孫田川，劉潔瑜

(火箭軍工程大學(xué) 控制工程系，西安710025)

一種新的MEMS陀螺儀信號(hào)去噪方法

孫田川，劉潔瑜

(火箭軍工程大學(xué) 控制工程系，西安710025)

為提高M(jìn)EMS陀螺儀輸出信號(hào)的去噪效果，將稀疏分解(sparse decomposition)與提升小波變換(lifting wavelet transform)相結(jié)合，提出了一種新的信號(hào)去噪方法.首先，建立MEMS陀螺帶噪信號(hào)的誤差模型，并利用小波提升正變換計(jì)算帶噪信號(hào)的非稀疏的小波系數(shù)；然后，利用稀疏分解理論恢復(fù)小波系數(shù)的稀疏性；最后，再通過(guò)小波提升反變換重構(gòu)信號(hào)，從而達(dá)到去噪的目的.考慮到梯度投影(gradient projection)算法具有全局最優(yōu)解，運(yùn)算效率更高，將梯度投影思想引入恢復(fù)信號(hào)稀疏性的過(guò)程中，提出了基于梯度投影的稀疏分解算法，給出了利用梯度投影算法進(jìn)行信號(hào)系數(shù)分解的具體步驟，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算復(fù)雜度，同時(shí)提升了算法的穩(wěn)定性.為驗(yàn)證所提方法的性能，進(jìn)行了MEMS陀螺信號(hào)去噪的靜態(tài)實(shí)驗(yàn)和跑車(chē)實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，此種方法在動(dòng)靜態(tài)條件下都可以有效地去除MEMS陀螺儀輸出信號(hào)中的噪聲，尤其是在靜態(tài)條件下的去噪效果要優(yōu)于小波閾值濾波方法. 同時(shí)采用的梯度投影算法相比于正交匹配追蹤算法和基追蹤算法具有更高的運(yùn)算效率.

MEMS陀螺儀；信號(hào)去噪；稀疏分解；提升小波變換；梯度投影；凸優(yōu)化

MEMS陀螺儀具有成本低、體積小、功耗低、抗沖擊能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)得到了快速的發(fā)展[1]，然而由于存在較大的漂移，限制了它在很多領(lǐng)域的應(yīng)用[2-3].所以，使用合適的去噪方法對(duì)MEMS陀螺儀的輸出信號(hào)進(jìn)行去噪處理，可以有效降低漂移的影響，從而提高精度[4].

MEMS陀螺儀通常采用的去噪方法包括卡爾曼濾波、時(shí)間序列分析、小波去噪等[5].小波在時(shí)頻和細(xì)節(jié)描述的優(yōu)越性拓展了它在MEMS陀螺去噪領(lǐng)域的應(yīng)用[6].小波去噪方法可以分為：小波閾值法、模極大值法和平移不變量法等，而閾值法應(yīng)用則比較多.這種方法的主要依據(jù)是：在小波域中，有用信號(hào)可以用較大的小波系數(shù)表示，噪聲信號(hào)則相反，用較小的小波系數(shù)表示，那么通過(guò)設(shè)置一個(gè)合理的閾值，就可以將較小的小波系數(shù)濾除，保留較大的小波系數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)噪聲信號(hào)的抑制[7].這種方法的難點(diǎn)就在閾值的選取上，由于閾值選擇的固定性限制了小波方法的自適應(yīng)性，所以小波去噪對(duì)多變信號(hào)的處理效果就較差[8].

為了克服小波閾值濾波的缺陷，稀疏分解去噪方法被提出并受到廣泛關(guān)注.稀疏分解去噪主要原理是干凈信號(hào)通過(guò)提升小波正變換后，得到的各個(gè)尺度下的小波系數(shù)都較小，也就是說(shuō)小波系數(shù)是稀疏的；而當(dāng)信號(hào)中含有噪聲時(shí)，得到的小波系數(shù)中含有的較大幅值的小波系數(shù)就會(huì)變多，換言之，小波稀疏的稀疏性隨之降低[9].所以，利用稀疏分解理論對(duì)非稀疏小波系數(shù)進(jìn)行稀疏性恢復(fù)，可以達(dá)到去噪的目的.

恢復(fù)小波系數(shù)稀疏性過(guò)程中所采用的算法對(duì)于恢復(fù)后的系數(shù)的稀疏度有很大的影響，文獻(xiàn)[10-14]采用貪婪算法中的正交匹配追蹤算法(orthogonal matching pursuit, OMP)，取得較好的效果.文獻(xiàn)[15]采用凸松弛方法中的基追蹤算法(basis pursuit, BP)，也驗(yàn)證了稀疏分解去噪方法的優(yōu)勢(shì).本文采用的梯度投影算法(gradient projection, GP)是凸松弛算法中的一種，相對(duì)于貪婪算法，此種算法具有全局最優(yōu)解，而相對(duì)于基追蹤算法運(yùn)算效率更高.

