丁志瑛, 周 吉

(1. 成都東軟學(xué)院, 四川 成都 611844; 2. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

雙參數(shù)擾動(dòng)下有理函數(shù)的線性化

丁志瑛1, 周 吉2*

(1. 成都東軟學(xué)院, 四川 成都 611844; 2. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

利用多復(fù)變函數(shù)理論和Geyer的思想,通過對(duì)有理函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)碾p參數(shù)擾動(dòng),給出Douady猜想成立的一個(gè)充分條件.

線性化; Weierstrass預(yù)備定理; 有理函數(shù)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

φ·R·φ-1(z)=λ(z-p),

稱R在p點(diǎn)可線性化.人們發(fā)現(xiàn):無理中性不動(dòng)點(diǎn)p是屬于函數(shù)R的Fatou集等價(jià)于該函數(shù)在p點(diǎn)是可線性化,并且當(dāng)p屬于Fatou集時(shí),包含p點(diǎn)的Fatou分支是單連通的,該Fatou分支稱為Siegel盤,p為Siegel盤的中心[1].因此，判定無理中性不動(dòng)點(diǎn)是屬于Fatou集還是屬于Julia集是一個(gè)“中心”問題，已得到許多數(shù)學(xué)家的關(guān)注.

目前已知:上述問題與α的數(shù)論性質(zhì)有密切的聯(lián)系.如果α滿足0<α<1是無理數(shù),pn/qn是第n個(gè)漸進(jìn)分?jǐn)?shù),即α的連分?jǐn)?shù)表示的一個(gè)截?cái)?且

則稱α為Brjuno數(shù),用B表示所有這些Brjuno數(shù)組成的集合.A.D.Brjuno[2]得到:當(dāng)α是Brjuno數(shù)時(shí),R在不動(dòng)點(diǎn)p處是可線性化的.這個(gè)結(jié)論改進(jìn)了C.L.Siegel的結(jié)果[3].后來,J.C.Yoccoz[4]得到Brjuno的這個(gè)條件對(duì)二次多項(xiàng)式

Pλ(z)=λz+z2,λ=e2πiαz

來說還是必要的.但對(duì)一般的有理函數(shù)而言,這個(gè)條件是否也是必要的還不得而知.1978年,A. Douady給出了猜想[5]：設(shè)R是度大于1的有理函數(shù),如果α不滿足Brjuno條件,則R在不動(dòng)點(diǎn)p處不可線性化.

J.C.Yoccoz的結(jié)果[4]說明:對(duì)于二次多項(xiàng)式A.Douady猜想是真的.迄今為止,對(duì)于三次多項(xiàng)式該猜想是否成立仍然不知.L.Geyer[6]考慮了一些特殊的多項(xiàng)式類:

Pc,d=zd+c,d≥2,c∈C,

和

對(duì)于這些多項(xiàng)式Douady猜想是真的.

L.Geyer[6]借助于擾動(dòng)多項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù),將一般多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成二次多項(xiàng)式,再利用J.C.Yoccoz[4]的結(jié)論來考慮Douady猜想.

引理1.1設(shè)δ>0,對(duì)所有的|a|<δ,函數(shù)

fa(z)=f(z)+az2g(z)

在0點(diǎn)都可線性化,其中f、g在原點(diǎn)是解析的,

f(0)=0,f′(0)=λ=e2πiα,

α∈RQ,g(0)≠0,

則二次多項(xiàng)式Pλ(z)=λz+z2也可線性化,所以α∈B.

L.Geyer[6]用的是單參數(shù)擾動(dòng),但是要研究有理函數(shù)的線性化問題,僅用單參數(shù)是不夠的,因?yàn)閷?duì)于單復(fù)變函數(shù),唯一性定理說明了函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的.為了研究有理函數(shù),需要借助多復(fù)變函數(shù)理論.

接下來,本文將對(duì)有理函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)碾p參數(shù)擾動(dòng),從而證明Douady猜想是真的.

2 主要結(jié)果

利用多復(fù)變函數(shù)理論研究有理函數(shù),得到如下結(jié)果.

定理2.1設(shè)δ>0,R(z)為有理函數(shù),且

R(0)=0,R′(0)=λ,λ=e2πiα,

函數(shù)族Qa,b(z)定義為

Qa,b(z)=R(z)+A2(a,b)z2+A3(a,b)z3,

其中A2(a,b)、A3(a,b)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)解析,

A2(0,0)=A3(0,0)=0,

A2(a,b)A3(a,b)≠0,a,b≠0.

