李 強(qiáng), 張啟敏,2, 李西寧

(1. 北方民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 寧夏 銀川 750021; 2. 寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院, 寧夏 銀川 750021)

分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動隨機(jī)固定資產(chǎn)模型數(shù)值解的均方散逸性

李 強(qiáng)1, 張啟敏1,2, 李西寧2*

(1. 北方民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 寧夏 銀川 750021; 2. 寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院, 寧夏 銀川 750021)

討論一類帶分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動隨機(jī)固定資產(chǎn)模型數(shù)值解的均方散逸性.在一定條件下,根據(jù)It公式和Bellman-Gronwall型引理,得出了模型具有均方散逸性.分別利用分步倒向Euler方法和補(bǔ)償?shù)瓜駿uler方法討論數(shù)值解的均方散逸性,并給出數(shù)值解散逸存在的充分條件,通過數(shù)值算例對所給出的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證.

分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動; Bellman-Gronwall型引理; 補(bǔ)償?shù)瓜駿uler方法; 均方散逸

近年來,固定資產(chǎn)模型的研究在金融經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生了重要的影響[1-6].例如,文獻(xiàn)[1]研究了一般資產(chǎn)累積模型的控制問題,文獻(xiàn)[3]研究了技術(shù)進(jìn)步,勞動力增長等因素對資產(chǎn)積累控制問題的影響,文獻(xiàn)[5]考慮到資產(chǎn)成本因素,研究了資產(chǎn)累積的最后控制問題.然而在現(xiàn)實(shí)生活中,固定資產(chǎn)模型總受到一些隨機(jī)因素的干擾,比如Brown運(yùn)動、Poisson跳、分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動等.本文將討論如下帶分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動隨機(jī)固定資產(chǎn)模型:

對于模型(1),當(dāng)H=1/2時(shí),已經(jīng)存在大量的研究成果[7-15].例如,文獻(xiàn)[7]討論了模糊隨機(jī)固定資產(chǎn)模型解的存在、唯一和指數(shù)穩(wěn)定性,文獻(xiàn)[8]研究了隨機(jī)固定資產(chǎn)模型Split-StepBackwardEuler數(shù)值解的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性,文獻(xiàn)[9]給出了一類具有隨機(jī)擾動的固定資產(chǎn)模型強(qiáng)解的存在性和唯一性,文獻(xiàn)[10-11]中分別分析了帶跳的隨機(jī)固定資產(chǎn)模型數(shù)值解的收斂性和指數(shù)穩(wěn)定性,文獻(xiàn)[15]研究了一類帶跳隨機(jī)固定資產(chǎn)模型分步θ法的強(qiáng)收斂性.

然而,關(guān)于分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動隨機(jī)固定資產(chǎn)模型數(shù)值解均方散逸性的研究成果還未見到.本文主要目的是對分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動隨機(jī)固定資產(chǎn)模型數(shù)值解的均方散逸性問題開展討論,并分別利用帶補(bǔ)償?shù)牡瓜駿uler方法和分步倒向Euler方法得到了數(shù)值解均方散逸性存在的充分條件,最后通過數(shù)值算例對所得的結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 預(yù)備知識

{Bt}t≥0是定義在完備的概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上且取值在可分的Hilbert空間S上的分?jǐn)?shù)Brown過程,具有增量協(xié)方差算子W.G∈L(S,H)是所有從S到H的有界線性算子空間,‖G‖2表示Hilbert-Schmidt范數(shù),即

定義1(分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動)[16]設(shè)0

注1 通過定義1能得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動BH有如下性質(zhì):

(i) 對任意的t≥0,則BH(0)=0和E[BH(t)]=0成立；

(ii)BH是齊次增量,即對于s,t≥0,則BH(t+s)-BH(s)與BH(t)具有相同的性質(zhì)；

(iii)BH是一個(gè)Gaussian過程,并且H∈(0,1)時(shí),有E[BH(t)]2=t2H,t≥0；

(iv)BH有連續(xù)軌跡.

定義2如果存在一個(gè)有界閉集B?R,使得對任意給定有界集D?Rn,存在一個(gè)t*=t*(D),對任意給定包含于D里的初始值,當(dāng)t≥t*都有E‖K(t)‖2∈B,那么系統(tǒng)(1)是均方散逸的,B被稱為它的均方吸引集.