1 MEMS陀螺儀數(shù)學(xué)模型

低精度的MEMS陀螺儀輸出模型可描述如下:

W(t)=ω(t)+ω0.

式中：W(t)為輸出信號(hào),ω0為漂移，°/s.

MEMS陀螺儀的漂移通常包括：常值漂移、周期漂移和白噪聲.由于MEMS陀螺儀性能較傳統(tǒng)陀螺儀性能普遍不高，通常在連續(xù)工作時(shí)間較短的場(chǎng)合得到廣泛應(yīng)用，那么對(duì)其短時(shí)漂移特性的研究就顯得更為重要，根據(jù)其短時(shí)漂移強(qiáng)周期性和規(guī)律性的特點(diǎn)，可以將其漂移的模型描述如下:

ω0=εb+Ωdsin(2πfd+θ0)+n(t).

式中：εb為陀螺儀的零偏，短時(shí)間內(nèi)可以近似為一個(gè)常數(shù)；Ωd為周期分量的幅值；fd為周期分量的頻率；θ0則為初始相位；n(t)為零均值高斯白噪聲.

2 稀疏分解去噪與提升小波變換基本理論

2.1 稀疏分解去噪的數(shù)學(xué)模型

本文先對(duì)一維信號(hào)進(jìn)行研究，將信號(hào)和噪聲的關(guān)系表示如下:

y=s+n.

式中：s為有用信號(hào)；n為高斯白噪聲；y為帶噪信號(hào).y、s、n分別為一維實(shí)向量，且長(zhǎng)度是M，假設(shè)n～N(0,σ2).

本文可以用下式來(lái)表示對(duì)y的稀疏分解

y=s+n=Ax+n，

(1)

假設(shè)n=Az，則式(1)可以表示為

y=s+n=A(x+z).

值得注意的是，有用信號(hào)s在A上的分解系數(shù)x是稀疏的，或者說(shuō)系數(shù)中的非零系數(shù)只有K個(gè)，而噪聲信號(hào)n在A上的分解系數(shù)z是非稀疏的，而且非零的稀疏分布在整個(gè)域.本文要做的就是首先得到y(tǒng)在A上的分解系數(shù)，然后將其中幅值較大的K個(gè)系數(shù)選取出來(lái)，最后利用這K個(gè)系數(shù)所對(duì)應(yīng)的原子的線性組合來(lái)近似本文需要的有用信號(hào)s.

(2)

式中，spa(·)為問(wèn)題的稀疏解.

從式(2)可以看出想要(P0,δ)滿足條件很困難,所以本文要解決這個(gè)問(wèn)題，就需要尋求其他的表達(dá)方式，也就是基于l0范數(shù)的(P0,δ)問(wèn)題的變體.

2.2 提升小波變換

提升小波變換是基于提升方案的小波變換.由于提升小波只在時(shí)域上進(jìn)行分析，而且它的反變換具有簡(jiǎn)單直接和高效等優(yōu)點(diǎn)，所以本文采用這種變換方式.正向變換的過(guò)程包括分解、預(yù)測(cè)和更新.反向變換則相反，正向變換和反向變換的步驟如圖1所示.

圖1 提升小波變換分解與重建

本文采取的是5/3提升小波變換，其中正反變換的公式如下:

3 基于梯度投影的稀疏分解算法(gradient projection for sparse reconstruction， GPSR)

對(duì)于稀疏分解去噪與提升小波變換基本理論所述的(P0,δ)問(wèn)題，考慮凸優(yōu)化方法，用l1范數(shù)代替l0范數(shù)，即有

(3)

求解(P1,δ)問(wèn)題，可以將其與基追蹤去噪(basis pursuit denoising, BPDN)算法關(guān)聯(lián)起來(lái)，并修改式(3)如下

首先，(P1,δ)問(wèn)題可得變式如下:

(4)

式中，A為一個(gè)k×n矩陣，而τ為非負(fù)參數(shù)，y=Ax+n.

為求解此問(wèn)題，通過(guò)引入向量u,v對(duì)x做如下替換：

x=u-v,u≥0,v≥0.

