閔家麒，朱宏玉

(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191)

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61403031).

基于區(qū)間算法的微小衛(wèi)星微推力器陣列規(guī)模估計(jì)*

閔家麒，朱宏玉

(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191)

針對(duì)以固體微推力器陣列為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的微小衛(wèi)星初入軌姿態(tài)控制需求，研究固體微推力器陣列規(guī)模的估計(jì)方法.在設(shè)計(jì)了微推力器陣列單元調(diào)用規(guī)則和姿態(tài)控制律后，考慮微推力器陣列各單元沖量輸出的不確定性，使用區(qū)間數(shù)表示微推力器單元的力矩輸出，引入?yún)^(qū)間算法對(duì)初入軌的消旋和姿態(tài)捕獲兩個(gè)主要過(guò)程中微推力器單元的消耗情況進(jìn)行計(jì)算.利用區(qū)間數(shù)的不相關(guān)性，改善區(qū)間計(jì)算過(guò)程，減小了由區(qū)間積分導(dǎo)致的區(qū)間擴(kuò)張.仿真分析表明，提出的固體微推力器陣列規(guī)模估計(jì)方法可以給出預(yù)定入軌條件下的陣列規(guī)模需求，且其結(jié)果不依賴(lài)于微推力器單元力矩輸出的概率特性.

姿態(tài)控制；執(zhí)行機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)；固體微推力器陣列；區(qū)間算法

0 引 言

隨著微小衛(wèi)星以其成本低、研制周期短、穩(wěn)定靈活等優(yōu)勢(shì)迅速成為航天發(fā)展的熱點(diǎn)[1]，出現(xiàn)了多種微推進(jìn)系統(tǒng)來(lái)完成衛(wèi)星姿態(tài)調(diào)整、定位控制和軌道控制等機(jī)動(dòng)任務(wù)[2].與現(xiàn)階段較為成熟的冷氣推進(jìn)系統(tǒng)相比，固體微推力器陣列具有無(wú)活動(dòng)部件、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、系統(tǒng)質(zhì)量輕、可批量化生產(chǎn)等優(yōu)點(diǎn)[3].作為低成本衛(wèi)星姿態(tài)控制的有效手段，固體微推力器陣列有進(jìn)一步研究的實(shí)用價(jià)值.

目前對(duì)微推力器的研究基本集中在大規(guī)模陣列的相關(guān)技術(shù)，文獻(xiàn)[4-5]分別研究了微推力器陣列點(diǎn)火電路的延遲和點(diǎn)火算法問(wèn)題，文獻(xiàn)[6]則著手優(yōu)化了點(diǎn)火控制電路結(jié)構(gòu).微推力器陣列結(jié)合微小衛(wèi)星姿態(tài)軌道控制的研究還較少，文獻(xiàn)[7]基于姿軌一體化控制進(jìn)行了微推力器陣列的優(yōu)化利用研究，文獻(xiàn)[8]將微推力器陣列應(yīng)用到微納衛(wèi)星的編隊(duì)保持控制仿真中，但上述文獻(xiàn)均未考慮星上微推力器陣列的消耗規(guī)模問(wèn)題.

實(shí)際上微小衛(wèi)星空間極其有限，考慮完成任務(wù)所需星上微推力器陣列的消耗對(duì)合理利用安排星上推力器陣列規(guī)模極其重要.在微推力器陣列的安裝位置偏差、微推力器裝藥技術(shù)等因素的影響下，直接利用動(dòng)力學(xué)仿真估計(jì)星上推力器消耗存在一定不確定性.本文引入?yún)^(qū)間計(jì)算克服動(dòng)力學(xué)仿真中的不確定性，并以微小衛(wèi)星初入軌時(shí)的姿態(tài)控制需求為例，對(duì)微小衛(wèi)星固體微推力器陣列需求規(guī)模進(jìn)行了估計(jì).