為了證明本文的主要結(jié)論，給出如下假設(shè)條件:

(H1)μ(t,x)非負(fù)可測,γ(t)和A(t)非負(fù)連續(xù),并且

(H2) 對任意的x∈V則存在常數(shù)λ1∈R,λ2,λ3∈R+和α∈R+滿足

其中F1是大于0的常數(shù).

2 系統(tǒng)(1)的均方散逸性

下面給出系統(tǒng)(1)均方散逸性的一些充分條件.

(i) 對任意的ε>0,存在t*,使得下列式子成立

證明對‖K(t)‖2用It公式，得

(2)

兩邊取期望

(3)

在(3)式中

(4)

(5)

根據(jù)假設(shè)條件(H1)～(H3),結(jié)合(4)、(5)式,可得

(6)

應(yīng)用Bellman-Gronwall型引理[16-17]估計(jì)(6)式得

(7)

(8)

注2 定理1表明,模型(1)的解在均方意義下是有界的.

3 系統(tǒng)(1)分步倒向Euler方法的均方散逸性

對系統(tǒng)(1)運(yùn)用分步倒向Euler方法

(9)

(10)

其中,h>0是步長,Kn是方程(1)的數(shù)值解,tn=nh,△Bn=B(tn+1)-B(tn)表示Brown運(yùn)動的增量.

證明由(9)式得

上式兩邊平方

由假設(shè)條件(H1)～(H3),即有

(11)

因?yàn)閘<0,λ2>0,所以

(12)

利用(10)式得

(13)

(14)

利用遞歸法可推出

其中,

可以驗(yàn)證,當(dāng)h>0時(shí),有0

(15)

證畢.

注3 定理2表明,在步長在一定的情況下,分步倒向Euler方法可以保證方程(1)的數(shù)值解具有均方散逸性.

4 系統(tǒng)(1)補(bǔ)償?shù)瓜駿uler方法的均方散逸性

下面用補(bǔ)償?shù)瓜駿uler方法證明模型(1)具有均方散逸性.

對系統(tǒng)(1)用補(bǔ)償?shù)瓜駿uler方法,

(16)

其中△Bn=B(tn+1)-B(tn).下面給出補(bǔ)償?shù)瓜駿luer方法均方散逸性的充分條件.

其中Kn是由(16)式求得的數(shù)值解,1/2≤H<1,0

證明由(16)式可得

兩邊平方有

(17)

(18)

因?yàn)閗<0,λ1>0,λ2>0,所以

E‖Kn+1‖2≤C2+D2E‖Kn‖2,

(19)

其中,

利用遞歸法可得

(20)

可以驗(yàn)證,當(dāng)1/2≤H<1,0

(21)

證畢.

5 數(shù)值算例

通過以下例子對給出的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證.

F(L(t),N(t))=(-|250-t|0.1+2)N(t),

勞動力

L(t)=-|250-t|0.1+2,

初值

f(t,K(a,t))=-10K(a,t)+12,

g(t,K(a,t))=0.5K(a,t).

可以很容易得到如下不等式：

和

則有λ1=-6,λ2=0.25,α=9.

在本算例中,可以很容易驗(yàn)證模型f(t,K(a,t))和g(t,K(a,t))滿足假設(shè)條件(H2),顯然方程(22)不能求出其數(shù)值解,因此應(yīng)用偏微分?jǐn)?shù)值差分方法對此方程離散.圖1為時(shí)間步長h=Δt=0.05,空間步長τ=Δa=0.05,并且當(dāng)H=1/3時(shí)隨機(jī)固定資產(chǎn)模型(22)對應(yīng)數(shù)值解K(a,t)=Yk(a)的數(shù)值模擬,圖2是當(dāng)H=1/3,h=Δt=0.05時(shí),a取0.5和0.7時(shí)資本密度隨時(shí)間的變化曲線圖,可以更直觀的描述隨機(jī)固定資產(chǎn)模型數(shù)值解的均方散逸性.

圖 1 當(dāng)H=1/3,Δt=0.05和Δa=0.05時(shí),模型(22)的數(shù)值模擬

圖 2 當(dāng)H=1/3,Δt=0.05,a分別為0.5和0.7時(shí),模型(22)數(shù)值解的均方散逸性

[1] HRITONENKO N, YATSENKO Y. Turnpike properties of optimal delay in integral dynamic models[J]. J Optimiz Theory Appl,2005,127(1):109-127.