那么，問(wèn)題(4)可被轉(zhuǎn)換成一個(gè)帶約束的二次線性規(guī)劃問(wèn)題如下：

(5)

問(wèn)題(5)又可以寫(xiě)成如下的標(biāo)準(zhǔn)形式：

(6)

其中：

(7)

表面看來(lái)，轉(zhuǎn)化后的問(wèn)題維數(shù)是問(wèn)題(4)的2倍，而實(shí)際上這種維數(shù)上的增大對(duì)于問(wèn)題求解影響很小.由式(7)可以得到

(8)

那么本文要計(jì)算Bz只需要計(jì)算向量u-v和ATA.

由式(6)得其投影為

F(z)=c+Bz，

亦可由式(8)得zTBz如下

本文將描述使用GP算法求解該問(wèn)題具體步驟：

在GP算法中通過(guò)迭代來(lái)確定k.

首先，選擇標(biāo)量參數(shù)α(k)>0，并令

w(k)=(z(k)-α(k)F(z(k)))+.

然后，選擇參數(shù)λ(k)∈[0,1]，令

z(k+1)=z(k)+λ(k)(w(k)-z(k)).

再定義向量g(k)如下:

并選擇α0的初始值為

).

具體計(jì)算過(guò)程如下:

(9)

那么，GP算法解決此問(wèn)題的具體過(guò)程如下.

Step2通過(guò)式(9)計(jì)算α0，并用mid(αmin,α0,αmax)替換α0.其中[αmin,αmax]是本文為了防止α0的值過(guò)大或過(guò)小而定義的一個(gè)區(qū)間，0<αmin<α0<αmax，而mid(αmin,α0,αmax)則是α0,αmin,αmax3個(gè)元素的中間值.

Step3(回溯行搜索法) 選擇αk作為序列α0,βα0,β2α0,…的第1個(gè)數(shù)，那么就有

并令z(k+1)=(z(k)-α(k)F(z(k)))+.

Step4進(jìn)行收斂性測(cè)試，如果滿足那么就在z(k+1)處終止算法，否則令k←k+1，并回到Step 2.

基于上述分析，可以得出利用稀疏分解和提升小波變換求解此問(wèn)題的算法流程如圖2所示.

圖2 算法流程

4 實(shí)驗(yàn)與分析

將MEMS陀螺儀ADXRS300放置于安裝在隔離地基的溫控轉(zhuǎn)臺(tái)上，使用PC104工控機(jī)對(duì)輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行采集處理.

待陀螺儀工作一段時(shí)間，輸出穩(wěn)定后，以200 Hz的采樣頻率采集一組MEMS陀螺儀ADXRS300的靜態(tài)數(shù)據(jù)，作為陀螺儀隨機(jī)漂移的時(shí)間序列.取該時(shí)

間序列中長(zhǎng)度為3 600的一段序列作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).然后分別采用本文方法和小波軟閾值濾波方法對(duì)陀螺儀輸出信號(hào)進(jìn)行處理，然后比較兩種方法的去噪效果.本文采用了db4作為小波基，對(duì)輸出信號(hào)進(jìn)行3尺度分解，小波軟閾值濾波方法選用了“Birge Massart”閾值.

對(duì)采集的數(shù)據(jù)分別用兩種方法進(jìn)行處理的結(jié)果如圖3、4所示.

從圖3、4可以看出，相對(duì)于小波閾值去噪方法，使用本文方法處理后的信號(hào)幅值下降更明顯.另外，利用本文方法進(jìn)行處理后的信號(hào)毛刺更少，也就是說(shuō)處理后信號(hào)的零偏穩(wěn)定性更好.

為更好的驗(yàn)證本文所提出去噪方法在MEMS陀螺信號(hào)處理中的可行性，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的跑車(chē)試驗(yàn)，具體試驗(yàn)條件描述如下：將MEMS陀螺儀ADXRS300固定放置在車(chē)載平臺(tái)上，并使用PC104工控機(jī)對(duì)輸出信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)采集.實(shí)驗(yàn)的流程為先150 s預(yù)熱，然后200 s的跑車(chē)，跑車(chē)路段包括直線和彎道，且不保持勻速行駛.

選擇一組實(shí)地跑車(chē)實(shí)驗(yàn)中的MEMS陀螺儀數(shù)據(jù)，分別使用本文方法和小波閾值去噪方法對(duì)其進(jìn)行分析處理.為了定量分析此兩種方法的性能，選擇均方差和信噪比兩項(xiàng)指標(biāo)來(lái)衡量其去噪效果.由均方差和信噪比的定義可知，同一信號(hào)去噪處理后，均方差越小，信噪比越大則去噪效果越好.

處理結(jié)果見(jiàn)表1.

圖3 小波濾波去噪效果

圖4 本文方法去噪效果

去噪方法SNR/dBMSE/10-4小波閾值法64．85643．3589本文方法70．36953．0125

從表1中可以看出，本文方法處理后的MEMS陀螺輸出信號(hào)，無(wú)論是信噪比還是均方差都優(yōu)于小波閾值去噪法.