1 問(wèn)題描述與設(shè)計(jì)

1.1微小衛(wèi)星模型與動(dòng)力學(xué)方程

本文研究自旋入軌、正常運(yùn)行時(shí)三軸穩(wěn)定的微小衛(wèi)星初入軌控制問(wèn)題，控制存在姿態(tài)消旋和姿態(tài)捕獲兩個(gè)控制階段.假設(shè)星上裝有陀螺和光學(xué)敏感器提供姿態(tài)角和姿態(tài)角速度測(cè)量信息，以固體微推力器陣列為控制執(zhí)行機(jī)構(gòu).

記衛(wèi)星質(zhì)心為o，建立本體系oxbybzb，初始時(shí)衛(wèi)星繞軸ozb自旋.本體系下的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中：I為衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣，ω為慣性系角速度，τ為外力矩矢量.

(2)

1.2推力器陣列使用策略設(shè)計(jì)

為方便設(shè)計(jì)與修改，采用10×10小規(guī)模微正方形布局的推力器陣列作為執(zhí)行機(jī)構(gòu).衛(wèi)星尾部四面安裝微推力器陣列，假設(shè)每面最大允許布置3×3片推力器陣列，如圖1所示.d是推力器陣列推力作用點(diǎn)到衛(wèi)星理想質(zhì)心位置在推力器陣列安裝平面內(nèi)投影的最遠(yuǎn)距離，l是推力器陣列與衛(wèi)星理想質(zhì)心位置之間的最近距離.陣列間的距離為δ，陣列內(nèi)推力器間距為Δd，推力器與陣列邊緣的距離為Δx、Δy.

根據(jù)圖1示意及坐標(biāo)系定義，容易得出推力陣列所在執(zhí)行機(jī)構(gòu)面與能提供的控制向量的關(guān)系，見(jiàn)表 1.注意到，每一面推力陣列均可提供兩個(gè)方向的z向力矩，且沿衛(wèi)星zb軸存在對(duì)稱(chēng)關(guān)系.

表1 執(zhí)行機(jī)構(gòu)所在面與控制向量對(duì)應(yīng)表Tab.1 Location of the actuator corresponding to control vectors

為減小算法復(fù)雜度，推力器陣列規(guī)劃采用簡(jiǎn)單的解耦法實(shí)現(xiàn)，即通過(guò)2個(gè)推力器組合對(duì)消的方法使每次點(diǎn)火組合只提供一個(gè)控制方向的沖量矩.但與文獻(xiàn)[7]不同，本文中衛(wèi)星只有四面裝有推力陣列，在消除控制力矩耦合時(shí)做出限制：每一面1、3列的推力陣列提供z向力矩，而第2列陣列提供x、y向力矩.由此，以面、片(行×列)、點(diǎn)(行×列)的形式表示所有推力器的坐標(biāo)，可得到表2中的推力器使用策略.

為了進(jìn)一步減小算法復(fù)雜度，不考慮單位周期內(nèi)控制力矩期望值，則對(duì)表2中各變量做出以下規(guī)定：面s=1,2，片行i從3遞減到1，點(diǎn)行j與點(diǎn)行p均從10遞減到1，點(diǎn)列k從5遞減到1，點(diǎn)列q從1遞增到10.當(dāng)控制向量為x、y時(shí)，循環(huán)優(yōu)先級(jí)為i高于j高于k；當(dāng)控制向量為z時(shí)，循環(huán)優(yōu)先級(jí)為i高于s高于q高于p.

表2 解耦法推力器使用策略Tab.2 Decoupling method for thruster application

1.3控制律設(shè)計(jì)

假設(shè)初入軌時(shí)衛(wèi)星具有較大的三軸角速度和姿態(tài)角誤差.為保證衛(wèi)星正常工作，首先需要對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行姿態(tài)消旋控制.待衛(wèi)星三軸角速度穩(wěn)定之后，再進(jìn)行姿態(tài)捕獲.

由于使用固體微推力器陣列作為控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)，控制信號(hào)需要轉(zhuǎn)化為開(kāi)關(guān)信號(hào)[9]，因此假定控制指令每隔Δt更新一次.

