何尚琴， 馮秀芳

(1. 寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院, 寧夏 銀川 750021;2. 河北科技師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院, 河北 秦皇島 066004)

Besov空間中一類反周期函數(shù)的三角插值逼近問(wèn)題

何尚琴1,2， 馮秀芳2

(1. 寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院, 寧夏 銀川 750021;2. 河北科技師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院, 河北 秦皇島 066004)

引進(jìn)一種插值算子，研究在Besov空間中以2π為周期的反周期函數(shù)的三角插值的逼近階和飽和問(wèn)題，確定了逼近的飽和類.

反周期三角插值算子； Besov空間； 飽和類

函數(shù)逼近論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其研究目標(biāo)是用簡(jiǎn)單的可計(jì)算函數(shù)對(duì)一般函數(shù)進(jìn)行逼近，進(jìn)而考慮其逼近的程度和如何刻畫被逼近函數(shù)本身的特性.插值多項(xiàng)式可看作實(shí)現(xiàn)逼近的一個(gè)重要工具，其中三角多項(xiàng)式插值是函數(shù)逼近論的重要研究方法.以2π為周期函數(shù)的三角插值已有深入的研究及推廣[1-2],A.Sharma等[3]研究了2π周期函數(shù)的(0,m)三角插值，A.S.Cavaretta等[4]研究了2π周期函數(shù)的(0,m1,m2,…,mp)三角插值.但其插值空間Tn,ε(x)對(duì)平移運(yùn)算和求導(dǎo)運(yùn)算不封閉，從而2π周期函數(shù)的三角插值問(wèn)題在實(shí)際應(yīng)用中受到一定的限制.反周期函數(shù)的(0,m)三角插值問(wèn)題的研究自文獻(xiàn)[5]的研究之后受到廣泛關(guān)注[6-7].以2π為周期的反周期函數(shù)三角插值問(wèn)題對(duì)上述2種運(yùn)算封閉，因而研究以2π為周期的反周期函數(shù)的三角插值有重要意義.Besov空間中插值算子的研究在近些年來(lái)發(fā)展很快.文獻(xiàn)[8]研究了在Besov空間中，Jackson整插值算子的逼近和飽和問(wèn)題，確定了逼近的飽和類與飽和階.文獻(xiàn)[7]得出了三角插值算子在Besov空間中逼近的飽和類與飽和階.本文研究Besov空間中以2π為周期的反周期函數(shù)三角插值多項(xiàng)式逼近的飽和問(wèn)題，確定了逼近的飽和類.

則g(x)叫作f(x)的m次Lp范數(shù)，記作g=Drf.

(1)

當(dāng)插值核Kn(x)取Fejer核時(shí)，Jn(f,x)就是著名的Jackson插值算子[9-13],它滿足插值條件：

取文獻(xiàn)[6]中定理1中的ρ0=0,

則當(dāng)

時(shí)，易知當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)(1)式定義的三角插值多項(xiàng)式Jn(f,x)滿足插值條件：

1 引理

引理1[6]若T(x)為2n-1階反周期三角多項(xiàng)式，則一定存在常數(shù)aj、bj,使得

其中

.

由引理1及引理2易得以下引理：

引理3設(shè)

得

‖Rn(x)‖1=O(1).

引理4[15]對(duì)任意n階三角多項(xiàng)式Tn(x)有

引理6設(shè)Tn(x)為2n-1階反周期三角多項(xiàng)式，f(x)是以2π為周期的反周期函數(shù),若

有

證明當(dāng)n=2k+1時(shí)有

由引理3有

于是

所以，對(duì)任意的n∈N存在k∈N,當(dāng)2k-1≤n≤2k+1時(shí)得

2 主要結(jié)果

證明充分性 記n′=2n-1,k=2j-1,由引理2可得

其中,xk滿足

因

故

從而

必要性 由假設(shè)知

運(yùn)用引理5得

于是

由三角多項(xiàng)式的性質(zhì)知Tn(Tn(f))=Tn(f),則有

存在常數(shù)C>0,使得

又

其中

由引理4得

從而

因

由引理5知

因此當(dāng)k→∞時(shí)得

致謝寧夏大學(xué)自然科學(xué)研究基金(ZR16035)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.

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Problem on a Kind of Anti-periodic Trigonometric Interpolation Approximation in Besov Space

HE Shangqin1,2, FENG Xiufang2

(1.SchoolofMathematicsandComputerScience,NingxiaUniversity,Yinchuan750021,Ningxia;2.CollegeofMathematicsandInformationScienceandTechnology,HebeiNormalUniversityofScienceandTechnology,Qinhuangdao066004,Hebei)

Using a kind of interpolation operator, we study the 2 periodic trigonometric interpolation approximation and saturation problem of antiperiodic functions in Besov space, and determine the approaching saturation class.

antiperiodic trigonometric interpolation operator; Besov space; saturation class

2016-04-12

國(guó)家自然科學(xué)基金(11161036)

何尚琴(1977—)，女，博士生，主要從事函數(shù)逼近論、偏微分方程數(shù)值解法的研究，E-mail:hsq101@163.com

O174.41

A

1001-8395(2017)05-0628-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.011

2010MSC:03F50

(編輯 李德華)