL依然迅速衰減.為了描述這個(gè)非局域輸運(yùn)現(xiàn)象,首先考慮一個(gè)含Rashba效應(yīng)的H形四端單層石墨烯系統(tǒng)[18].如圖3所示,電荷流從電極1向電極2縱向入射,在中心區(qū)通過(guò)SHE轉(zhuǎn)化為橫向的自旋流,最終通過(guò)ISHE轉(zhuǎn)化為縱向電荷流,并作為非局域信號(hào)被電極3和4探測(cè)到.系統(tǒng)的哈密頓量可以寫為

圖2 外加垂直電場(chǎng)的H形石墨烯中局域電阻RL和非局域電阻RNL實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(Vbg代表樣品背門電壓,Vtg代表樣品頂門電壓,二者的差值引入垂直電場(chǎng).在實(shí)驗(yàn)中,針對(duì)每一個(gè)固定的Vtg,Vbg從?60 V掃到60 V.由于費(fèi)米面EF可以近似地由(Vtg+Vbg)/2決定,圖中Vbg的變化等價(jià)于EF的變化.摘自北京大學(xué)陳劍豪教授的未發(fā)表數(shù)據(jù))Fig.2.The local resistance RLand the nonlocal resistance RNLin an H-shaped graphene system with perpendicular electric field.In this fi gure,Vbgand Vtg stand for the bottom gate and the top gate voltage,whose di ff erence induces the electric field.In the experiment,Vbgsweeps from?60 V to 60 V with a fi xed Vtg.Since the fermi energy EFis approximately determined by(Vtg+Vbg)/2,the change of Vtgin this fi gure is equivalent to that of EF.Adapted from the unpublished data from J.H.Chen in Peking University.

圖3 H形四端石墨烯體系示意圖(計(jì)算中電流從電極1流入,電極2流出,黑色虛線的矩形處為中心區(qū))[18]Fig.3.The schematic diagram of the proposed H-shaped four-terminal graphene system[18].The current is injected into lead 1 and flows out from lead 2.The rectangle,denoted by the black dashed line,is the center region.

其中,和ci分別代表格點(diǎn)i的產(chǎn)生和消滅算符,εi是在位能,λR是外加Rashba耦合強(qiáng)度.為了模擬金屬電極,四個(gè)端口的在位能均定義為εUD,這個(gè)在位能可以通過(guò)門電壓調(diào)節(jié).無(wú)序只存在于中心區(qū)并使用均勻分布在[?w/2,w/2]的安德森無(wú)序描述,其中w是無(wú)序強(qiáng)度.中心區(qū)的示意圖用參數(shù)M,N,P和Q標(biāo)記.例如,在圖中的系統(tǒng)為M=3,N=2,P=4及Q=3.通過(guò)Landauer-Buttiker公式計(jì)算,在圖4中得到局域電阻RL=(V1?V2)/I1及非局域電阻RNL=(V3?V4)/I1.

圖4中的藍(lán)線和紅線分別展示了局域電阻RL和非局域電阻RNL隨費(fèi)米能EF的變化.在圖中,Rashba自旋軌道耦合強(qiáng)度λR從0增加到0.3,而其他參數(shù)保持不變.可以發(fā)現(xiàn)這四張圖主要體現(xiàn)出三個(gè)特點(diǎn).

首先,非局域電阻在圖4(a)中表現(xiàn)出負(fù)值,這里的“負(fù)”意味著當(dāng)電流從電極1流向電極2時(shí),電極3測(cè)到的電壓竟然比電極4低.類似地,盡管不是嚴(yán)格的負(fù)數(shù),但也可以在圖4(b)中觀測(cè)到相同的趨勢(shì)(即一對(duì)出現(xiàn)在EF=±0.1附近的谷底).這個(gè)現(xiàn)象可以由以往實(shí)驗(yàn)中預(yù)言的準(zhǔn)彈道輸運(yùn)機(jī)理來(lái)解釋[32].具體而言,從電極1入射的載流子可以直接從電極4射出而不需要返回電極2.也就是說(shuō),可以在電極4測(cè)到一個(gè)正電壓而在電極3測(cè)到一個(gè)負(fù)電壓,這意味著非局域電阻RNL=(V3?V4)/I1此時(shí)是一個(gè)負(fù)值.因此,如圖5所示,可以得到結(jié)論:非局域電阻RNL由以下三部分構(gòu)成

圖4 局域電阻RL和非局域電阻RNL分別用藍(lán)色和紅色在圖中標(biāo)出(為了增強(qiáng)對(duì)比度,非局域電阻RNL放大了7.5倍)[18] (a)λR=0;(b)λR=0.1;(c)λR=0.2;(d)λR=0.3;安德森無(wú)序取為w=1Fig.4.The local resistance RLand the nonlocal resistance RNLare drawn in the blue and red lines,respectively[18]:(a)λR=0;(b)λR=0.1;(c)λR=0.2;(d)λR=0.3.The Anderson disorder strength is chosen as w=1.In order to make the comparison clear enough,the value of RNLis ampli fi ed by 7.5 times.

圖5 三類輸運(yùn)機(jī)理的示意圖(電流從電極1入射,并從電極2出射;紅線代表準(zhǔn)彈道輸運(yùn)機(jī)理下的Rballistic,這對(duì)于RNL貢獻(xiàn)負(fù)值;黃線代表經(jīng)典擴(kuò)散Rclassic;綠線代表SHE導(dǎo)致的RHall;箭頭代表從電極1入射的電流傳播方向)[18]Fig.5.The schematic diagram for three kinds of transport mechanisms[18].The electron current is injected into lead 1 and then flows out from lead 2.The red line stands for the quasiballistic transport mechanism Rballistic,which makes a negative contribution to RNL.The yellow line represents the classic diffusion Rclassic.The green line denotes the spin Hall transport RHall.Arrows indicate the direction of the electron current which is injected into lead 1.

圖5中紅色標(biāo)記的第一項(xiàng)Rballistic為剛討論過(guò)的準(zhǔn)彈道輸運(yùn);棕色標(biāo)記的第二項(xiàng)Rclassic代表經(jīng)典擴(kuò)散,也就是歐姆電阻的產(chǎn)生機(jī)理;綠色標(biāo)記的第三項(xiàng)RHall起源于(3)式中的Rashba自旋軌道耦合,電流通過(guò)左側(cè)縱向區(qū)域時(shí)由于SHE會(huì)產(chǎn)生一個(gè)與電流方向相垂直的自旋流,并最終在右側(cè)的縱向區(qū)域由于ISHE而重新轉(zhuǎn)化為電流.