消旋控制使用式(3)所示的角速度反饋控制律

(3)

式中,Ti表示三軸力矩指令，Ti=0表示不需要力矩，Ti=1表示需要正向力矩，Ti=-1表示需要負(fù)向力矩；ωi_despin為預(yù)設(shè)的消旋階段控制開(kāi)關(guān)線(xiàn).

考慮衛(wèi)星初入軌時(shí)自旋角速度明顯大于其他兩軸角速度，因此消旋控制的結(jié)束判據(jù)設(shè)為

|ωz|<ωend_despin

(4)

其中，ωend_despin為消旋結(jié)束時(shí)可接受的最大自旋角速率值，可根據(jù)控制要求確定.

本文假設(shè)微小衛(wèi)星正常運(yùn)行時(shí)處于三軸穩(wěn)定狀態(tài)，因此，姿態(tài)捕獲問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為向預(yù)定姿態(tài)指向的姿態(tài)機(jī)動(dòng)問(wèn)題.為簡(jiǎn)化控制問(wèn)題，進(jìn)一步假設(shè)預(yù)定姿態(tài)為零姿態(tài)，則可使用式(5)所示的反饋控制律

(5)

式中，θi為三軸歐拉角，ki為角速度反饋系數(shù)，ei為預(yù)設(shè)的姿態(tài)捕獲階段控制開(kāi)關(guān)線(xiàn).

與消旋結(jié)束判據(jù)類(lèi)似，姿態(tài)捕獲結(jié)束判據(jù)可設(shè)為

|θi|

(6)

其中θi_end為衛(wèi)星轉(zhuǎn)入三軸穩(wěn)定控制模式時(shí)所能容忍的最大姿態(tài)角.

2 固體微推力器陣列需求規(guī)模估計(jì)方法

考慮微推力器陣列的安裝位置偏差、微推力器裝藥技術(shù)等不確定性因素影響，本文在微小衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)仿真過(guò)程中引入?yún)^(qū)間算法對(duì)微小衛(wèi)星推力器消耗規(guī)模進(jìn)行估計(jì).為完成此任務(wù)，需要對(duì)仿真運(yùn)算和控制律分別做出調(diào)整.

2.1區(qū)間積分的擴(kuò)張抑制

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

由于衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)方程式(1)、(2)的計(jì)算需要進(jìn)行區(qū)間積分，這將導(dǎo)致嚴(yán)重的區(qū)間擴(kuò)張現(xiàn)象，因此需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化.對(duì)式(1)的動(dòng)力學(xué)方程作變形，得到角速度區(qū)間ω的計(jì)算公式

(14)

(15)

(16)

由于衛(wèi)星的姿態(tài)角可由姿態(tài)角速度積分得到，因此可得到姿態(tài)角計(jì)算表達(dá)式：

(17)

2.2控制律的區(qū)間運(yùn)算調(diào)整

在引入?yún)^(qū)間算法得到衛(wèi)星仿真姿態(tài)的上下界后，為了估計(jì)控制過(guò)程中微推力器消耗的上下界，需要對(duì)式(3)～式(6)的控制律作一定變形.

消旋控制階段目的是使衛(wèi)星姿態(tài)角速率迅速降為小量，因此衛(wèi)星三軸角速率減小越快則消耗推力器越少.為了估計(jì)消旋控制推力器消耗，對(duì)式(3)消旋控制律中作變形：

(18)

(19)

姿態(tài)最終理想歐拉角為0°，因此在捕獲階段衛(wèi)星姿態(tài)角變化越快則推力器消耗越少.對(duì)式(5)的姿態(tài)捕獲控制律變形得到消耗下界的控制律：

(20)

需要注意的是當(dāng)控制律開(kāi)關(guān)切換時(shí)，姿態(tài)上下界需要重置以保證控制姿態(tài)的連續(xù).同理可得到消耗上界的控制律：

(21)

3 算例仿真

考慮文獻(xiàn)[6]中微推力器陣列研究現(xiàn)狀，給出推力器仿真參數(shù)，見(jiàn)表3.

