周勝

導(dǎo)數(shù)的引入，給高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)注入了新的活力，然而對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，只是停留在常規(guī)求函數(shù)的極值或者判定函數(shù)的單調(diào)性上，大大束縛了我們的思維.因此，突破常規(guī)，拓展我們的思維空間就顯得迫切而又必要.

“學(xué)起于思，思源于疑.”質(zhì)疑，最能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)、思索、答問(wèn)的積極性，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人.學(xué)生質(zhì)疑能力的發(fā)展及培養(yǎng)，不僅有賴于知識(shí)和能力的基礎(chǔ)，而且還要依賴于問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè).由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，再解決問(wèn)題，從中得到成功的體驗(yàn).學(xué)生的創(chuàng)造性思維是遇到要解決的問(wèn)題時(shí)而引發(fā)出來(lái)的.問(wèn)題是激發(fā)思維的起點(diǎn)，矛盾是推動(dòng)思維發(fā)展的動(dòng)力.問(wèn)題設(shè)計(jì)得科學(xué)藝術(shù)，能激起學(xué)生動(dòng)機(jī)，開(kāi)闊學(xué)生思路，誘發(fā)求知的欲望，使學(xué)生的思維由潛伏狀態(tài)轉(zhuǎn)入活動(dòng)狀態(tài)，有利于發(fā)散思維的形成.

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，當(dāng)思維能力受阻時(shí)，我們可以對(duì)題目中的條件和結(jié)論與數(shù)學(xué)各分支中不同的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法乃至兄弟學(xué)科或現(xiàn)實(shí)生活中的其他知識(shí)常識(shí)，充分展開(kāi)接近聯(lián)想、相似聯(lián)想、對(duì)比聯(lián)想，進(jìn)一步改變問(wèn)題情境，常能有效地使思路暢通，甚至誘發(fā)直覺(jué)、頓悟，激發(fā)靈感，獲得創(chuàng)造性的解法.思維求變、求異，多向發(fā)散，拓展聯(lián)想空間，促進(jìn)信息遷移，使問(wèn)題獲得多種不同的解題途徑，優(yōu)化解法是決勝數(shù)學(xué)高考的一個(gè)不可缺少的思維策略.

下面是筆者在教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出的其他應(yīng)用，整理出來(lái)與大家共享。

一、函數(shù)不等式的證明

例1.證明：？坌x>0，有不等式■

證明：分別證明這兩個(gè)不等式■

設(shè)f（x）=ln（1+x）-■，則f′（x）=■.對(duì)于？坌x>0，有f′（x）>0，從而函數(shù)f（x）在（0，+∞）嚴(yán)格增加，且f（0）=0，于是？坌x>0有f（x）=ln（1+x）-■>0，

即？坌x>0，有■

設(shè)g（x）=x-ln（1+x），g′（x）=■，對(duì)于？坌x>0，有g(shù)′（x）>0，從而函數(shù)g（x）在（0，+∞）嚴(yán)格增加，且g（0）=0，于是？坌x>0有g(shù)（x）=x-ln（1+x）>0.

即？坌x>0有l(wèi)n（1+x）

綜上所述，對(duì)于？坌x>0，有不等式■

二、立幾中球面距離的證明

例2.在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)有學(xué)生常常就問(wèn)：為什么球面上所有連接兩點(diǎn)的線中，經(jīng)過(guò)大圓的劣弧的長(zhǎng)度最短，而不是其他圓.

下面用導(dǎo)數(shù)的方法來(lái)證明這一問(wèn)題.

證明：如圖，圓O為過(guò)A，B兩點(diǎn)的大圓，半徑為R，圓O1為過(guò)A，B兩點(diǎn)的小圓，半徑為r，顯然r

令∠AO1B=2x2，0<∠AO1B<？仔，則0

sinx2=■，即sinx1

欲證A■B■.

為此，構(gòu)造函數(shù)f（x）=■，x∈（0，■），

則f′（x）=■，當(dāng)x∈（0，■）時(shí)，有tanx>x，

即■>x，xcosx-sinx<0，

從而當(dāng)x∈（0，■）時(shí)，f′（x）<0，所以函數(shù)f（x）=■在

x∈（0，■）上是減函數(shù)

由r■，即證結(jié)論.

三、一些恒等式的證明

例3.■-■-■+■+■=■

證明：設(shè)f（x）=■-■-■+■+■

則f′（x）=sinx·cosx（sin6x+cos6x-2sin4x-cos4x+sin2x）

=sinx·cosx（sin4x-sin2x·cos2x+cos4x-2sin4x-cos4x+sin2x）

=sin3x·cosx（-sin2x-cos2x+1）

=0.

故f（x）=C，由f（0）=■，即得C=■，由此即證.

四、求軌跡方程

例4.點(diǎn)A（0，4）是橢圓4x2+y2=16上的一點(diǎn)，過(guò)A作弦AB，求弦中點(diǎn)的軌跡方程.

解：設(shè)弦AB的中點(diǎn)M（x0，y0），對(duì)4x2+y2=16求導(dǎo)，有y′=-■，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，被點(diǎn)M平分的弦所在的直線的斜率為k=-■，又過(guò)點(diǎn)（0，4）和（x0，y0）兩點(diǎn)的直線的斜率為kAM=■，由k=kAM即得所求軌跡方程為4x2+y2-4y=16.

總之，在適宜的土壤中運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄈヅ囵B(yǎng)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題意識(shí)，有一定價(jià)值的問(wèn)題會(huì)“不盡長(zhǎng)江滾滾來(lái)”！它促使學(xué)生主動(dòng)地、積極地、創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)，從而發(fā)展學(xué)生思維，增強(qiáng)學(xué)生能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

項(xiàng)目基金：甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2017年度《高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的實(shí)踐研究》課題（課題網(wǎng)絡(luò)審批號(hào)：BY2017_26）成果。

編輯 趙飛飛