第二,局域和非局域電阻均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且在EF=0處達(dá)到極大值.重要的是,類似于在實(shí)驗(yàn)中觀察到的情況,非局域電阻RNL相比局域電阻RL迅速衰減到0.例如,在圖4(c)中可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)|EF|＞0.2時(shí),非局域電阻幾乎已經(jīng)完全衰減到0并保持RNL=0.04h/e2,相反局域電阻仍在衰減過(guò)程中.這個(gè)奇異的現(xiàn)象與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致卻與已知公式[31]

相矛盾.實(shí)際上,這個(gè)矛盾似乎可以由負(fù)數(shù)部分的非局域電阻來(lái)解釋.具體而言,非局域電阻的基礎(chǔ)值是RNL=Rclassic+RHall,其很可能滿足(5)式.然而,根據(jù)(4)式,RNL中還存在一個(gè)疊加項(xiàng)Rballistic.由于Rballistic值為負(fù),很自然地RNL會(huì)比理論預(yù)言(5)式更迅速地衰減到0.

第三,如圖4所示,可以觀察到的非局域電阻性質(zhì)和Rashba效應(yīng)間的惟一關(guān)聯(lián)是非局域電阻的負(fù)數(shù)值趨勢(shì)隨Rashaba耦合強(qiáng)度λR的增加而減弱.相對(duì)應(yīng)地,非局域電阻相比局域電阻的迅速衰減現(xiàn)象也逐漸消失.這對(duì)于理解非局域電阻與SHE間的內(nèi)在機(jī)理仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.事實(shí)上,僅憑圖4,甚至不知道非局域電阻的迅速衰減與SHE間是否存在關(guān)系.因此,除了圖中所計(jì)算的RNL,得到一個(gè)純的完全由SHE誘導(dǎo)的非局域電阻RHall就顯得尤為重要.

圖6 新設(shè)計(jì)的六端系統(tǒng)示意圖(新增加的電極3′和4′與電極3和4呈鏡面對(duì)稱;如果自旋向上(下)的自旋流從電極1沿著紅線輸運(yùn),則根據(jù)對(duì)稱性,自旋向下(上)的自旋流必定沿黃線輸運(yùn))[18]Fig.6.The schematic diagram of the proposed sixterminal system[18].Newly added lead 3′and 4′locate at a mirror symmetry to lead 3 and 4.If the spin-up(down)current injected into lead 1 transports along the red line,then the spin-down(up)current must follow the yellow line.

圖6中設(shè)計(jì)了一個(gè)全新的六端系統(tǒng)來(lái)代替H形四端系統(tǒng).圖6和圖3的惟一區(qū)別在于電極1和2的左端新添加了兩個(gè)電極3′和4′,并使得它們與電極3和4呈鏡面對(duì)稱關(guān)系.現(xiàn)在,如果向電極1注入自旋向上極化的自旋流,例如通過(guò)引入鐵磁電極的方法,一個(gè)非局域電壓信號(hào)V34↑可以在電極3和4被探測(cè)到.此時(shí)的非局域電阻應(yīng)寫為

類似地,如果注入自旋向下極化的自旋流,可以探測(cè)到電壓V34↓,且此時(shí)的非局域電阻可以寫為

由于準(zhǔn)彈道輸運(yùn)和經(jīng)典擴(kuò)散與自旋極化方向無(wú)關(guān),這兩種效應(yīng)誘導(dǎo)的非局域電阻Rballistic和Rclassic在不同自旋方向下必相等,即Rballistic↑=Rballistic↓且Rclassic↑=Rclassic↓. 因此, 在得到RNL↑和RNL↓后,可以排除掉準(zhǔn)彈道輸運(yùn)和經(jīng)典擴(kuò)散對(duì)結(jié)果的影響,并最終得到只由SHE誘導(dǎo)的非局域電阻:

實(shí)際上,圖6中六端系統(tǒng)最大的優(yōu)點(diǎn)在于當(dāng)自旋向上極化的自旋流從電極1入射時(shí),除了電極34,電極3′4′端也可以測(cè)得電壓根據(jù)對(duì)稱性分析,應(yīng)該等于在電極3,4測(cè)到的自旋向下電壓V34↓. 因此,RHall↑?RHall↓可以通過(guò)一步測(cè)量得到而不需要改變電極1的磁化方向,這對(duì)于具體的實(shí)驗(yàn)操作而言至關(guān)重要.但對(duì)于理論計(jì)算,為了簡(jiǎn)單起見,依然選擇使用兩個(gè)自旋方向來(lái)討論問(wèn)題.

圖7 對(duì)完全由SHE誘導(dǎo)的非局域電阻RHall的計(jì)算[18] (a)自旋向上和自旋向下對(duì)應(yīng)的局域電阻RL;(b)自旋向上和自旋向下對(duì)應(yīng)的非局域電阻RNL,內(nèi)插圖為自旋霍爾電導(dǎo)σxy;(c)黑線基于RNL↑?RNL↓計(jì)算得到,由于數(shù)值誤差在EF=0處引發(fā)了劇烈的擾動(dòng),增加了一條紅色虛線來(lái)準(zhǔn)確地描述RNL↑?RNL↓,考慮紅線的修正后,藍(lán)線為黑線的絕對(duì)值RNL↑?RNL↓(d)基于(5)式計(jì)算的RHallFig.7.The nonlocal resistance RHallwhich is totally induced by the SHE[18].(a)The local resistance RLfor two spin direction.(b)The nonlocal resistance RNLfor two spin directions,and the inset is the spin Hall conductance σxy.(c)The black line is calculated based on RNL↑?RNL↓.Since the numerical error results in dramatic oscillation of RNL↑?RNL↓near EF=0,we add a red dad line to describe the accurate behavior of RNL↑?RNL↓near the Dirac point.At last,the blue line representsRNL↑?RNL↓which equals the absolute value of the black line.And the fi x near the Dirac pint shown by the red line is also considered.(d)RHallcalculated based on Eq.(5).

圖7(a)首先展示了根據(jù)上述方法計(jì)算得到的局域電阻RL.由于局域電阻不依賴于霍爾效應(yīng)而對(duì)自旋方向不敏感,所以兩個(gè)極化方向完全相反的局域電阻表現(xiàn)出了幾乎完全相同的行為.圖7(b)給出了非局域電阻RNL↑和RNL↓.如圖所示,藍(lán)色的RNL↑和紅色的RNL↓反對(duì)稱.根據(jù)(5)式中對(duì)SHE的解釋,這個(gè)反對(duì)稱的現(xiàn)象可以由圖6(b)內(nèi)插圖中自旋霍爾電導(dǎo)σxy的行為來(lái)理解.具體而言,由于σxy關(guān)于原點(diǎn)反對(duì)稱[33]:σxy(EF)=?σxy(?EF),且σxy符號(hào)的改變實(shí)際上等價(jià)于SHE方向的改變.這意味著圖7(b)中藍(lán)線和紅線的較小者(即EF＜0時(shí)的自旋向上和EF＞0時(shí)的自旋向下)可以被視為沒有SHE的基準(zhǔn)線,而較大者即為有SHE.因此,通過(guò)在EF＜0時(shí)從RNL↑中扣除RNL↓,并在EF＞0時(shí)從RNL↓中扣除RNL↑,可以得到完全由SHE誘導(dǎo)的非局域電阻:

回到經(jīng)典(5)式,由于它的原始推導(dǎo)實(shí)際上只考慮了霍爾效應(yīng),因此(5)式中的RNL理論上應(yīng)該為RHall.在圖7(c)中,首先給出基于RNL↑?RNL↓計(jì)算得到的非局域電阻RHall,其中EF=0附近的抖動(dòng)主要源自數(shù)值誤差.根據(jù)圖7(b),σxy在EF=0處等于0,這意味著系統(tǒng)在狄拉克點(diǎn)處并不存在SHE.因此,RNL在EF=0時(shí)對(duì)自旋不敏感,即RNL↑必等于RNL↓. 也就是說(shuō),RNL↑ ?RNL↓的準(zhǔn)確值應(yīng)該由圖7(c)中的紅色虛線表示,它連接兩個(gè)峰值且通過(guò)原點(diǎn).為了進(jìn)一步驗(yàn)證結(jié)果,根據(jù)(5)式,在圖7(d)中利用局域電阻RL和自旋霍爾電阻σxy重新計(jì)算了RHall,并將其與圖7(c)中的RHall進(jìn)行對(duì)比.如圖所示,圖7(c)和圖7(d)的主要行為看起來(lái)完全相同,其中的細(xì)微區(qū)別可能是由于(5)式中的正比符號(hào)含有隨費(fèi)米面變化的參數(shù).尤為重要的是,可以看到當(dāng)EF等于0時(shí)RHall也等于0,這實(shí)際上意味著圖4中非局域電阻RNL的尖銳峰與Rashba自旋軌道耦合完全無(wú)關(guān).同時(shí),更令人意外的是,這個(gè)結(jié)果還意味著非局域電阻RNL相比于局域電阻RL迅速衰減的性質(zhì)同樣不是由Rashba效應(yīng)導(dǎo)致.不僅如此,如圖7(c)和圖7(d)所示,在EF=±0.1附近還存在一對(duì)由Rashba自旋軌道耦合導(dǎo)致的RHall峰值.顯然,這對(duì)峰會(huì)隨著Rashba效應(yīng)的增強(qiáng)而愈發(fā)明顯.現(xiàn)在,對(duì)于前文所述的關(guān)于圖4的第三個(gè)特征,可以給出一個(gè)較完美的解釋.如圖4所示,非局域電阻的負(fù)數(shù)值部分同樣出現(xiàn)在EF=±0.1附近,這恰好也是圖7(c)中RHall峰值所在的位置.因此,這對(duì)RHall的峰值實(shí)際上對(duì)非局域電阻RNL的負(fù)值趨勢(shì)起抵消作用,即表現(xiàn)為RNL相比RL的迅速衰減趨勢(shì)隨Rashba效應(yīng)的增強(qiáng)而逐漸消失,也即決定非局域電阻RNL迅速衰減趨勢(shì)的實(shí)際上是SHE與準(zhǔn)彈道輸運(yùn)的競(jìng)爭(zhēng).

通過(guò)計(jì)算RHall和進(jìn)一步的分析可知非局域電阻在狄拉克點(diǎn)表現(xiàn)出的巨大峰值的性質(zhì)與Rashba效應(yīng)無(wú)關(guān).實(shí)際上,這個(gè)極大峰很有可能是由單層石墨烯在狄拉克點(diǎn)處的極小態(tài)密度導(dǎo)致的,這也意味著不能單純地由非局域電阻峰值的出現(xiàn)來(lái)判斷SHE的存在性.其次,非局域電阻相比于局域電阻迅速衰減的性質(zhì)并不如之前所預(yù)料的那樣由Rashba效應(yīng)導(dǎo)致.現(xiàn)在,已清楚這個(gè)有趣的性質(zhì)實(shí)際上是由準(zhǔn)彈道輸運(yùn)誘導(dǎo)的非局域電阻Rballistic所導(dǎo)致.更重要的是,Rashba效應(yīng)本身不僅沒有誘導(dǎo)非局域電阻的迅速衰減,反而對(duì)這個(gè)迅速衰減的性質(zhì)起到了某種屏蔽作用.

2.2 對(duì)由SHE誘導(dǎo)的非局域電阻組分的進(jìn)一步分析

最新的研究細(xì)化了由SHE誘導(dǎo)的非局域電阻的組分,并重新驗(yàn)證了2.1節(jié)的結(jié)論[19].在(3)式的基礎(chǔ)上,考慮內(nèi)稟自旋軌道耦合和無(wú)序類型,系統(tǒng)的哈密頓量可以寫為

其中,第四項(xiàng)代表內(nèi)稟自旋軌道耦合;最后一項(xiàng)是一個(gè)隨機(jī)在位能,它被用來(lái)描述吸附原子帶來(lái)的不同無(wú)序類型.

如圖8(a)所示,首先考慮中心區(qū)完全純凈的石墨烯體系.經(jīng)過(guò)Landauer-Buttiker公式的計(jì)算,圖8(b)首先給出了固定寬度W時(shí),非局域電阻RNL在不同長(zhǎng)度L下隨費(fèi)米面的變化.如圖8(b)所示,當(dāng)W＞L時(shí),非局域電阻RNL在狄拉克點(diǎn)表現(xiàn)出了一個(gè)巨大的峰值,這種行為類似于某種純凈石墨烯特有的歐姆電導(dǎo)輸運(yùn).進(jìn)一步地,當(dāng)考慮金原子隨機(jī)吸附帶來(lái)(10)式中不為0的隨機(jī)在位能μ0時(shí),如圖9(a)所示,即使此時(shí)所有的自旋軌道耦合項(xiàng)仍然被人為地取為0,依然可以觀測(cè)到非局域電阻RNL的極大峰值.與2.1節(jié)中的分析相同,這個(gè)結(jié)果首先意味著實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到的極大峰值實(shí)際上與SHE并無(wú)關(guān)系,同時(shí)暗示構(gòu)成RNL的組合項(xiàng)除了(4)式中提及的三項(xiàng),還應(yīng)包含在狄拉克點(diǎn)附近產(chǎn)生的“準(zhǔn)經(jīng)典擴(kuò)散”輸運(yùn)行為.這種輸運(yùn)機(jī)理源于此時(shí)的波函數(shù)可以穿透零能隙的狄拉克錐.同時(shí),類似于圖4,這里依然可以觀測(cè)到一個(gè)負(fù)號(hào)的RNL.因此,作為對(duì)(4)式的細(xì)化,總的RNL應(yīng)該考慮以下四項(xiàng)的貢獻(xiàn):

其中,Rballistic和RHall意義與(4)式相同.需要強(qiáng)調(diào)的是,Rclassic此時(shí)代表由于經(jīng)典擴(kuò)散造成的平庸歐姆貢獻(xiàn),而Rqd代表一個(gè)石墨烯特有的準(zhǔn)擴(kuò)散輸運(yùn).

