向明江 李夢(mèng)宇 呂旺,3 杜繼超

(1 上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109)(2 上海航天技術(shù)研究院，上海 201109)(3 清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京 100084)(4湖北三江航天紅峰控制有限公司，湖北孝感 432000)

太陽(yáng)翼不同轉(zhuǎn)角的衛(wèi)星在軌模態(tài)頻率計(jì)算方法

向明江1李夢(mèng)宇2呂旺1,3杜繼超4

(1 上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109)(2 上海航天技術(shù)研究院，上海 201109)(3 清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京 100084)(4湖北三江航天紅峰控制有限公司，湖北孝感 432000)

衛(wèi)星撓性振動(dòng)頻率會(huì)隨著太陽(yáng)翼的轉(zhuǎn)動(dòng)發(fā)生變化，在衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)頻率規(guī)劃設(shè)計(jì)時(shí)尤其需要考慮到,以避免發(fā)生耦合振動(dòng)。文章針對(duì)具有太陽(yáng)翼的衛(wèi)星，研究了太陽(yáng)翼轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)由于星體構(gòu)型變化對(duì)衛(wèi)星模態(tài)頻率產(chǎn)生的影響。通過(guò)建立衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)混合坐標(biāo)方程，推演出衛(wèi)星結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特征方程，在太陽(yáng)翼轉(zhuǎn)到不同角度時(shí)對(duì)衛(wèi)星系統(tǒng)模態(tài)進(jìn)行解算，從而獲得一種具有太陽(yáng)翼的遙感衛(wèi)星系統(tǒng)模態(tài)計(jì)算方法。以某遙感衛(wèi)星為背景進(jìn)行了在軌模態(tài)計(jì)算，并與該衛(wèi)星陀螺姿態(tài)角速度遙測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比，誤差小于10%，驗(yàn)證了在軌模態(tài)計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。

太陽(yáng)翼；撓性振動(dòng)；在軌模態(tài)；頻率計(jì)算

1 引 言

一般衛(wèi)星通常安裝有太陽(yáng)翼、天線等撓性附件，且具有飛輪、驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)、有效載荷等周期性轉(zhuǎn)動(dòng)部件。近年來(lái)衛(wèi)星在軌出現(xiàn)過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)部件與撓性附件的耦合共振問(wèn)題，嚴(yán)重影響了衛(wèi)星的姿態(tài)穩(wěn)定度，使得有效載荷無(wú)法正常工作。在軌耦合振動(dòng)問(wèn)題需要引起高度重視，在衛(wèi)星研制階段開(kāi)展衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)頻譜規(guī)劃設(shè)計(jì)成為一項(xiàng)必不可少的工作。

在文獻(xiàn)[1]中可以看出，目前在衛(wèi)星工程中，對(duì)于具有太陽(yáng)翼的衛(wèi)星在軌振動(dòng)頻率，常以標(biāo)稱值的形式給出前幾階模態(tài)頻率，設(shè)計(jì)者據(jù)此開(kāi)展轉(zhuǎn)動(dòng)部件與撓性附件的頻率隔離規(guī)劃設(shè)計(jì)。這存在兩個(gè)問(wèn)題：如果以給出的標(biāo)稱頻率值的作為頻譜規(guī)劃的輸入，很容易引發(fā)耦合共振問(wèn)題，因?yàn)樵谔?yáng)翼轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，衛(wèi)星在軌振動(dòng)頻率是隨時(shí)變化的。如果在標(biāo)稱頻率值附近規(guī)劃一個(gè)誤差區(qū)間，這存在如何選取誤差區(qū)間的問(wèn)題，誤差區(qū)間選取太小，仍有可能發(fā)生在軌耦合振動(dòng)；誤差區(qū)間選取太大，有可能使有效載荷、飛輪等轉(zhuǎn)動(dòng)部件沒(méi)有合適的工作頻率范圍，進(jìn)而需要對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)部件或者太陽(yáng)翼作出更改，造成不必要的浪費(fèi)。因此，合理的動(dòng)力學(xué)頻譜規(guī)劃和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，要求提供準(zhǔn)確的衛(wèi)星在軌振動(dòng)頻率，尤其對(duì)于具有太陽(yáng)翼等撓性附件的衛(wèi)星，需要提供準(zhǔn)確的振動(dòng)頻率范圍，而不是一個(gè)標(biāo)稱值。