[2] HRITONENKO N, YATSENKO Y. Modeling and Optimization of the Lifetime of Technologies[M]. Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1996.

[3] FEICHTINGER G, HARTL R, KORT P, et al. Capital accumulation under technological progress and learning:a vintage capital approach[J]. European J Oper Research,2006,172(1)：293-310.

[4] MALCOMSON J. Replacement and the rental value of capital equipment subject to obsolescence[J]. J Economic Theory,1975,10(1):24-41.

[5] GOETZ R, HRITONENKO N. The optimal economic lifetime of vintage capital in the presence of operating costs, technological progress and learning[J]. J Economic Dynamics Control,2008,32(9)：3032-3053.

[6] HRITONENKO N, YATSENKO Y. Optimal control of Solow vintage capital model with nonlinear utility[J]. Optimization,2008,57(4):581-592.

[7] SHEN F, ZHANG Q, YANG H, et al. Existence, uniqueness and exponential stability for stochastic fuzzy age-dependent capital system[J]. International J Applied Mathematics and Statistics,2013,51(21):356-373.

[8] 呂淑婷,張啟敏. 隨機(jī)固定資產(chǎn)模型Split-Step Backward Euler數(shù)值解的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2015,45(2):294-301.

[9] 鄭來運(yùn),張啟敏. 一類具有隨機(jī)擾動的固定資產(chǎn)投資系統(tǒng)強(qiáng)解的存在性和唯一性[J]. 華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,43(4):31-35.

[10] ZHANG Q, RATHINASAMY A. Convergence of numerical solutions for a class of stochastic age-dependent capital system with random jump magnitudes[J]. Appl Math Comput,2013,219(14):7297-7305.

[11] ZHANG Q, PANG W, LEUNG P. Exponential stability of numerical solutions for a class of stochastic age-dependent capital system with Poisson jumps[J]. J Computat Appl Math,2011,235(12):3369-3377.

[12] ZHANG Q. Convergence of numerical solutions for a class of stochastic age-dependent capital system with Markovian switching[J]. Economic Modelling,2011,28(3):1195-1201.

[13] ZHANG Q, LIU Y, LI X. Strong convergence of split-step backward Euler method for stochastic age-dependent capital system with Markovian switching[J]. Appl Math Comput,2014,235(4):439-453.

[14] 張啟敏. 固定資產(chǎn)模型有限元降維格式的數(shù)值解[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2013,43(19):156-165.

[15] TAN J, RATHINASAMY A, WANG H, et al. Strong convergence of the split-step θ-method for stochastic age-dependent capital system with random jump magnitudes[J]. Abstract Appl Anal,2014,2014(1):1-14.

[16] 張啟敏,李西寧,岳紅閣. 隨機(jī)年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)[M]. 北京:科學(xué)出版社,2013.

[17] MAO X. Exponential Stability of Stochastic Differential Equations[M]. New York:Marcel Dekker,1994.

Mean-square Dissipativity of Numerical Methods for Stochastic Age-dependent Capital System with Fractional Brown Motion

LI Qiang1, ZHANG Qimin1,2, LI Xining2

(1.SchoolofMathematicsandComputerScience,BeifangUniversityforNationalities,Yinchuan750021,Ningxia;2.SchoolofMathematicsandComputer,NingxiaUniversity,Yinchuan750021,Ningxia)

In this paper, we introduce a class of stochastic age-dependent capital system with fractional Brown motion. By using Itformula and Bellman-Gronwall-type estimates, a sufficient condition is established to guarantee the mean-square dissipativity of this model. Then, it is shown that the mean-square dissipativity is preserved by the split-step backward Euler method and compensated backward Euler method under a step-size constraint. Finally, the theoretical result is illustrated by a numerical experiment.

fractional brownian motion; Bellman-Gronwall-type estimates; compensated backward Euler method; mean-square dissipativity

2016-07-01

國家自然科學(xué)基金(11461053)

*通信作者簡介:李西寧(1964—),男,教授,主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)方面的研究,E-mail:xnli89@163.com

O241.82

A

1001-8395(2017)05-0632-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.012

2010MSC:35Q53; 35Q07

(編輯 陶志寧)