此外,如圖9(a)中的兩個(gè)插圖所示,在不含自旋軌道耦合且L＞W(wǎng)的情況下,RNL表現(xiàn)出負(fù)值.這意味著在低吸附原子濃度的情況下,Rclassic可以被近似忽略.具體而言,由于在金原子吸附濃度nad=15%的情況下,自由程?可估計(jì)為300—400 nm,所以在?＜L的擴(kuò)散輸運(yùn)區(qū),歐姆貢獻(xiàn)Rclassic∝exp(?πL/W)由于L/W?1而可以完全忽略.也就是說(shuō),在L＞W(wǎng)時(shí),非局域電阻的性質(zhì)主要由負(fù)號(hào)Rballistic和正號(hào)RHall間的競(jìng)爭(zhēng)所決定,這與2.1節(jié)中提出的推測(cè)符合.此外,從圖9(a)的插圖還可知,當(dāng)L＞W(wǎng)時(shí),非局域電阻RNL沒有表現(xiàn)出極大峰值,即此時(shí)的Rqd可以忽略,這也與圖8(b)的結(jié)論一致.圖9(b)還給出了分散分布和團(tuán)簇分布兩種不同的吸附原子類型所對(duì)應(yīng)的自旋霍爾角.顯然,除了自旋軌道耦合項(xiàng)之外,吸附雜質(zhì)的不同類型也會(huì)影響SHE的產(chǎn)生.同時(shí),更高的溫度也會(huì)降低自旋霍爾角.

圖8 (a)計(jì)算所使用的六端石墨烯示意圖,非局域電阻RNL=VNL/I1,自旋霍爾角θsH=/I1,放大的插圖描述了可能存在的無(wú)序雜質(zhì)吸附;(b)當(dāng)不存在無(wú)序時(shí),基于純凈石墨烯計(jì)算的非局域電阻RNL及在固定寬度W=50 nm的情況下,RNL隨樣品長(zhǎng)度L的變化[19]Fig.8.(a)The schematic diagram of a six-terminal graphene employed to compute the nonlocal resistance RNL=RNL/I1and the spin Hall angel θsH=/I1.The enlargement shows the possible adatoms.(b)The nonlocal resistance RNLcalculated in a perfectly clean graphene system,and how RNLvaries with the sample size L with a fi xed width W=50 nm[19].

圖9 (a)當(dāng)取摻雜濃度nad=15%的均勻摻雜金原子時(shí),固定寬度W=50 nm,非局域電阻RNL隨不同樣品長(zhǎng)度的變化(L=10 nm(主圖),L=100 nm(左插圖),L=300 nm(右插圖)),虛線代表(10)式中所有的自旋軌道耦合強(qiáng)度為0;(b)在相同的摻雜濃度下,不同摻雜種類對(duì)應(yīng)的不同形態(tài)的自旋霍爾角[19]Fig.9.(a)The nonlocal resistance RNLcalculated based on Fig.8(a)with nad=15%of scattered Au atoms,fi xed channel width W=50 nm,and several channel lengths:L=10 nm(main frame),L=100 nm(left inset),L=300 nm(right inset).Dotted lines plot RNLwhen all SOC terms in Eq.(10)are swithed o ff.(b)The spin Hall angel for the same concentration of Au adatoms which are scattered or clustered[19].

通過(guò)上述分析,Tuan等[19]提出了一種新的排除Rballistic,Rclassic和Rqd,而只保留RHall影響的設(shè)計(jì)機(jī)理.相比于圖8(a)的示意圖,這個(gè)設(shè)計(jì)的變化在于:此時(shí)連接兩個(gè)霍爾條的中心區(qū)不含雜質(zhì)而由完全純凈的石墨烯組成,同時(shí)還要保證這個(gè)中心區(qū)的輸運(yùn)通道L足夠長(zhǎng).此時(shí),由于L＞W(wǎng),Rqd和Rclassic等于0.同時(shí),由于缺乏傳輸通道中的雜質(zhì)散射,Rballistic也幾乎趨于0.因此,這時(shí)圖8(a)中的電中性自旋流完全起源于左側(cè)霍爾條處的SHE,并在右側(cè)霍爾條由ISHE轉(zhuǎn)化為非局域電壓VNL.相比于2.1節(jié)中分離RHall的六端裝置,這個(gè)設(shè)計(jì)雖然物理正確,但由于其要求中心區(qū)完全純凈,在實(shí)際操作中并不現(xiàn)實(shí).需要強(qiáng)調(diào)的是,基于這個(gè)設(shè)計(jì)得到的RHall同樣在靠近狄拉克點(diǎn)的兩側(cè)表現(xiàn)出一對(duì)峰值,而在狄拉克點(diǎn)為0,這與圖7(c)相符合.

事實(shí)上,盡管大量的實(shí)驗(yàn)和理論研究都觀察到了非局域電阻RNL奇怪的負(fù)數(shù)性質(zhì),并推測(cè)其為準(zhǔn)彈道輸運(yùn)行為的結(jié)果,但對(duì)于這個(gè)負(fù)數(shù)解,尚缺乏足夠的證據(jù)進(jìn)行有效的分析.例如,這個(gè)負(fù)數(shù)RNL究竟會(huì)在什么情況下出現(xiàn).令人信服的工作需要依賴于如何能從RNL中分離出完全由準(zhǔn)彈道輸運(yùn)誘導(dǎo)的非局域電阻Rballisitc,或者得到非局域電流的微觀圖像.值得注意的是,不同于小尺寸下利用Landauer-Buttiker公式的數(shù)值模擬,當(dāng)尺寸達(dá)到擴(kuò)散極限時(shí),最新的研究通過(guò)解析求解自旋流所滿足的連續(xù)性方程,在得到負(fù)數(shù)RNL的同時(shí)還給出了對(duì)這個(gè)負(fù)數(shù)解的不同理解[34].解析解的優(yōu)勢(shì)在于其可以計(jì)算出自旋軌道耦合的磁場(chǎng)長(zhǎng)度?R和自旋弛豫長(zhǎng)度?s.通過(guò)對(duì)二者進(jìn)行比較,研究者提出由于自旋進(jìn)動(dòng),RNL的負(fù)數(shù)值出現(xiàn)在當(dāng)?R和?s大小可比時(shí).盡管與之前的理論工作存在尺寸上的區(qū)別,但這也許會(huì)為人們理解非局域電阻RNL的負(fù)數(shù)行為提供一種新的思路.

3 ZSHE在石墨烯體系中誘導(dǎo)的非局域電阻

不同于SHE,石墨烯系統(tǒng)中的ZSHE不需要自旋軌道耦合,它是一種在外磁場(chǎng)作用下使得縱向電荷流轉(zhuǎn)化為橫向自旋流的現(xiàn)象[5,20?23].在垂直于面外的磁場(chǎng)作用下,如圖10(a)所示,石墨烯的狄拉克錐由于塞曼相互作用而分裂.這意味著電子型和空穴型的載流子可以在CNP附近獲得相反的自旋.