對(duì)于所有具有撓性附件的衛(wèi)星，在軌振動(dòng)頻率為非約束模態(tài)頻率，與地面約束模態(tài)頻率不同，這在很多文獻(xiàn)中已有闡述。文獻(xiàn)[2]給出了采用混合坐標(biāo)法計(jì)算撓性航天器系統(tǒng)頻率，文獻(xiàn)[3]給出撓性衛(wèi)星在軌非約束模態(tài)計(jì)算方法，文獻(xiàn)[4-8]對(duì)帶撓性太陽(yáng)翼的衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了建模與仿真分析，但都是針對(duì)衛(wèi)星在某些固定構(gòu)型的情況，并未對(duì)太陽(yáng)翼轉(zhuǎn)動(dòng)到不同角度時(shí)的變化規(guī)律展開(kāi)分析。

通?？梢垣@得在地面固支約束下比較準(zhǔn)確的太陽(yáng)翼固有模態(tài)頻率，本文以此為輸入，從混合坐標(biāo)方程出發(fā)，通過(guò)合理簡(jiǎn)化得到衛(wèi)星在軌線性振動(dòng)方程，求解方程特征值可以得到衛(wèi)星在軌振動(dòng)頻率。將太陽(yáng)翼轉(zhuǎn)動(dòng)角度設(shè)為自變量，覆蓋全部轉(zhuǎn)動(dòng)角度范圍，可求得太陽(yáng)翼不同轉(zhuǎn)角時(shí)的衛(wèi)星在軌振動(dòng)模態(tài)頻率，為衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)頻譜規(guī)劃和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供比較準(zhǔn)確的輸入。

2 具有太陽(yáng)翼的衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)建模

具有單個(gè)太陽(yáng)翼的衛(wèi)星構(gòu)型如圖1所示，坐標(biāo)系定義如下：衛(wèi)星布局系XLYLZL是根據(jù)布局和裝配的需求，以衛(wèi)星上特定點(diǎn)和與衛(wèi)星幾何構(gòu)型相關(guān)的方向定義的；整星坐標(biāo)系XsYsZs與星體固連運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)在整星質(zhì)心Os，坐標(biāo)軸與布局系平行；衛(wèi)星本體系XbYbZb與星本體固連運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)在本體質(zhì)心Ob，坐標(biāo)軸與布局系平行；太陽(yáng)翼系XaYaZa與太陽(yáng)翼固連運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)在安裝點(diǎn)Oa，相對(duì)于星體系+Y軸按右手方向轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ，當(dāng)太陽(yáng)翼轉(zhuǎn)角θ=0°時(shí)坐標(biāo)軸與衛(wèi)星系平行。

圖1 具有單個(gè)撓性太陽(yáng)翼的衛(wèi)星構(gòu)型示意圖Fig.1 Configuration of a satellite with one rotatable flexible solar wing

衛(wèi)星系到太陽(yáng)翼系的轉(zhuǎn)換關(guān)系矩陣可描述為

(1)

衛(wèi)星本體質(zhì)量為mb，相對(duì)于其質(zhì)心在衛(wèi)星本體系下描述的慣量矩陣為Jb；太陽(yáng)翼質(zhì)量為ma，相對(duì)于其質(zhì)心在太陽(yáng)翼系下描述的慣量矩陣為Ja，衛(wèi)星整星質(zhì)量為ms，相對(duì)于衛(wèi)星質(zhì)心在衛(wèi)星坐標(biāo)系下描述的慣量矩陣為Js(隨太陽(yáng)翼轉(zhuǎn)動(dòng)發(fā)生變化)。利用拉格朗日法在衛(wèi)星坐標(biāo)系下建立撓性衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)混合坐標(biāo)方程為

(2)

式中：方程變量v、ω和η，分別為衛(wèi)星質(zhì)心平移線速度、衛(wèi)星繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和太陽(yáng)翼模態(tài)坐標(biāo)；ω×代表ω的叉乘矩陣；Ω為太陽(yáng)翼約束模態(tài)頻率對(duì)角矩陣；ζ為太陽(yáng)翼振動(dòng)的阻尼比對(duì)角矩陣；Bt和Br分別為太陽(yáng)翼相對(duì)于衛(wèi)星質(zhì)心的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)耦合系數(shù)；F、T分別為外部力學(xué)環(huán)境的合力和合力矩。隨著太陽(yáng)翼轉(zhuǎn)動(dòng)，Js、Bt和Br將隨太陽(yáng)翼轉(zhuǎn)動(dòng)發(fā)生變化，除變量v、ω和η以外的其他量保持定常。