表3 推力器陣列仿真參數(shù)Tab.3 Simulation parameters of thruster array

表4為圖1微小衛(wèi)星模型參數(shù).

表4 衛(wèi)星模型參數(shù)Tab.4 Satellite model parameters

至此，可對(duì)衛(wèi)星初入軌時(shí)姿態(tài)控制消耗需求作仿真估計(jì).

3.1消旋控制消耗估計(jì)

表5 消旋控制閾值Tab.5 Control threshold of velocity damping (°)/s

表6消旋結(jié)果表明完成控制消耗推力器越少則控制所需時(shí)間越短，這與衛(wèi)星三軸角速率減小越快則消耗推力器越少的分析相符合.另一方面，由于消旋階段只是將三軸角速度減到小值，在不同推力器消耗情況下衛(wèi)星最終姿態(tài)角可能有較大的變化，這在表6中得到了驗(yàn)證.因此，在消旋結(jié)束后應(yīng)等待衛(wèi)星姿態(tài)角緩慢轉(zhuǎn)入可接受范圍后再進(jìn)行姿態(tài)捕獲控制.

圖5～7分別是仿真得到的推力器消耗下界、理想消耗和消耗上界.圖中橫坐標(biāo)表示推力器行坐標(biāo)(10×片行+點(diǎn)行)，縱坐標(biāo)表示推力器列坐標(biāo)，nzi表示第i面消耗推力器數(shù)量.仿真結(jié)果證明對(duì)于消旋控制，式(16)～(17)所做假設(shè)合理，區(qū)間算法可估計(jì)推力器消耗上下界.

表6 消旋結(jié)果Tab.6 Results of velocity damping control

3.2姿態(tài)捕獲消耗估計(jì)

表8中完成控制消耗推力器越少則控制所需時(shí)間越長(zhǎng)，分析原因如下：姿態(tài)捕獲階段目的是將姿態(tài)角快速減小，單位控制周期內(nèi)姿態(tài)角速率越大則姿態(tài)角減少越多，對(duì)應(yīng)整個(gè)控制周期三軸角速率減小越慢則推力器消耗越少.

圖11～13中推力器消耗結(jié)果表明對(duì)于姿態(tài)捕獲控制，式(16)～(17)所做假設(shè)依舊合理，區(qū)間算法可估計(jì)出推力器消耗上下界.

項(xiàng)目數(shù)值項(xiàng)目數(shù)值項(xiàng)目數(shù)值ex2ey2ez2θx_end2°θy_end2°θz_end2°kx4ky4kz4

表8 姿態(tài)捕獲結(jié)果Tab.8 Results of attitude capture

3.3仿真結(jié)果分析

由仿真驗(yàn)證了本文使用區(qū)間算法估計(jì)衛(wèi)星初入軌姿態(tài)控制消耗推力器上下界的可行性，現(xiàn)對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行具體分析.

另一方面，+z方向消耗推力器數(shù)量遠(yuǎn)大于另外兩個(gè)方向.原因分析如下：1)本文研究的微小衛(wèi)星自旋入軌，因此初始z軸角速度遠(yuǎn)大于x、y軸；2)表 4中推力器z向最大力臂d遠(yuǎn)小于x、y向最小力臂l，因此z向力矩遠(yuǎn)小于另兩軸力矩.因此，為完成衛(wèi)星消旋控制任務(wù)，在布置星上微推力器陣列時(shí)，z軸控制推力器布置應(yīng)多于其余兩軸.

觀察圖8～10的姿態(tài)曲線(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，推力器理想消耗的角速度曲線(xiàn)被消耗上下界的角速度曲線(xiàn)緊緊貼合，這是表10中推力器消耗上下界差值很小的原因.這表明推力器沖量矩的不確定性對(duì)姿態(tài)捕獲消耗影響不大，對(duì)姿態(tài)捕獲消耗推力器規(guī)模進(jìn)行粗估時(shí)可直接使用理想消耗值.