圖10 ZSHE的非局域測(cè)量示意圖[5] (a)CNP處的塞曼自旋劈裂導(dǎo)致電子和空穴擁有方向相反的自旋;(b)在洛倫茲力的作用下,電子和空穴感受到相反的作用力,電荷流I轉(zhuǎn)化為自旋流I↑和I↓.由于這個(gè)大小不為0的自旋流IS=I↑?I↓可以傳播相當(dāng)遠(yuǎn)的距離,從而可以在遠(yuǎn)端測(cè)到一個(gè)非局域電壓VNL;(c)非局域電阻RNL的實(shí)驗(yàn)值,在零磁場(chǎng)時(shí),無(wú)非局域信號(hào)Fig.10.The schematic diagram for the nonlocal experiment of ZSHE[5].(a)Zeeman splitting at the CNP produces two pockets fi lled with electrons and holes having opposite spin.(b)In the presence of the Lorentz force,which has opposite signs for electrons and holes,I gives rise to transverse spin current I↑ and I↓.Since the nonzero spin current IS=I↑?I↓can reach remote regions,a nonlocal voltage VNLcan be detected.(c)The nonlocal conductivity RNLin experiment.There exists no nonlocal signal in zero magnetic field.

首先在外加垂直磁場(chǎng)的石墨烯系統(tǒng)中實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到了ZSHE誘導(dǎo)的非局域電阻[5].由于這個(gè)非局域信號(hào)的樣品長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于傳統(tǒng)歐姆信號(hào)的傳播范圍,因而其一定是由一個(gè)非平庸的機(jī)理所導(dǎo)致.起初,這一類由ZSHE所誘導(dǎo)的非局域信號(hào)被認(rèn)為是由量子霍爾效應(yīng)中的邊緣態(tài)輸運(yùn)所導(dǎo)致.但實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),即使在室溫(T=300 K)和極弱的外磁場(chǎng)(B?1 T)等明顯超出量子霍爾效應(yīng)適用范圍的情況下,非局域信號(hào)依然很明顯.這意味著這種非局域特征是由完全不同于量子霍爾效應(yīng)邊緣態(tài)輸運(yùn)的機(jī)理所導(dǎo)致.此外,由于實(shí)驗(yàn)中使用的六角氮化硼襯底引入了電雜質(zhì)和晶格畸變,這也排除了第2節(jié)中SHE所導(dǎo)致的RNL.因此,這個(gè)非局域電阻只能產(chǎn)生于ZSHE.

類似于SHE中非局域電阻的定義,在圖10(b)中,自旋非極化的電流I從電極6向電極2入射.由于ZSHE,這個(gè)電荷流先轉(zhuǎn)化為電中性的自旋流IS=I↑?I↓,然后在逆塞曼自旋霍爾效應(yīng)的作用下被轉(zhuǎn)換為可以在電極3和5探測(cè)到的非局域電壓VNL=V5?V3.相對(duì)應(yīng)地,非局域電阻的定義為RNL=VNL/I.

則速度

且加速度a為

顯然,能量E+和E?的準(zhǔn)粒子在垂直磁場(chǎng)的作用下會(huì)感受到兩個(gè)方向相反的洛倫茲力,并向相反的方向傳播.不僅如此,盡管塞曼劈裂ΔZ通常很小,但在低溫(kBT＜ΔZ)時(shí),ΔZ可以在石墨烯中通過(guò)狄拉克錐的自旋退簡(jiǎn)并引入兩種不同方向的自旋載流子.如圖10(a)所示,能量E+的準(zhǔn)粒子為自旋向上極化,而能量E?的準(zhǔn)粒子為自旋向下極化.正是上述兩種效應(yīng)的疊加使得圖10(b)中縱向傳播的電荷流橫向偏轉(zhuǎn)為電中性的自旋流.

類似于SHE,含ZSHE的多端石墨烯體系同樣可以通過(guò)Landauer-Buttiker公式給出一個(gè)全數(shù)值模擬[20].在CNP附近,石墨烯中外加磁場(chǎng)的緊束縛哈密頓量可以寫為

圖11 在含ZSHE的六端系統(tǒng)中計(jì)算的電霍爾電阻RH和非局域電阻RNL[20](a)退相干較小時(shí)的RH;(b)退相干較小時(shí)的RNL;(c)退相干較大時(shí)的RH;(d)退相干較大時(shí)的RNLFig.11.The charge Hall resistance RHand the nonlocal resistance RNLcalculated based on the six-terminal graphene system with the ZSHE[20]:(a)RHwith a smaller momentum-relaxing dephasing;(b)RNLwith a smaller momentum-relaxing dephasing;(c)RHwith a larger momentum-relaxing dephasing;(d)RNLwith a larger momentum-relaxing dephasing.

其中,εi是在位能;σ=±1對(duì)應(yīng)于自旋向上下,即塞曼劈裂的大小為2gμBσB;t是最近鄰躍遷項(xiàng);φij是一個(gè)由于外磁場(chǎng)導(dǎo)致的躍遷相位.需要注意的是,接下來(lái)的計(jì)算中,由于樣品放置在量子化外磁場(chǎng)中,磁長(zhǎng)度?B和圖10(b)中的輸運(yùn)通道寬度W的比值需要保持W/?B＞1.同時(shí),由于非平衡格林函數(shù)計(jì)算的復(fù)雜性要求樣品尺寸不能太大(計(jì)算中對(duì)于四端體系的寬度W≈2.7 nm,六端體系的寬度W≈2.0 nm),因此需要外加一個(gè)極大的磁場(chǎng)以保持W/?B＞1.

圖11給出了在圖10(b)所示的六端體系中使用Landauer-Buttiker公式的非平衡格林函數(shù)計(jì)算結(jié)果.在圖11(b)中,非局域電阻RNL=(V5?V3)/I表現(xiàn)出了與實(shí)驗(yàn)圖10(c)非常相似的結(jié)果:狄拉克點(diǎn)處巨大的非局域電阻峰值以及另一對(duì)CNP處的側(cè)峰值.圖11(d)相比于圖11(b)增強(qiáng)了相位的退相干,此時(shí)的非局域電阻RNL在狄拉克點(diǎn)的峰值降低了兩個(gè)數(shù)量級(jí),同時(shí)兩個(gè)側(cè)峰也完全消失.

相比于SHE,ZSHE誘導(dǎo)的非局域電阻研究還缺乏足夠深入的分析.例如,由于外磁場(chǎng)的存在,適用于SHE的分析并不完全適用于ZSHE.但ZSHE中的非局域電阻卻有著與SHE類似的形態(tài),那么這兩類非局域電阻是否有著相同的組成,需要進(jìn)一步的理論和實(shí)驗(yàn)探討.