如果當(dāng)|a|,|b|<δ時(shí),Qa,b(z)在0點(diǎn)都可線性化,則二次多項(xiàng)式Pλ(z)=λz+z2也可線性化.

證明首先,分3種情形證明如下結(jié)論:在定理的假設(shè)條件下,存在r>0,使得對(duì)每個(gè)γ∈C,|γ|

情形1假如對(duì)任意a,|a|<δ,有A3(a,0)=0,則A2(a,0)是一個(gè)非常值解析映射,這表明了A2(a,0)是開映射,即集合{A2(a,0)∈C||a|<δ}是一個(gè)包含0的開集.由此,該集合包含了以0為中心,r為半徑的圓盤.因此,所證結(jié)論成立.

情形2假如對(duì)任意a,|a|<δ,有A3(a,0)不恒等于0且0是A3(a,0)的一階零點(diǎn),則由Taylor定理知,在以0為中心,r為半徑的開圓盤Dr(0)上,存在一解析函數(shù)a(b),使得當(dāng)b∈Dr(0)時(shí),A3(a(b),b)=0,則A2(a(b),b)在Dr(0)上是解析的,因此,A2(a(b),b)將Dr(0)映成一個(gè)包含0的開集.從而所證結(jié)論成立.

情形3假如對(duì)任意a,|a|<δ,有A3(a,0)不恒等于0且0是A3(a,0)的d>1階零點(diǎn).

引理2.2(Weierstrass預(yù)備定理)設(shè)函數(shù)f(a,b)在(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)全純,函數(shù)f(a,0)以0為k>0階零點(diǎn)且不恒為零,則在(0,0)的某個(gè)鄰域U內(nèi)f可表示為

f(a,b)=P(a,b)h(a,b),

其中,h在U上全純,

h(0,0)≠0,

P(a,b)=ak+gk-1(b)ak-1+…+g0(b),

gi(b)在0附近解析,

gi(0)=0,i=0,1,…,k-1.

形如上述引理中的多項(xiàng)式P(a,b)稱為關(guān)于a的k次Weierstrass多項(xiàng)式.

對(duì)情形3,由Weierstrass預(yù)備定理知:存在在(0,0)附近解析的函數(shù)H(a,b)和Weierstrass多項(xiàng)式

G(a,b)=ad+k1(b)ad-1+…+kd(b),

使得

A3(a,b)=G(a,b)H(a,b),

從以上討論發(fā)現(xiàn),對(duì)γ∈C,|γ|

Qa,b(z)=R(z)+A3(a,b)z3+A2(a,b)z2=R(z)+γz2.

因此,每個(gè)多項(xiàng)式

Qγ(z):=R(z)+γz2, |γ|

都可以線性化.由引理1.1知二次多項(xiàng)式Pλ(z)=λz+z2可以線性化.

因此,如果一個(gè)有理函數(shù)對(duì)二次和三次項(xiàng)的系數(shù)作適當(dāng)?shù)臄_動(dòng),仍然是可線性化的,則可以得到相應(yīng)的二次多項(xiàng)式Pλ(z)是可線性化,因而Douady猜想是真的.這樣,驗(yàn)證該猜想可轉(zhuǎn)化為驗(yàn)證有理函數(shù)是否滿足該定理的條件.

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Linearization of Rational Functions with Two-parameter Perturbation

DING Zhiying1, ZHOU Ji2

(1.ChengduNeusoftCollege,Chengdu611844,Sichuan; 2.CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

In this paper, a sufficient condition for Douady conjecture is proposed via a perturbation of two-parameters on rational functions, which is based on complex analysis of several variables and idea of Geyer.

linearizability; Weierstrass preparation theorem; rational functions

2016-02-04

國家自然科學(xué)基金(11371266)、教育部博士點(diǎn)專項(xiàng)基金(20095134110001)和四川省應(yīng)用基礎(chǔ)研究項(xiàng)目(07JY029-013)

*通信作者簡(jiǎn)介:周 吉(1963—),男,教授,主要從事復(fù)分析的研究,E-mail:zhouji@sicnu.edu.cn

Q949O174.5

A

1001-8395(2017)05-0585-03

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.003

2010MSC:37F50

(編輯 周 俊)