圖5是本文所使用的梯度投影算法與基追蹤算法及l(fā)1_ls算法在解決此類問(wèn)題時(shí)性能的對(duì)比圖.由圖5可以看出梯度投影算法更穩(wěn)定，且達(dá)到收斂所需迭代次數(shù)更少.

由于OMP并不是和GP同類型的凸松弛方法，不是帶約束的線性規(guī)劃問(wèn)題，也就不存在目標(biāo)函數(shù)，所以不能以目標(biāo)函數(shù)收斂所需時(shí)間和迭代次數(shù)作為指標(biāo)和GP對(duì)比.所以為充分對(duì)比這兩種算法的性能如何，分別使用這兩種算法稀疏重建一組信號(hào)x，x是在長(zhǎng)度為n的全零信號(hào)中隨機(jī)插入m個(gè)非零值得到的仿真信號(hào).y=Ax+N為觀測(cè)信號(hào)，N為白噪聲.

圖6分別是用這兩種方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理并達(dá)到相同稀疏度后重構(gòu)信號(hào)的MSE和CPU時(shí)間的對(duì)比圖.

圖5 不同算法計(jì)算效率對(duì)比

圖6 GP與OMP性能對(duì)比

從圖6中可以看出：當(dāng)信號(hào)x的稀疏度比較小(x中的非零元素個(gè)數(shù)m>220)時(shí)，采用GP算法處理后的信號(hào)的MSE更小，而且很明顯GP的速度比OMP要快(除了m<50這種極端的情況).

而在分別使用這兩種方法對(duì)本文實(shí)測(cè)靜態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時(shí)，所需要的CPU時(shí)間分別為：tGPSR=1.248 0 s，tOMP=12.214 9 s，可見(jiàn)GP方法還是明顯要快于OMP算法.

5 結(jié) 論

1)本文將稀疏分解與提升小波變換相結(jié)合，并采用梯度投影算法恢復(fù)信號(hào)的稀疏性，進(jìn)而提出了基于梯度投影的改進(jìn)稀疏分解去噪算法，并用于MEMS陀螺信號(hào)的處理.

2)本文算法與小波軟閾值濾波方法對(duì)比結(jié)果表明，本文算法在動(dòng)靜態(tài)條件下都可以有效地去除MEMS陀螺儀輸出信號(hào)中的噪聲，尤其是在靜態(tài)條件下的去噪效果要明顯優(yōu)于小波閾值濾波方法.

3) 本文采用的梯度投影算法與正交匹配追蹤算法和基追蹤算法的對(duì)比結(jié)果表明，梯度投影算法具有更高的運(yùn)算效率，適合在線濾波，同時(shí)具有良好的穩(wěn)定性和全局優(yōu)化能力.

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AnovelnoisereductionmethodforMEMSgyroscope

SUN Tianchuan, LIU Jieyu

(Dept. of Control Engineering, Rocket Force University of Engineering, Xi’an 710025, China)

To get a better de-noising effect, a novel noise reduction method combining the sparse decomposition with lifting wavelet transform is proposed. Firstly, the error model is established for the MEMS gyroscope output signal with noise, and wavelet coefficient of signals with noise can be obtained by lifting wavelet transform. Then the sparsity of the coefficient is recovered according to sparse decomposition theory. Finally, signals are reconstructed by lifting wavelet inverse transform, i.e. the de-noised signal is thus obtained. In addition, since the gradient projection algorithm is global optimal algorithm with high computational efficiency, the theory of gradient projection is used in the restoration of sparse signal. Specifically, a sparse decomposition based on gradient projection is designed to simplify the algorithm complexity and improve the stability of the algorithm. To verify the performance of the proposed algorithm, the static experiment and dynamic car test on MEMS gyroscope are implemented. The results show that the denoising performance of the new method is better than that of wavelet filter either under the static or dynamic condition, especially under the latter condition. Meanwhile, the CPU time of gradient projection is less than orthogonal matching pursuit (OMP) and basis pursuit (BP).

MEMS gyroscope; signal denoising; sparse decomposition; lifting wavelet transform; gradient projection; convex optimization

10.11918/j.issn.0367-6234.201606079

V241.5

A

0367-6234(2017)10-0060-06

2016-06-22

國(guó)家自然科學(xué)基金(61304001)

孫田川(1993—)，男，博士研究生；

劉潔瑜(1970—)，女，教授，博士生導(dǎo)師

劉潔瑜，jieyu.liu@gmail.com

(編輯張 紅)