3 衛(wèi)星在軌模態(tài)變化規(guī)律分析

在小幅振動(dòng)情況下，衛(wèi)星在軌模態(tài)是衛(wèi)星的固有特性，與外部環(huán)境作用無(wú)關(guān)，可忽略方程組中的外干擾力F和力矩T；撓性振動(dòng)對(duì)星體角速度影響較小，角速度ω視為一階小量，衛(wèi)星陀螺力矩項(xiàng)作為角速度的二階小量可忽略。方程組(2)變?yōu)?/p>

(3)

將方程組(3)前兩式代入第三式，得到以模態(tài)坐標(biāo)η為變量的衛(wèi)星系統(tǒng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程：

(4)

式中：E為單位陣；Bt和Br為太陽(yáng)翼的耦合系數(shù)。

(5)

式(4)中的Js為衛(wèi)星慣量在衛(wèi)星系投影。

Js=Jb+Ib+AbaJaAab+Ia

(6)

式中：Ib和Ia分別為太陽(yáng)翼和星本體在其質(zhì)心處的集中質(zhì)量相對(duì)衛(wèi)星系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

(7)

式中：rSB為衛(wèi)星質(zhì)心到星本體質(zhì)心的矢量在衛(wèi)星系分量；rSC為衛(wèi)星質(zhì)心到太陽(yáng)翼質(zhì)心的矢量在衛(wèi)星系分量。

由于太陽(yáng)翼質(zhì)心不一定在轉(zhuǎn)軸延長(zhǎng)線上，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)衛(wèi)星質(zhì)心也會(huì)存在微小變化，故與衛(wèi)星質(zhì)心相關(guān)的rSA、rSB和rSC均隨太陽(yáng)翼轉(zhuǎn)動(dòng)發(fā)生變化，當(dāng)太陽(yáng)翼質(zhì)心離轉(zhuǎn)軸距離較近時(shí)，太陽(yáng)翼轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)衛(wèi)星質(zhì)心的影響可忽略，則這3項(xiàng)可視為常量。

對(duì)式(4)采用拉氏變換處理后，得到衛(wèi)星結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特征方程：

(8)

當(dāng)θ取值從0°～360°時(shí)，得到相應(yīng)的Js、Bt和Br，代入式(8)求解特征值，即得到與太陽(yáng)翼轉(zhuǎn)動(dòng)角度相關(guān)的各階衛(wèi)星系統(tǒng)模態(tài)頻率。

4 計(jì)算實(shí)例

某安裝單個(gè)太陽(yáng)翼的太陽(yáng)同步軌道遙感衛(wèi)星構(gòu)型與圖1類似，質(zhì)量特性參數(shù)如表1所示。

表1 衛(wèi)星質(zhì)量特性參數(shù)

太陽(yáng)翼約束模態(tài)固有頻率、阻尼和相對(duì)于安裝點(diǎn)的平動(dòng)耦合系數(shù)、轉(zhuǎn)動(dòng)耦合系數(shù)，如表2所示。撓性太陽(yáng)翼約束模態(tài)前4階振型見(jiàn)圖2。太陽(yáng)翼系原點(diǎn)在布局系坐標(biāo)(m)為[1.570-1.000-0.723]T。

表2 太陽(yáng)翼?yè)闲詤?shù)(前4階)

圖2 太陽(yáng)翼振型圖(前4階)Fig.2 Illustrations of the solar wing mode shape ( previous 4 orders)

從振型圖像和耦合系數(shù)數(shù)據(jù)可以看出各階振型對(duì)星體的影響形式：①1階模態(tài)為彎曲基頻，Za方向的平動(dòng)和Xa方向的轉(zhuǎn)動(dòng)為耦合的主要分量；②2階模態(tài)為側(cè)擺基頻，Xa方向的平動(dòng)和Za方向的轉(zhuǎn)動(dòng)為耦合的主要分量；③3階模態(tài)為彎曲次階，Ya方向的平動(dòng)和Xa方向的轉(zhuǎn)動(dòng)為耦合的主要分量；④4階模態(tài)為扭轉(zhuǎn)基頻，Xa方向的平動(dòng)和Ya方向的轉(zhuǎn)動(dòng)為耦合的主要分量。