4 VHE在石墨烯體系中誘導(dǎo)的非局域電阻

在打破空間反演對(duì)稱性的石墨烯中,谷自由度可以起到與自旋類似的作用[24].這意味著谷自由度也能夠表現(xiàn)出對(duì)應(yīng)的霍爾效應(yīng)、磁化、光學(xué)選擇定則甚至手性邊緣態(tài)等現(xiàn)象.最近在MoS2等VI族過(guò)渡金屬硫化物中的研究使人們對(duì)谷自由度的研究進(jìn)一步深入[35?37].這類直接半導(dǎo)體材料的帶隙正落在K點(diǎn),同時(shí)其低能電子和空穴可以由帶強(qiáng)自旋谷耦合的狄拉克費(fèi)米子描述.因此,實(shí)驗(yàn)中往往同時(shí)觀測(cè)到SHE和VHE.近年來(lái),大量的研究試圖通過(guò)電磁學(xué)方法來(lái)控制谷自由度,從而尋找可能的谷控制方法[38?40],并催生了谷電子學(xué)這門學(xué)科.

由于不同谷的電子帶有相反的貝里相位,這使得通過(guò)谷產(chǎn)生谷依賴的輸運(yùn)成為可能.從一個(gè)半經(jīng)典的角度考慮,上述輸運(yùn)現(xiàn)象起源于能帶結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的反常群速度[41]:

其中,k是波矢,?n(k)是第n個(gè)能帶的貝里相位,E是外電場(chǎng).(14)式的最后一項(xiàng)代表了一個(gè)同時(shí)垂直于外電場(chǎng)和貝里相位的反常群速度.接下來(lái)考慮外加一個(gè)打破空間反演對(duì)稱性的微擾,石墨烯打開能隙Δ,這時(shí)的狄拉克點(diǎn)附近的低能哈密頓量寫為

則兩個(gè)谷附近的貝里相位形式為

顯然這里不同的谷分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)相反的貝里相位.結(jié)合(14)式,此時(shí)兩個(gè)谷感受到兩個(gè)完全相反的類洛倫茲力,因而會(huì)向兩個(gè)相反的方向傳播,如圖12所示.

圖12 由于貝里相位的作用,屬于不同谷的電子會(huì)感受到兩個(gè)完全相反的類洛倫茲力Fig.12.Due to the effect of Berry curvatures,the electrons in two different valleys will experience the Lorentz force in opposite directions.

從量子力學(xué)的角度而言,在K點(diǎn)附近,(15)式中的哈密頓量可以寫為

則此時(shí)的速度和加速度算符為

最近的實(shí)驗(yàn)首先在與六角硼化氮襯底公度的石墨烯樣品中觀測(cè)到了非局域電阻信號(hào)[7].如圖13(a)和圖13(b)所示,當(dāng)石墨烯和硼化氮公度放置時(shí),石墨烯的空間反演對(duì)稱性被打破并在CNP打開能隙,此時(shí)樣品表現(xiàn)出一個(gè)巨大的非局域電阻值RNL;而當(dāng)石墨烯和硼化氮交錯(cuò)一個(gè)角度時(shí),石墨烯保持空間反演對(duì)稱性且不打開能隙,此時(shí)的非局域電阻值非常小,以至于幾乎觀測(cè)不到,這排除了源于SHE的自旋流可能對(duì)圖13(a)中非局域電阻的貢獻(xiàn).同時(shí),實(shí)驗(yàn)還認(rèn)真地排除了邊緣態(tài)等可能對(duì)非局域電阻的貢獻(xiàn).因此,一個(gè)合理的推測(cè)是這時(shí)的非局域信號(hào)可能源于由VHE誘導(dǎo)的谷電流.

圖13 (a)在與六角硼化氮襯底公度的石墨烯樣品中探測(cè)非局域電阻的示意圖(插圖)及非局域電阻RNL實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(主圖);(b)實(shí)驗(yàn)中在公度與非公度情況下分別測(cè)量的非局域電阻RNL值[7]Fig.13.(a)The schematic diagram of the experimental device(inset)and the measured nonlocal resistance(main panel)for a multi-terminal graphene system aligned over an h-BN substrate;(b)experimental nonlocal resistance for aligned and non-aligned h-BN substrates[7].

更多的實(shí)驗(yàn)在外加垂直電場(chǎng)的雙層石墨烯樣品中同樣觀察到了巨大的非局域電阻[8,9].類似地,由于雙層石墨烯此時(shí)也在CNP打開能隙,這個(gè)非局域電阻信號(hào)同樣被傾向于理解為是VHE的結(jié)果.實(shí)際上,這類實(shí)驗(yàn)在理論上最難以理解的地方在于:所有的非局域電阻信號(hào)均出現(xiàn)在當(dāng)費(fèi)米能落在帶隙中時(shí),而這里本不應(yīng)該存在任何物理的結(jié)果.Lensky等[25]認(rèn)為這里的VHE可能起源于能隙以下的費(fèi)米海體態(tài).對(duì)于在帶隙中的費(fèi)米能EF,兩個(gè)相反的谷極化流在系統(tǒng)中傳播并產(chǎn)生電中性的谷電流.由于谷電流由能隙以下費(fèi)米海中的電子傳播,谷電流是非耗散的.因此,在這個(gè)圖像中,即使系統(tǒng)表現(xiàn)為電絕緣且化學(xué)勢(shì)落在帶隙中,由費(fèi)米海導(dǎo)致的谷電流仍然可以產(chǎn)生一個(gè)看起來(lái)違反直覺的非局域信號(hào).針對(duì)這個(gè)觀點(diǎn),進(jìn)一步的研究直接使用了參照?qǐng)D13中打開能隙且谷霍爾電導(dǎo)0的石墨烯哈密頓量,非平衡格林函數(shù)的計(jì)算結(jié)果表明非局域電阻RNL在帶隙內(nèi)永遠(yuǎn)為零.類似地,基于文獻(xiàn)[8,9]中實(shí)驗(yàn)使用的雙層哈密頓量的計(jì)算給出了同樣的結(jié)果.最近,借助于第一性原理方法對(duì)哈密頓量的修正,Marmolejo-Tejada等[26]提出,這個(gè)非局域電阻應(yīng)該是由某種特殊的出現(xiàn)在狄拉克點(diǎn)附近的邊緣態(tài)所誘導(dǎo),而并不是費(fèi)米海體態(tài).

圖14 計(jì)算所使用的含子格子錯(cuò)位勢(shì)Δ的四端石墨烯示意圖Fig.14.The schematic diagram for the calculated four-terminal graphene system with a staggered sublattice potential Δ.