表9 消旋控制各控制向量消耗推力器數(shù)量Tab.9 Thruster consumption of each control vector with damping control

表10 姿態(tài)捕獲控制各控制向量消耗推力器數(shù)量Tab.10 Thruster consumption of each control vector with capture control

對(duì)比表 9與表 10中推力器消耗可知，消旋控制消耗推力器遠(yuǎn)多于姿態(tài)捕獲控制消耗.因此，對(duì)微小衛(wèi)星初入軌姿態(tài)控制消耗微推力器陣列規(guī)模進(jìn)行分析時(shí)應(yīng)重點(diǎn)考慮消旋控制消耗.

注意到，圖14所示的微推力器最少消耗雖然能完成衛(wèi)星初入軌姿態(tài)控制，但其要求清楚每一推力器單元的輸出特性.因此，在實(shí)際布置星上微推力器陣列規(guī)模時(shí)可以在微推力器最少消耗的基礎(chǔ)上留出一定余量.另一方面，若要保證微推力陣列一定能完成初入軌姿態(tài)控制，則星上微推力陣列規(guī)模應(yīng)按最多消耗取.

4 結(jié) 論

面向微小衛(wèi)星初入軌時(shí)的消旋和姿態(tài)捕獲控制需求，本文使用正方形布局的固體微推力器陣列作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，完成了微推力器陣列單元調(diào)用規(guī)則和姿態(tài)控制律設(shè)計(jì).考慮微推力器陣列各單元的沖量輸出不確定性，引入?yún)^(qū)間數(shù)對(duì)初入軌控制過(guò)程中微推力器單元的消耗規(guī)模進(jìn)行計(jì)算.針對(duì)衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)計(jì)算過(guò)程中的區(qū)間擴(kuò)張問(wèn)題，本文基于區(qū)間數(shù)的不相關(guān)性對(duì)其進(jìn)行了抑制，并通過(guò)仿真驗(yàn)證了算法的合理性.

仿真分析表明，本文提出的固體微推力器陣列規(guī)模估計(jì)方法可以給出預(yù)定入軌條件下的陣列規(guī)模需求上下界，且其結(jié)果不依賴(lài)于微推力器單元力矩輸出的概率特性.按估計(jì)上界布置星上微推力器陣列一定可以完成初入軌控制要求，但實(shí)際布置星上微推力器陣列規(guī)模時(shí)更適合按估計(jì)下界加一定余量布置.對(duì)余量多少的選擇，本文未進(jìn)行討論，在后續(xù)工作中可通過(guò)細(xì)分微推力器單元輸出的不確定性進(jìn)行研究.另一方面，估計(jì)方法可以確定微推力器單元輸出不確定性對(duì)各控制環(huán)節(jié)的影響大小，利于微推力器陣列制造的成本控制.

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EstimationofMicro-ThrusterArrayConsumptionforMicro-SatelliteBasedonIntervalAlgorithm

MIN Jiaqi, ZHU Hongyu

(SchoolofAstronautics,BeihangUniversity,Beijing100191,China)

A method for solid propellant micro-thruster array consumption estimation is proposed in this paper for attitude control of micro-satellite in orbit entry stage. The micro-thruster unit call rule and attitude control laws of velocity damping and attitude capture are designed. Considering the uncertainty of each micro-thruster unit impulse output, we use the interval number to represent the micro-thruster unit torque output and then estimate the consumption of the micro-thruster unit for attitude control with interval algorithm. By means of the irrelevance of interval number, the interval computation process is improved, and the interval expansion induced by the interval integral is reduced. Numerical simulations demonstrate that the estimation method is not dependent on the probability characteristic of the micro-thruster unit torque output.

attitude control; actuator design; solid propellant micro-thruster array; interval algorithm

2017-04-09

V448.22

A

1674-1579(2017)05-0022-09

10.3969/j.issn.1674-1579.2017.05.004

閔家麒(1993—)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)樾l(wèi)星姿態(tài)控制；朱宏玉(1976—)，男，講師，研究方向?yàn)楹教炱鲃?dòng)力學(xué)與控制.