當(dāng)太陽(yáng)翼轉(zhuǎn)到不同角度時(shí)，其撓性特性對(duì)衛(wèi)星本體系的耦合作用也隨之變化。將表1和表2數(shù)據(jù)代入式(8)求解特征方程，太陽(yáng)翼轉(zhuǎn)角從1°～360°每隔1°進(jìn)行一次特征值求解，形成衛(wèi)星系統(tǒng)模態(tài)頻率前4階變化曲線如圖3所示。

圖3 衛(wèi)星系統(tǒng)模態(tài)頻率變化曲線Fig.3 Satellite mode frequencies variation diagram

從圖3可以看出，1、2階衛(wèi)星系統(tǒng)模態(tài)頻率分別對(duì)應(yīng)太陽(yáng)翼彎曲、側(cè)擺的基頻。由于星體在X和Z軸方向的慣量差距較大，隨著太陽(yáng)翼轉(zhuǎn)動(dòng)一周，1、2階衛(wèi)星系統(tǒng)模態(tài)呈現(xiàn)2個(gè)周期的波動(dòng)；第3階模態(tài)波動(dòng)形式與1階相同，但由于其耦合系數(shù)較小，頻率波動(dòng)幅度不明顯；第4階衛(wèi)星系統(tǒng)模態(tài)由太陽(yáng)翼扭轉(zhuǎn)模態(tài)引起，由于太陽(yáng)翼轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中衛(wèi)星Y方向慣量變化較小，對(duì)應(yīng)的衛(wèi)星系統(tǒng)模態(tài)近似恒定不變。

5 與衛(wèi)星在軌遙測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比的驗(yàn)證

該衛(wèi)星在發(fā)射后入軌初期進(jìn)行了軌道修正，在調(diào)軌道的前后期間都采用了噴氣斜開(kāi)關(guān)線姿態(tài)控制方式。姿態(tài)推力器噴氣會(huì)引起太陽(yáng)翼?yè)闲哉駝?dòng)(圖4)，導(dǎo)致星體角速度發(fā)生變化(圖5)，相當(dāng)于對(duì)衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的隨機(jī)擾動(dòng)。太陽(yáng)翼通過(guò)安裝點(diǎn)與衛(wèi)星本體相連，太陽(yáng)翼在軌撓性振動(dòng)會(huì)傳遞到星本體，引起星本體姿態(tài)角速度同步抖動(dòng)，因此，通過(guò)處理星上陀螺測(cè)量的衛(wèi)星本體角速度數(shù)據(jù)，可以間接識(shí)別出太陽(yáng)翼?yè)闲哉駝?dòng)響應(yīng)特征。

圖4 姿態(tài)推力器噴氣激起太陽(yáng)翼?yè)闲哉駝?dòng)Fig.4 Flexible vibration caused by thruster jet

對(duì)遙測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行頻域特性分析。從接入噴氣開(kāi)始每100 s數(shù)據(jù)對(duì)姿態(tài)角速度數(shù)據(jù)進(jìn)行一次快速傅里葉變換。將所有傅里葉頻域曲線并排可以分析出太陽(yáng)翼相對(duì)星體不同角度時(shí)衛(wèi)星系統(tǒng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性，軌道控制時(shí)如圖6所示，可見(jiàn)，當(dāng)太陽(yáng)翼轉(zhuǎn)到40°(圖6中坐標(biāo)為400°)附近時(shí)進(jìn)行了軌控噴氣，在各個(gè)頻段上均有較大響應(yīng)，隨后太陽(yáng)翼進(jìn)行了快速驅(qū)動(dòng)。

將算例中的理論分析結(jié)果與在軌遙測(cè)數(shù)據(jù)分析結(jié)果對(duì)比如圖7～9和表3所示。圖6～9中，當(dāng)太陽(yáng)翼位于某轉(zhuǎn)角時(shí)，對(duì)某頻率成分激勵(lì)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)越大，則顏色偏紅；反之則偏藍(lán)。

圖5 衛(wèi)星在軌滾動(dòng)角速度Fig.5 On-orbit rolling angular velocity of satellite

圖6 太陽(yáng)翼轉(zhuǎn)動(dòng)期間衛(wèi)星結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)Fig.6 The structure dynamic response of satellite duringsolar wing rotation

圖7 衛(wèi)星系統(tǒng)模態(tài)1階(太陽(yáng)翼彎曲)頻率對(duì)比Fig.7 Comparison of satellite 1st order mode frequencies (solar wing bending)