根據(jù)Landauer-Buttiker公式,Cresti等[42]在一個(gè)如圖14所示的四端石墨烯中模擬了由VHE誘導(dǎo)的非局域電阻.此時(shí),一個(gè)打破空間反演對(duì)稱性的哈密頓量可以寫為

這里,ai和bi對(duì)應(yīng)于兩種子格子,并將寬度固定為W=50 nm.首先,當(dāng)錯(cuò)位勢(shì)Δ取為0時(shí),石墨烯不打開能隙.相對(duì)應(yīng)的計(jì)算結(jié)果顯示,無(wú)論長(zhǎng)度L如何取值,系統(tǒng)都不表現(xiàn)出可以被觀測(cè)到的非局域電阻RNL.接下來(lái),當(dāng)錯(cuò)位勢(shì)取為Δ=60.2 meV時(shí),類似于實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,此時(shí)的石墨烯打開能隙Δ并在狄拉克點(diǎn)表現(xiàn)出一個(gè)巨大的非局域電阻峰值.顯然,這個(gè)對(duì)比結(jié)果意味著基于(19)式得到的非局域電阻實(shí)際上源于VHE的貢獻(xiàn).更細(xì)致的計(jì)算表明,非局域電阻的峰值會(huì)隨著長(zhǎng)度L的減小而降低.這是由于能隙中的輸運(yùn)一般由能隙外的體態(tài)向能隙內(nèi)的隧穿來(lái)實(shí)現(xiàn),而隧穿概率會(huì)隨著樣品尺寸的增大而強(qiáng)烈地衰減.

綜上所示,盡管目前并沒有對(duì)谷電流直接測(cè)量的實(shí)驗(yàn)證據(jù),但理論和實(shí)驗(yàn)研究都傾向于認(rèn)為在打破空間反演對(duì)稱性的石墨烯中觀測(cè)到的巨大的非局域電阻值來(lái)源于VHE.更令人信服的結(jié)論還需要進(jìn)一步深入的理論和數(shù)值計(jì)算.

5 結(jié) 論

本綜述系統(tǒng)地回顧了實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的可能分別由SHE,ZSHE和VHE誘導(dǎo)的非局域電阻,并介紹了通過(guò)Landauer-Buttiker公式給出的上述三種霍爾效應(yīng)在多端系統(tǒng)中誘導(dǎo)非局域電阻的全數(shù)值結(jié)果.對(duì)于SHE,理論計(jì)算較好地給出了符合實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的非局域電阻模擬值.同時(shí),更細(xì)致的理論研究預(yù)言實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到的非局域電阻峰值的產(chǎn)生很可能與SHE無(wú)關(guān),而非局域電阻相比局域電阻的迅速衰減很可能源于SHE與準(zhǔn)彈道輸運(yùn)的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系.通過(guò)構(gòu)造一個(gè)可以產(chǎn)生ZSHE和VHE的哈密頓量,也可以得到與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合較好的非局域電阻計(jì)算結(jié)果.但相比于SHE,對(duì)于ZSHE和VHE如何誘導(dǎo)非局域電阻的物理機(jī)理目前缺乏足夠令人信服的結(jié)論.特別是對(duì)于VHE,非局域電阻出現(xiàn)在本不應(yīng)該測(cè)到任何物理信號(hào)的體能隙中,這一直是一個(gè)令人費(fèi)解的現(xiàn)象,并引發(fā)了激烈的爭(zhēng)論.總體而言,盡管非局域電阻在近年來(lái)已經(jīng)吸引了人們足夠高的研究興趣,但由于其非平庸的物理性質(zhì),對(duì)于非局域電阻仍需要更深入的理論研究和更直接的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果.

感謝中國(guó)北京大學(xué)陳劍豪教授、韓偉教授,美國(guó)特拉華大學(xué)Branislav K.Nikolic教授和中國(guó)臺(tái)灣新竹清華大學(xué)Chunli Huang博士的討論.

[1]Brune C,Buhmann H,Molenkamp L W,Maciejko J,Qi X L,Zhang S C 2009Science325 294

[2]Chang C Z,Zhao W,Kim K Y,Wei P,Jain J K,Liu C,Chan M H W,Moodera J S 2015Phys.Rev.Lett.115 057206

[3]Parameswaran S A,Grover T,Abanin D A,Pesin D A,Vishwanath A 2014Phys.Rev.X4 031035

[4]McEuen P L,Szafer A,Richter C A,Alphenaar B W,Jain J K,Stone A D,Wheeler R G,Sacks R N 1990Phys.Rev.Lett.64 2062

[5]Abanin D A,Morozov S V,Ponomarenko L A,Gorbachev R V,Mayorov A S,Katsnelson M I,Watanabe K,Taniguchi T,Novoselov K S,Levitov L S,Geim A K 2011Science332 328

[6]Balakroshnan J,Koon G K W,Jaiswal M,Castro Neto A H,Ozyilmaz B 2013Nat.Phys.9 284

[7]Gorbachev R V,Song J C W,Yu G L,Kretinin A V,Withers F,Cao Y,Mishchenko A,Grigoreiva I V,Novoselov K S,Levitov L S,Geim A K 2014Science346 448

[8]Shimazaki Y,Yamamoto M,Borzenets I V,Watanabe K,Taniguchi T,Tarucha S 2015Nat.Phys.11 1032

[9]Sui M,Chen G,Ma L,Shan W Y,Tian D,Watanabe K,Taniguchi T,Jin X,Yao W,Xiao D,Zhang Y 2015Nat.Phys.11 1027

[10]Yamamoto M,Shimazaki Y,Borzenets I V,Tarucha S 2015J.Phys.Soc.Jpn.84 121006

[11]Hirsch J E 1999Phys.Rev.Lett.83 1834

[12]Murakami S,Nagaosa N,Zhang S C 2003Science301 1348

[13]Sinova J,Culcer D,Niu Q,Sinitsyn N A,Jungwirth T,MacDonald A H 2004Phys.Rev.Lett.92 126603

[14]Kato Y K,Myers R C,Gossard A C,Awsschalom D D 2004Science306 1910

[15]Kimura T,Otani Y 2007Phys.Rev.Lett.99 196604

[16]Brune C,Roth A,Novik E G,Konig M,Buhmann H,Hankiewicz E M,Hanke W,Sinova J,Molenkamp L W 2010Nat.Phys.6 448

[17]Sheng L,Sheng D N,Ting C S,Haldane F D M 2005Phys.Rev.Lett.95 136602

[18]Wang Z,Liu H,Jiang H,Xie X C 2016Phys.Rev.B94 035409

[19]Tuan D V,Marmolejo-Tejada J M,Waiintal X,Nikolic B K,Valenzuela S O,Roche S 2016Phys.Rev.Lett.117 176602

[20]Chen C L,Chang C R,Nikolic B K 2012Phys.Rev.B85 155414

[21]Renard J,Studer M,Folk J A 2014Phys.Rev.Lett.112 116601

[22]Wei P,Lee S,Lemaitre F,Pinel L,Cutaia D,Cha W,Katmis F,Zhu Y,Heiman D,Hone J,Moodera J S,Chen C T 2016Nat.Mater.15 711

