司成杰

(武漢大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 湖北 武漢 430072)

含漂移項分數(shù)布朗運動方差估計量的Edgeworth展開

司成杰

(武漢大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 湖北 武漢 430072)

對含漂移項分數(shù)布朗運動方差估計量進行研究. 在胡耀忠等人已有工作的基礎上, 對方差的極大似然估計量的三、四階原點矩進行計算, 并在矩的基礎上得到相應的累積量, 最后給出標準化后的方差估計量所滿足的三項局部Edgeworth展開項.

極大似然估計；原點矩；累積量；Edgeworth展開

0 引言

長記憶過程在金融、生物、信號網(wǎng)絡等領域有著非常廣泛的應用. 分數(shù)布朗運動也是一類特殊的長記憶過程(H>1/2). 關于分數(shù)布朗運動的隨機積分也已經(jīng)有了較為完善的研究[1-2]. 當利用長記憶過程描述某些具體現(xiàn)象時, 確定模型中相關參數(shù)就顯得尤為重要. 本文中主要研究含漂移項分數(shù)布朗運動線性模型

Xt=μt+σBH(t)

(1)

其中μ和σ是需要通過過程X的離散觀測樣本來進行估計的參數(shù), {BH(t),t≥0}是Hurst參數(shù)H∈(0,1)的分數(shù)布朗運動(不考慮H=1/2情形). 假設過程經(jīng)由離散時間(t1,t2,…，t,tN)觀測. 為方便起見, 取tk=kh,k=1,2,…,N. 這樣觀測過程序列X=(Xt1,Xt2,…,XtN).

之所以選擇研究模型(1)是因為其具有實際意義和應用性. 關于含漂移項時Hurst參數(shù)的參數(shù)估計在[3-5]中有了較為深入的研究, 其中最為著名的一種Hurst參數(shù)估計就是R/S估計. 此外, 在金融中很熱門研究的幾何分數(shù)布朗運動, 也是來源于模型(1). 基于連續(xù)時間觀測樣本的分數(shù)O-U過程中參數(shù)估計[6]也與模型(1)有著密不可分的關系.

胡耀忠等[7]給出了模型(1)在離散樣本下即觀測時間序列t=(h,2h,…,Nh)′和分數(shù)布朗運動序列BH(t)=(BH(h),BH(2h),…,BH(Nh))′條件下, 參數(shù)σ2的極大似然估計[8]

(2)

其中MH是協(xié)方差矩陣, 具體形式

(3)

1 預備知識

定義1.1隨機變量X的特征函數(shù)定義為C(t)=E(eitX), 特征函數(shù)與矩存在如下關系

與矩類似,X的累積量Γk是特征函數(shù)取對數(shù)后的展開式系數(shù)

前4階累積量與矩對應關系如下

引理1.1假定{Zi}是一組均值和方差分別為μ和σ2. 記Xn為其標準和

(4)

若記Fn為隨機變量Xn的分布函數(shù). 對序列Xi, 其均值、方差、r階累積量依次為μ、σ2和σrΓr. 則其前幾項Edgeworth展開項滿足

(5)

其中Φ(x)表示標準正態(tài)分布的分布函數(shù),Φ(3)(x)表示Φ(x)關于x的三階求導.

引理1.1是最為常見的Edgeworth展開項形式, 由Cramér[9]于1928年證明展開項級數(shù)關于x一致存在, 且前三項的局部展開誤差為ox(n-1).

2 方差估計量的三、四階原點矩

(6)

(7)

(8)

引理2.1的證明利用胡耀忠[7]通過高斯構(gòu)造法得到的等式(α≠1/2)

(9)

將(9)式左右兩端分別作泰勒展開并比較系數(shù), 有

(10)

即證明了(7)式成立. 再將(10)式結(jié)果帶入到RN的三階原點矩計算, 即有(8)式成立. 證畢.

(11)

(12)

引理2.2的證明與引理2.1證明過程類似, 只需計算得到

將上述結(jié)果帶入相應的原點矩計算公式即可. 證畢.

3 方差估計量的三、四階累積量與Edgeworth展開

(13)

(14)

(15)

(16)

證畢.

(17)

(18)

E(RN)3-3E(RN)E(RN)2+2(E(RN))3=

(19)

E(RN)4-4E(RN)E(RN)3+6E(RN)2(E(RN))2-3(E(RN))4=

(20)

證畢.

(21)

(22)

致謝：非常感謝審稿人的審稿意見, 也非常感謝導師高付清老師的選題與指導.

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Edgeworthexpansionofvarianceestimatorfordriftfractionalbrownianmotion

SI Chengjie

(School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan 430072,China)

This article is mainly about the variance estimation for drift fractional brownian motion. Based on maximum likelihood estimator from the work of Hu Yaozhong, etc., we computed the third and forth moments of the estimator, and also it was cumulants, then we claimed the Edgeworth expansion series for the variance estimation.

maximum likelihood estimator; moment; cumulant; Edgeworth expansion series

2017-05-15

司成杰(1992-)，男，碩士生，E-mail:740909911@qq.com

1000-2375(2017)06-0563-04

X36

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.06.001

(責任編輯 趙燕)