從對(duì)比結(jié)果可知，太陽(yáng)翼彎曲1階和側(cè)擺1階模態(tài)對(duì)應(yīng)的衛(wèi)星基頻計(jì)算結(jié)果與在軌數(shù)據(jù)的符合性較好；在有限元建模中太陽(yáng)翼彎曲2階模態(tài)頻率的計(jì)算精度受1階影響很大，可能高于遙測(cè)采樣頻帶，在頻率結(jié)果中未體現(xiàn)；太陽(yáng)翼扭轉(zhuǎn)1階模態(tài)誤差較大，可能包含地面模態(tài)測(cè)試和有限元建模誤差。但太陽(yáng)翼彎曲2階和扭轉(zhuǎn)1階模態(tài)的耦合系數(shù)均較小，其對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定度影響有限。

圖8 衛(wèi)星系統(tǒng)模態(tài)2階(太陽(yáng)翼側(cè)擺)頻率對(duì)比Fig.8 Comparison of satellite 2nd order mode frequencies (solar wing swaying)

圖9 衛(wèi)星系統(tǒng)模態(tài)3，4階(太陽(yáng)翼扭轉(zhuǎn))頻率對(duì)比Fig.9 Comparison of satellite 3rd/4th order mode frequencies (solar wing twisting)

表3 衛(wèi)星在軌模態(tài)頻率與計(jì)算結(jié)果對(duì)比匯總表

6 結(jié)論

本文針對(duì)具有撓性太陽(yáng)翼的衛(wèi)星撓性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究。利用衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)混合坐標(biāo)方程推演出衛(wèi)星結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特征方程，從而給出了太陽(yáng)翼在不同轉(zhuǎn)角時(shí)衛(wèi)星在軌模態(tài)頻率的計(jì)算方法。以某單太陽(yáng)翼遙感衛(wèi)星為例進(jìn)行了在軌模態(tài)頻率計(jì)算，頻率值隨著太陽(yáng)翼轉(zhuǎn)動(dòng)按照正(余)弦規(guī)律變化。通過(guò)衛(wèi)星遙測(cè)數(shù)據(jù)分析結(jié)果與衛(wèi)星基頻計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，對(duì)姿態(tài)穩(wěn)定度影響比較大的太陽(yáng)翼彎曲和側(cè)擺基頻對(duì)應(yīng)的衛(wèi)星模態(tài)，其太陽(yáng)翼不同角度時(shí)的計(jì)算相對(duì)誤差分別為6.2%和1.9%，驗(yàn)證了具有太陽(yáng)翼的衛(wèi)星在軌模態(tài)頻率計(jì)算方法的準(zhǔn)確性，可以為整星動(dòng)力學(xué)頻譜規(guī)劃提供比較準(zhǔn)確的輸入條件。

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On-orbit Mode Frequencies Computing Method of Satellite with Different Rotational Angles of Solar Wing

XIANG Mingjiang1LI Mengyu2LYU Wang1,3DU Jichao4

(1 Shanghai Institute of Satellite Engineering, Shanghai 201109, China)(2 Shanghai Academy of Spaceflight Technology, Shanghai 201109, China)(3 School of Aerospace, Tsinghua University, Beijing 100084, China)(4 Hong Feng Control Co. Ltd. of Sanjiang Aerospace Corp, Xiaogan, Hubei 432000, China)

The flexible vibration frequency of the satellite changes with rotation of the solar wing, it is important to avoid resonance especially in the dynamics frequency planning. In this paper, the flexible dynamics of satellite with rotatable solar wing is researched, and the change of the satellite mode frequencies affected by the configuration variation is studied. Firstly, the hybrid coordinate equations of flexible dynamics of satellite are given to deduct the structural dynamics equations of the whole satellite. Secondly, the characteristis equation of the on-orbit modes is given, then the satellite mode frequencies are solved for every rotational angle of solar wing. Finally, a remote sensing satellite is taken for example to verify the accuracy of the method by compare the on-orbit data with the computing result.

solar wing; flexible vibration; on-orbit modes; frequency calculation

V412.4

A

10.3969/j.issn.1673-8748.2017.04.006

2017-04-25；

2017-07-19

向明江，男，工程師，研究方向?yàn)楹教炱鲃?dòng)力學(xué)與控制技術(shù)。Email: okboy129214@sina.com。

(編輯：張小琳)