[23]Abanin D A,Gorbachev R V,Novoselov K S,Geim A K,Levitov L S 2011Phys.Rev.Lett.107 096601

[24]Xiao D,Yao W,Niu Q 2007Phys.Rev.Lett.99 236809

[25]Lensky Y D,Song J C W,Samutpraphoot P,Levitov L S 2015Phys.Rev.Lett.114 256601

[26]Marmolejo-Tejada J M,Garcia J H,Chang P H,Sheng X L,Cresti A,Roche S,Nikolic B K 2017 arXiv:1706.09361v1[cond-mat.mes-hall]

[27]Saitoh E,Ueda M,Miyajima H,Tatara G 2006Appl.Phys.Lett.88 182509

[28]Valenzuela S O,Tinkham M 2006Nature442 176

[29]Kimura T,Otani Y,Sato T,Takahashi S,Maekawa S 2007Phys.Rev.Lett.98 156601

[30]Balakrishnan J,Koon G K W,Avsar A,Ho Y,Lee J H,Jaiswal M,Baeck S,Ahn J,Ferreira A,Cazalilla M A,Castro Neto A H,Ozyilmaz B 2014Nat.Commun.5 4748

[31]Abanin D A,Shytov A V,Levitov L S,Halperin B I 2009Phys.Rev.B79 035304

[32]Mihajlovic G,Pearson J E,Garcia M A,Bader S D,Ho ff mann A 2009Phys.Rev.Lett.103 166601

[33]Sheng L,Sheng D N,Ting C S 2005Phys.Rev.Lett.94 016602

[34]Huang C,Chong Y D,Cazalilla M A 2017Phys.Rev.Lett.119 136804

[35]Mak K F,McGill K L,Park J,McEuen P L 2014Science344 1489

[36]Lee J,Mak K F,Shan J 2016Nat.Nanotechnol.11 421

[37]Xiao D,Liu G B,Feng W X,Xu X D,Yao W 2012Phys.Rev.Lett.108 196802

[38]Zhai F,Zhao X,Chang K,Xu H Q 2010Phys.Rev.B82 115442

[39]Gunlycke D,White C T 2011Phys.Rev.Lett.106 136806

[40]Zhai F,Ma Y L,Chang K 2011New J.Phys.13 083029

[41]Xiao D,Chang M C,Niu Q 2010Rev.Mod.Phys.82 1959

[42]Cresti A,Nikolic B K,Garcia J H,Roche S 2016La Rivista Del Nuovo Cimento12 587

PACS:72.80.Vp,71.70.Ej,85.35.–p DOI:10.7498/aps.66.217201

*Project supported by the National Basic Research Program of China(Grant Nos.2015CB921102,2014CB920901),the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11704348,11374219,11534001,11404300),and the Science Challenge Project,China(Grant No.TZ2016003-1).

?Corresponding author.E-mail:jianghuaphy@suda.edu.cnc

Nonlocal resistance in multi-terminal graphene system?

Wang Zi-Bo1)2)Jiang Hua3)4)?Xie Xin-Cheng5)6)

1)(Microsystems and Terahertz Research Center,China Academy of Engineering Physics,Chengdu 610200,China)
2)(Institute of Electronic Engineering,China Academy of Engineering Physics,Mianyang 621999,China)
3)(College of Physics,Optoelectronics and Energy,Soochow University,Suzhou 215006,China)
4)(Institute for Advanced Study of Soochow University,Suzhou 215006,China)
5)(International Center for Quantum Materials,School of Physics,Peking University,Beijing 100871,China)
6)(Collaborative Innovation Center of Quantum Matter,Beijing 100871,China)

d 21 September 2017;revised manuscript

7 October 2017)

Since the nonlocal measurement is helpful in discovering nontrivial physics that is too difficult to detect directly,the nonlocal measurement has now become one of the research focuses in condensed matter physics.Recent experiments find the signal of the giant nonlocal resistance in an H-shaped multi-terminal graphene system.After excluding other possible transport mechanisms,such as the classic Ohmic diffusion and the edge states,researchers tend to believe that the nonlocal resistance signal originates from the spin/valley Hall effect existing in graphene sample.Based on the Landauer-Buttiker formula,the numerical results make a relatively perfect match with the experimental data in the same multi-terminal graphene system.However,though the theoretic research has made certain progress in explaining the existence of the nonlocal resistance,it is still difficult to understand some exotic behaviors of the nonlocal resistance,which exhibits properties even contradictory to the known classical theories.For instance,the nonlocal resistance decreases to zero much more rapidly than the local one,and the giant peak of the nonlocal resistance appears inside the energy gap of the graphene.In this review,the experiments focusing on the nonlocal resistance in multi-terminal graphene system are carefully reviewed.Besides,this review also shows the associated theoretic studies,and an overlook of the future study is also provided.

nonlocal resistance,graphene,spin Hall effect,valley Hall effect

非局域測(cè)量方法由于其能夠間接探測(cè)某些難以直接俘獲的非平庸物理機(jī)理,近年來(lái)已逐漸成為凝聚態(tài)物理的研究熱點(diǎn)之一.最近的實(shí)驗(yàn)在H形多端口石墨烯樣品中發(fā)現(xiàn)了巨大的非局域電阻信號(hào).在排除了經(jīng)典歐姆、邊緣態(tài)等可能的輸運(yùn)形式后,人們傾向于認(rèn)為這類非局域電阻是由多端石墨烯系統(tǒng)中存在的自旋霍爾效益或谷霍爾效應(yīng)所導(dǎo)致.借助于非平衡格林函數(shù)輸運(yùn)計(jì)算,目前的理論可以在同樣的多端石墨烯體系中得到部分與實(shí)驗(yàn)符合較好的數(shù)值模擬結(jié)果.針對(duì)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的某些難以理解的、甚至與經(jīng)典理論相矛盾的非局域電阻性質(zhì),例如非局域電阻相比局域電阻在偏離電中性點(diǎn)時(shí)的迅速衰減、出現(xiàn)在能隙中的非局域電阻峰值等,目前的理論研究取得了一定的進(jìn)展,但對(duì)這些奇異現(xiàn)象的理解仍存在較大的爭(zhēng)議.本綜述詳細(xì)回顧了多端口石墨烯體系中非局域電阻的相關(guān)實(shí)驗(yàn),并針對(duì)性地介紹與之配套的理論進(jìn)展及對(duì)未來(lái)研究的展望.

10.7498/aps.66.217201

?國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(批準(zhǔn)號(hào):2015CB921102,2014CB920901)、國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11704348,11374219,11534001,11404300)和科學(xué)挑戰(zhàn)計(jì)劃(批準(zhǔn)號(hào):TZ2016003-1)資助的課題.

?通信作者.E-mail:jianghuaphy@suda.edu.cnc

?2017中國(guó)物理學(xué)會(huì)Chinese Physical Society